备考2024届高考物理一轮复习强化训练第五章万有引力与宇宙航行第1讲万有引力定律及应用

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解析 由于月球环绕地球做匀速圆周运动，则月球的线速度v＝2πrT，地球对月球的引力提供月球做圆周运动的向心力，则有F＝m4π2T2r.
2.[万有引力定律的应用/2023江苏]设想将来发射一颗人造卫星，能在月球绕地球运动的轨道上稳定运行，该轨道可视为圆轨道.该卫星与月球相比，一定相等的是（ C ）
A.质量
B.向心力大小
C.向心加速度大小
D.受到地球的万有引力大小
解析
3.[开普勒定律的应用/江苏高考]1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动.如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G.则（ B ）
A.v1＞v2，v1＝GMrB.v1＞v2，v1＞GMr
C.v1＜v2，v1＝GMrD.v1＜v2，v1＞GMr
解析 卫星绕地球运动，由开普勒第二定律知，在近地点的速度大于在远地点的速度，即v1＞v2.若卫星以近地点时的距离r为半径绕地球做圆周运动，则有GMmr2＝mv近2r，得运行速度v近＝GMr，由于卫星在近地点做离心运动，则v1＞v近，即v1＞GMr，B正确.
一题多解 “东方红一号”环绕地球在椭圆轨道上运行的过程中，只有万有引力做功，机械能守恒，其由近地点向远地点运动时，万有引力做负功，引力势能增加，动能减小，因此v1＞v2；又“东方红一号”离开近地点开始做离心运动，则由离心运动的条件可知GMmr2＜mv12r，解得v1＞GMr，B正确，A、C、D错误.
4.[物理量的估算/2021福建/多选]两位科学家因为在银河系中心发现了一个超大质量的致密天体而获得了2020年诺贝尔物理学奖.他们对一颗靠近银河系中心的恒星S2的位置变化进行了持续观测，记录到的S2的椭圆轨道如图所示.图中O为椭圆的一个焦点，椭圆偏心率（离心率）约为0.87.P、Q分别为轨道的远银心点和近银心点，Q与O的距离约为120AU（太阳到地球的距离为1AU），S2的运行周期约为16年.假设S2的运动轨迹主要受银河系中心致密天体的万有引力影响，根据上述数据及日常的天文知识，可以推出（ BCD ）
A.S2与银河系中心致密天体的质量之比
B.银河系中心致密天体与太阳的质量之比
C.S2在P点与Q点的速度大小之比
D.S2在P点与Q点的加速度大小之比
解析 设银河系中心超大质量的致密天体质量为M银心，恒星S2绕银河系中心(银心)运动的椭圆轨道半长轴为a、半焦距为c，根据题述，Q与O的距离约为120 AU，可得a－c＝120 AU，又有椭圆偏心率(离心率)约为0.87，即ca＝0.87，联立可以解得a和c，设想恒星S2绕银心做半径为a的匀速圆周运动，由开普勒第三定律可知周期不变，即TS2＝16年，因此有GM银心mS2a2＝mS2a(2πTS2)2，对地球围绕太阳的运动，有GM太阳m地r2＝m地r(2πT1)2，而a＝120r＋c，TS2＝16T1，联立可解得银河系中心致密天体与太阳的质量之比，但不能得出S2与银河系中心致密天体的质量之比，选项A错误，B正确；由于远银心点和近银心点轨道的曲率半径相同，设为ρ，恒星S2在远银心点，由万有引力提供向心力有GM银心mS2a＋c2＝mS2vP2ρ，在近银心点，由万有引力提供向心力有GM银心mS2(a-c)2＝mS2vQ2ρ，联立可解得S2在P点与Q点的速度大小之比为vPvQ＝a-ca＋c，选项C正确；在远银心点和近银心点，由万有引力定律和牛顿第二定律分别有GM银心mS2(a＋c)2＝mS2aP，GM银心mS2(a-c)2＝mS2aQ，联立可解得S2在P点与Q点的加速度大小之比为aPaQ＝(a-c)2(a＋c)2，选项D正确.
一题多解 选项C也可以利用开普勒第二定律解答.开普勒第二定律也称面积定律，指的是太阳系中太阳和运动中的行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等.推广到银河系，根据开普勒第二定律有vP(a＋c)＝vQ(a－c)，可得S2在P点与Q点的速度大小之比为vPvQ＝a-ca＋c.