备考2024届高考物理一轮复习强化训练第十一章磁场专题十九带电粒子在立体空间中的运动

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（1）在极板上建立空间直角坐标系，极板上方空间内存在磁场，其磁感应强度大小为B，方向平行于z轴.极板间的电压U极小，几乎不影响电子运动.如图2，某次激发中，产生了2个电子a和b，其初速度方向分别在xOy与zOy平面内，且与y轴正方向都成θ角，则：
（i）判断磁场的方向；
（ii）求a、b两个电子运动到下一个极板的时间t1和t2.
（2）若单位时间内阴极逸出的电子数量不变，每个电子打到极板上可以激发出δ个电子，且δ∝U，阳极处接收电子产生的电流为I，在图3的坐标系中定性画出表示U和I关系的图像并说明这样画的理由.
图1
图2 图3
答案 （1）（i）沿z轴负方向 （ii）t1＝（π－2θ）meB t2＝πmeB （2）见解析
解析 （1）（i）由题意可知电子a的初速度方向在xOy平面内，与y轴正方向成θ角.若磁场方向沿z轴正方向，则由左手定则可知电子a在洛伦兹力的作用下向x轴负方向偏转，不符合题意；若磁场方向沿z轴负方向，则由左手定则可知电子a在洛伦兹力的作用下向x轴正方向偏转，符合题意.
综上可知，磁感应强度B的方向沿z轴负方向
（ii）电子a在洛伦兹力作用下的运动轨迹如图
由图可知电子a运动到下一个极板的时间为
t1＝2（π2－θ）2πT＝（π2－θ）π·2πmeB＝（π－2θ）meB
分析可知电子b沿z轴方向的分速度与磁感应强度方向平行，则电子b在z轴方向做匀速直线运动；沿y轴方向的分速度使电子b受到洛伦兹力向x轴正方向偏转，电子b在垂直z轴的平面内运动半个圆周到下一个极板的时间为
t2＝π2πT＝πmeB
（2）设δ＝kU（k为常量），单位时间内阴极逸出的电子数量为N0.每个电子打到极板上可以激发出δ个电子，则经过n次激发后单位时间内阳极处接收到的电子数量为N＝N0δn＝N0（kU）n＝N0knUn
结合电流的定义式可得阳极处接收电子产生的电流为
I＝Ne＝eN0knUn＝（eN0kn）Un＝AUn（A为常量）可得I－U图像如图
2.[霍尔效应＋电流的微观表达式/2021天津]霍尔元件是一种重要的磁传感器，可用在多种自动控制系统中.长方体半导体材料厚为a、宽为b、长为c，以长方体三边为坐标轴建立坐标系Oxyz，如图所示.半导体中有电荷量均为e的自由电子与空穴两种载流子，空穴可看作带正电荷的自由移动粒子，单位体积内自由电子和空穴的数目分别为n和p.当半导体材料通有沿＋x方向的恒定电流后，某时刻在半导体所在空间加一匀强磁场，磁感应强度的大小为B，沿＋y方向，于是在z方向上很快建立稳定电场，称其为霍尔电场，已知电场强度大小为E，沿－z方向.
（1）判断刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力方向；
（2）若自由电子定向移动在沿＋x方向上形成的电流为In，求单个自由电子由于定向移动在z方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小Fnz；
（3）霍尔电场建立后，自由电子与空穴在z方向定向移动的速率分别为vnz、vpz，求Δt时间内运动到半导体z方向的上表面的自由电子数与空穴数，并说明两种载流子在z方向上形成的电流应满足的条件.
答案 （1）沿＋z方向 （2）e（InBneab＋E） （3）见解析
解析 （1）由左手定则可知，自由电子受到的洛伦兹力沿＋z方向.
（2）设t时间内流过半导体垂直于x轴某一横截面自由电子的电荷量为q，由电流定义式，有In＝qt
设自由电子在x方向上定向移动速率为vnx，则
q＝neabvnxt
可导出自由电子的电流微观表达式为In＝neabvnx
单个自由电子所受洛伦兹力大小为
F洛＝evnxB
霍尔电场力大小为F电＝eE
自由电子在z方向上受到的洛伦兹力和霍尔电场力方向相同，则有Fnz＝F洛＋F电
联立得其合力大小为Fnz＝e（InBneab＋E）.
（3）设Δt时间内在z方向上运动到半导体上表面的自由电子数为Nn、空穴数为Np，则
Nn＝nacvnzΔt
Np＝pacvpzΔt
霍尔电场建立后，半导体z方向的上表面的电荷量就不再发生变化，则有Nn＝Np，即在任何相等时间内运动到上表面的自由电子数与空穴数相等，这样两种载流子在z方向形成的电流应大小相等、方向相反.