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2023-2024学年福建省福州八中九年级（上）月考数学试卷（10月份）
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这是一份2023-2024学年福建省福州八中九年级（上）月考数学试卷（10月份），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）方程x2＝5x的解是（ ）
A．x＝5B．x＝0
C．x1＝﹣5；x2＝0D．x1＝5；x2＝0
3．（4分）若（2，5），（6，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（ ）
A．x＝1B．x＝2C．x＝3D．x＝4
4．（4分）对于二次函数y＝﹣4（x+6）2﹣5的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴交点的坐标是（0，5）
B．对称轴是直线x＝6
C．顶点坐标为（﹣6，5）
D．当x＜﹣6时，y随x的增大而增大
5．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（ ）
A．CM＝DMB．C．AD＝2BDD．∠BCD＝∠BDC
6．（4分）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝110°，则∠AOB等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．140°
7．（4分）一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与点A对应，则角α等于（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
9．（4分）“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（ ）
A．w＝（99﹣x）[200+10（x﹣50）]
B．w＝（x﹣50）[200+10（99﹣x）]
C．w＝（x﹣50）（200+×10）
D．w＝（x﹣50）（200+×10）
10．（4分）已知ab＞0，4a+2b+c＝0，4a﹣2b+c＞0，则下列结论成立的是（ ）
A．a＜0，b2＜4acB．a＜0，b2＞4ac
C．a＞0，b2＞4acD．a＞0，b2＜4ac
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标为 ．
12．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为4，则该方程的另一个根为 ．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，将△ABC绕点A按逆时针旋转到△AB′C′的位置，连接CC′，此时CC′∥AB，则旋转角∠BAB′的度数为 ．
14．（4分）筒车是我国古代发明的一利水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O（O在水面上方）为圆心的圆，且圆O被水面截得的弦AB长为8米．若筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，则这个圆的半径为 米．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为 ．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，对角线AC上的有一动点P（点P不与点C、点A重合），以DP为边作正方形DPFG．
①在P点运动过程中，F点始终在射线BC上；
②在P点运动过程中，∠CPD可能为135°；
③若E是DC的中点，连接EG，则EG的最小值为；
④△CDP为等腰三角形时，AP的值为或．
以上结论正确的是为 ．
三、解答题（共9小题，共86分）
17．（8分）解下列方桯：
（1）3（x﹣1）2﹣12＝0；
（2）2x2﹣4x﹣7＝0．
18．（6分）已知抛物线y＝x2﹣（m﹣3）x﹣m．求证：无论m为何值时，抛物线与x轴总有两个交点．
19．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，旋转中心的坐标为 ．
20．（8分）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴交于点A，B，直线BC的解析式是y＝﹣x+b．
（1）求二次函数图象的顶点坐标．
（2）求不等式ax2+2x+c≤﹣x+b的解集．
21．如图，点D为等边△ABC的边BC的中点，AB＝2．将△ABD绕A点逆时针旋转60°．
（1）尺规作图：作出△ABD旋转后的图形（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在题1所作图形中，连接D点与它的对应点，并求出它的长度．
22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，分别延长BC，AD，使它们相交于点E，AB＝8，且DC＝DE．
（1）求证：∠A＝∠AEB．
（2）若∠EDC＝90°，点C为BE的中点，求⊙O的半径．
23．掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点5m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于11m时，即可得满分8分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．
24．（13分）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的动点（不与B，C重合），将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接AF，EF、AF分别与CD交于点M、N，作FG⊥BC于点G；
（1）求证：BE＝CG
（2）探究线段BE、EN、DN间的等量关系，并说明理由；
（3）如图2，当点E运动到BC的中点时，若AB＝6，求MN的长．
25．（13分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点O为坐标原点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若点D是线段OC上靠近点O的一个三等分点，点P是抛物线的一个动点，过点P作x轴的垂线，分别交射线BC，BD于点M，N．
①求直线BD的解析式（用含a的式子表示）；
②设△NBM，△NBP的面积分别为S1，S2，若，求此时点P的横坐标．
2023-2024学年福建省福州八中九年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分，共10小题，共40分）
1．（4分）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念和各图的特点求解．
解：选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：D．
【点评】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（4分）方程x2＝5x的解是（ ）
A．x＝5B．x＝0
C．x1＝﹣5；x2＝0D．x1＝5；x2＝0
【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
解：x2﹣5x＝0，
x（x﹣5）＝0，
x＝0或x﹣5＝0，
所以x1＝0，x2＝5，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
3．（4分）若（2，5），（6，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（ ）
A．x＝1B．x＝2C．x＝3D．x＝4
【分析】由已知，点（2，5）、（6，5）是该抛物线上关于对称轴对称的两点，所以只需求两对称点横坐标的平均数．
解：因为点（2，5）、（6，5）在抛物线上，
根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，
所以，对称轴x＝＝4；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的对称性．二次函数关于对称轴成轴对称图形．
4．（4分）对于二次函数y＝﹣4（x+6）2﹣5的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴交点的坐标是（0，5）
B．对称轴是直线x＝6
C．顶点坐标为（﹣6，5）
D．当x＜﹣6时，y随x的增大而增大
【分析】根据二次函数顶点式的特点进行判断即可．
解：∵二次函数y＝﹣4（x+6）2﹣5，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣6，顶点坐标为（﹣6，﹣5），
∴当x＜﹣6时，y随x的增大而增大，
令x＝0，则y＝﹣149，
∴图象与y轴得交点为（0，﹣149），
故A、B、C选项错误；D选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的顶点式，解题的关键在于熟练掌握二次函数顶点式的特点．
5．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（ ）
A．CM＝DMB．C．AD＝2BDD．∠BCD＝∠BDC
【分析】根据垂径定理判断求解．
解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴由垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧知，CM＝DM，；
由圆周角定理知，∠BCD＝∠BDC，故只有C错误．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理和圆周角定理．
6．（4分）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝110°，则∠AOB等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．140°
【分析】根据圆周角定理及角的和差即可求得答案．
解：∵∠C＝110°，
∴优弧所对的圆心角为2∠C＝220°，
∴∠AOB＝360°﹣220°＝140°，
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理，利用其求得优弧所对的圆心角是解题的关键．
7．（4分）一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】可先由一次函数y＝ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．
解：由，解得或，
∴一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）的交点为（1，a﹣1），（，0），
A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误，不符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，由一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）可知，两图象交于点（1，a﹣1），则交点在y轴的右侧，故本选项错误，不符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，两图象的一个交点在x轴上，另一个交点在第四选项，故本选项正确，符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，a的取值矛盾，故本选项错误，不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
8．（4分）如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与点A对应，则角α等于（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
【分析】如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′，∠AOA′即为旋转角．
解：如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′
∠AOA′即为旋转角，
∴旋转角为90°
故选：C．
【点评】考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心的知识，难度不大．
9．（4分）“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（ ）
A．w＝（99﹣x）[200+10（x﹣50）]
B．w＝（x﹣50）[200+10（99﹣x）]
C．w＝（x﹣50）（200+×10）
D．w＝（x﹣50）（200+×10）
【分析】设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），根据每件利润＝实际售价﹣成本价，销售量＝原销售量+因价格下降而增加的数量，总利润＝每件利润×销售数量，即可得出w与x之间的函数解析式．
解：设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），
则每件盈利（x﹣50）元，每天可销售（200+×10）件，
根据题意得：w＝（x﹣50）（200+×10），
故选：D．
【点评】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，理解题意找到题目蕴含的等量关系是解题的关键．
10．（4分）已知ab＞0，4a+2b+c＝0，4a﹣2b+c＞0，则下列结论成立的是（ ）
A．a＜0，b2＜4acB．a＜0，b2＞4ac
C．a＞0，b2＞4acD．a＞0，b2＜4ac
【分析】设y＝ax2+bx+c，由ab＞0，4a+2b+c＝0，4a﹣2b+c＞0可得二次函数过（2，0），（﹣2，t）（t＞0），且其对称轴在x轴负半轴，即可求解．
解：设y＝ax2+bx+c，
∵4a+2b+c＝0，4a﹣2b+c＞0，
∴二次函数过（2，0），（﹣2，t）（t＞0），
∵ab＞0，
∴二次函数对称轴，
二次函数的大致图象如下：
由图象可知a＜0，
∵二次函数与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质．由题意确定二次函数经过的点和其对称轴的特点是解答本题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标为 （﹣3，2） ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
解：点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标为（﹣3，2），
故答案为：（﹣3，2）．
【点评】此题主要考查了两个点关于原点对称时，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为4，则该方程的另一个根为 ﹣6 ．
【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点两个点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的解；
解：由题意抛物线的对称轴x＝﹣1，与x轴的交点为（4，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标（﹣6，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的另一个根为﹣6．
故答案为﹣6
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，将△ABC绕点A按逆时针旋转到△AB′C′的位置，连接CC′，此时CC′∥AB，则旋转角∠BAB′的度数为 30° ．
【分析】由平行线的性质可求得∠C′CA的度数，然后由旋转的性质得到AC＝AC′，然后依据等腰三角形的性质可知∠AC′C的度数，依据三角形的内角和定理可求得∠CAC′的度数，从而得到∠BAB′的度数．
解：∵CC′∥AB，
∴∠C′CA＝∠CAB＝75°，
∵由旋转的性质可知，AC＝AC′，
∴∠ACC′＝∠AC′C＝75°，
∴∠CAC′＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠BAB′＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题主要考查的是旋转的性质，证出∠C′CA＝70°以及AC＝AC′是解题的关键．
14．（4分）筒车是我国古代发明的一利水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O（O在水面上方）为圆心的圆，且圆O被水面截得的弦AB长为8米．若筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，则这个圆的半径为 5 米．
【分析】过O作半径OC⊥AB于D点，连接OA，如图，根据题意得CD＝2，设⊙O的半径为R米，则OD＝（R﹣2）米，OA＝R米，再利用垂径定理得到AD＝BD＝4米，然后根据勾股定理得到（R﹣2）2+42＝R2，从而解方程求出t即可．
解：过O作半径OC⊥AB于D点，连接OA，如图，则CD＝2，
设⊙O的半径为R米，则OD＝（R﹣2）米，OA＝R米，
∵OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝4米，
在Rt△OAD中，（R﹣2）2+42＝R2，
解得R＝5，
即这个圆的半径为5米．
故答案为：5．
【点评】本题考查了垂径定理的应用：利用垂径定理和勾股定理相结合，把实际问题转化为在直角三角形中计算弦长、半径、弦心距等的问题．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为 2.4cm ．
【分析】如图所示，过C作CD⊥AB，交AB于点D，在直角三角形ABC中，由AC与BC的长，利用勾股定理求出AB的长，利用面积法求出CD的长，即为所求的r．
解：如图所示，过C作CD⊥AB，交AB于点D，
在Rt△ABC中，AC＝3cm，BC＝4cm，
根据勾股定理得：AB＝＝5cm，
∵S△ABC＝BC•AC＝AB•CD，
∴×3×4＝×5CD，
解得：CD＝2.4，
则r＝2.4cm．
故答案为：2.4cm．
【点评】此题考查了切线的性质，勾股定理，以及三角形面积求法，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，对角线AC上的有一动点P（点P不与点C、点A重合），以DP为边作正方形DPFG．
①在P点运动过程中，F点始终在射线BC上；
②在P点运动过程中，∠CPD可能为135°；
③若E是DC的中点，连接EG，则EG的最小值为；
④△CDP为等腰三角形时，AP的值为或．
以上结论正确的是为 ①④ ．
【分析】由“SAS”可证△DPH≌△FPC，可得∠PHD＝∠PC°＝135°，可证点B，点C，点F三点共线，故①符合题意；由三角形的外角可得∠CPD不可能为135°，故②不符合题意；由△DPN≌△DGE（SAS），可得EG＝PN，当NP⊥AC时，NP有最小值为，即EG有最小值为，故③不符合题意；由等腰三角形的性质可得AP的值为或，故④符合题意，即可求解．
解：如图，过点P作PH⊥PC交CD于H，
∵四边形ABCD和四边形DPFG是正方形，
∴PD＝PF，∠DPF＝∠HPC＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°，
∴∠DPH＝∠CPF，∠PCH＝∠PHC＝45°，
∴PH＝PC，∠PHD＝135°，
∴△DPH≌△FPC（SAS），
∴∠PHD＝∠PCF＝135°，
∴∠ACB+∠PCF＝180°，
∴点B，点C，点F三点共线，
故①符合题意；
∵∠CPD＝∠CAD+∠ADP，∠CAD＝45°，∠CPD＝135°，
∴∠ADP＝90°，
则点P与点C重合，此时∠CPD不存在，
故②不符合题意；
如图，取AD的中点N，连接PN，
∵点N是AD的中点，点E是CD中点，
∴AN＝DE＝DN＝4，
∵∠ADC＝∠PDG＝90°，
∴∠ADP＝∠GDE，
又∵DP＝DG，
∴△DPN≌△DGE（SAS），
∴EG＝PN，
∵点P是线段AC上一点，
∴当NP⊥AC时，NP有最小值．
∴EG有最小值为，
故③不符合题意；
∵AD＝CD＝8，
∴，
当点P是AC中点时，，
则△PCD是等腰三角形，
当CP＝CD＝8时，△PCD是等腰三角形，
∴，
故④符合题意，
故答案为：①④．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（共9小题，共86分）
17．（8分）解下列方桯：
（1）3（x﹣1）2﹣12＝0；
（2）2x2﹣4x﹣7＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
解：（1）∵3（x﹣1）2﹣12＝0，
∴3（x﹣1）2＝12，
∴（x﹣1）2＝4，
则x﹣1＝±2，即x＝1±2，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（2）∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣7，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣7）＝72＞0，
则x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
18．（6分）已知抛物线y＝x2﹣（m﹣3）x﹣m．求证：无论m为何值时，抛物线与x轴总有两个交点．
【分析】首先确定a、b、c，然后证明Δ＞0即可判断．
【解答】证明：a＝1，b＝﹣（m﹣3），c＝﹣m．
Δ＝b2﹣4ac＝（m﹣3）2+4m
＝m2﹣2m+9
＝（m﹣1）2+8．
∵（m﹣1）2≥0，8≥0．
则Δ＞0，
∴无论m为何值时，抛物线与x轴总有两个交点．
【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点，当Δ＞0时，函数与x轴有两个交点；当Δ＝0时，有一个交点，即顶点；当Δ＜0时，没有交点．
19．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，旋转中心的坐标为 （﹣3，0） ．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用中心对称变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可；
（3）对应点连线的交点即为旋转中心．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）旋转中心Q的坐标为（﹣3，0），
故答案为：（﹣3，0）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换，中心对称变换等知识，掌握旋转变换，平移变换，中心对称变换的性质是解题的关键．
20．（8分）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴交于点A，B，直线BC的解析式是y＝﹣x+b．
（1）求二次函数图象的顶点坐标．
（2）求不等式ax2+2x+c≤﹣x+b的解集．
【分析】（1）将C点代入到直线BC的解析式，求出b，再由直线BC的解析式，求出B点坐标，将B，C两点坐标代入到二次函数解析式中，得到二次函数解析式，再将其配成顶点式求出顶点坐标；
（2）根据题意，B点和C点直线和抛物线的交点，根据图象，数形结合，即可求解．
解：（1）∵y＝﹣x+b经过点C（0，3），
∴b＝3，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
令y＝0，则﹣x+3＝0，
∴x＝3，
∴点B的坐标为（3，0），
∴B（3，0），
∵y＝ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），B（3，0），
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴此二次函数图象的顶点坐标为（1，4）；
（2）由题可得，当x＝0或3时，ax2+bx+c＝﹣x+b，
根据图象可得：x≤0或x≥3时，ax2+bx+c≤﹣x+b，
∴原不等式的解集为：x≤0或x≥3．
【点评】本题考查了二次函数与x轴交点，二次函数与直线交点问题，还考查了用函数观点看不等式，求出直线与抛物线交点，数形结合是解决此类问题的关键．
21．如图，点D为等边△ABC的边BC的中点，AB＝2．将△ABD绕A点逆时针旋转60°．
（1）尺规作图：作出△ABD旋转后的图形（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在题1所作图形中，连接D点与它的对应点，并求出它的长度．
【分析】（1）利用△ABC为等边三角形，则AC＝AB，△ABD绕A点逆时针旋转60°，B点旋转到C点，然后以A点、C点为圆心，AD、BD为半径画弧，两弧的交点E为D点的对应点；
（2）先根据等边三角形的性质得到AD⊥BD，BD＝1，则可计算出AD＝，再根据旋转的性质得到AD＝AE，∠DAE＝60°，则可判断△ADE为等边三角形，从而得到DE的长．
解：（1）如图，△ACE为所作；
（2）∵点D为等边△ABC的边BC的中点，
∴AD⊥BD，BD＝1，
∴AD＝＝，
∵△ABD绕A点逆时针旋转60°得到△ACE，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE＝AD＝．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
也考查了等边三角形的性质．
22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，分别延长BC，AD，使它们相交于点E，AB＝8，且DC＝DE．
（1）求证：∠A＝∠AEB．
（2）若∠EDC＝90°，点C为BE的中点，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补可得∠A+∠BCD＝180°，再由邻补角互补可得∠BCD+∠DCE＝180°，根据同角的补角相等可得∠A＝∠DCE，再根据等边对等角可得∠E＝∠DCE，再根据等量代换可得∠A＝∠AEB．
（2）连接AC，根据直角所对的弦是直径得出AC为⊙O的直径，根据勾股定理求出AC，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠A＝∠DCE，
∵DC＝DE
∴∠E＝∠DCE，
∴∠A＝∠AEB；
（2）解：如图，连接AC，
∵∠EDC＝90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵∠A＝∠AEB
∴AB＝BE
∵AB＝8，
∴BE＝8，
∵点C为BE的中点，
∴，
在Rt△ABC中，，
∴⊙O的半径为．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质，直角所对的弦是直径，勾股定理，掌握以上知识是解题关键．
23．掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点5m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于11m时，即可得满分8分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．
【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y＝0，解方程即可．
解：（1）根据题意设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣4）2+5，
把（0，）代入解析式得：＝a（0﹣4）2+5，
解得：a＝﹣，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣（x﹣4）2+5；
（2）该男生在此项考试中不能得满分，理由：
令y＝0，则﹣（x﹣4）2+5＝0，
解得：x1＝9，x2＝﹣1（舍去），
∵9＜11，
∴该男生在此项考试中不能得满分．
【点评】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程为题．
24．（13分）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的动点（不与B，C重合），将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接AF，EF、AF分别与CD交于点M、N，作FG⊥BC于点G；
（1）求证：BE＝CG
（2）探究线段BE、EN、DN间的等量关系，并说明理由；
（3）如图2，当点E运动到BC的中点时，若AB＝6，求MN的长．
【分析】（1）根据同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AE＝EF，利用AAS得到三角形ABE与三角形EFG全等即可解决问题．
（2）结论：EN＝BE+DN．如图1中，延长EB到K，使得BK＝DN．构造全等三角形解决问题即可．
（3）如图2中，作FK⊥AB于K，交CD于J．分别求出NJ，JM即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠GEF＝90°，
又∵∠AEB+∠BAE＝90°
∴∠GEF＝∠BAE，
又∵FG⊥BC，
∴∠ABE＝∠EGF＝90°，
在△ABE与△EGF中，
，
∴△ABE≌△EGF（AAS），
∴AB＝EG，
∵AB＝BC，
∴BC＝EG，
∴BE＝CG．
（2）解：结论：EN＝BE+DN．
理由：如图1中，延长EB到K，使得BK＝DN．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝∠D＝∠ABC＝∠ABK＝90°，
∵DN＝BK，
∴△ADN≌△ABK（SAS），
∴AK＝AN，∠BAK＝∠DAN，
∵EA＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠EAF＝45°，
∴∠KAE＝∠BAK+∠BAE＝∠DAN+∠BAE＝45°，
∴∠EAK＝∠EAN＝45°，
∵AE＝AE，
∴△EAK≌△EAN（SAS），
∴EN＝EK，
∵EK＝BK+BE＝DN+BE，
∴EN＝BE+DN．
（3）解：如图2中，作FK⊥AB于K，交CD于J．
∵△ABE≌△EGF，
∴BE＝GE，
∵BE＝CE＝3，
∴FG＝BE＝CG＝3，
∵AB∥CD，
∴∠FKB＝∠FJC＝90°，
∵∠G＝∠JCG＝90°，
∴四边形FGCJ是矩形，
∵CG＝FG，
∴四边形FGCJ是正方形，
CG＝FG＝3，
∵EC＝CG，CM∥FG，
∴CM＝FG＝，
∴JM＝CJ﹣CM＝，
∵四边形BGFK是矩形，
∴FK＝BG＝9，BK＝FG＝AK＝3，
∵JN∥AK，
∴＝，
∴＝，
∴NJ＝1，
∴MN＝NJ+JM＝1+＝．
【点评】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．（13分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点O为坐标原点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若点D是线段OC上靠近点O的一个三等分点，点P是抛物线的一个动点，过点P作x轴的垂线，分别交射线BC，BD于点M，N．
①求直线BD的解析式（用含a的式子表示）；
②设△NBM，△NBP的面积分别为S1，S2，若，求此时点P的横坐标．
【分析】（1）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a，令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）①先求得C（0，﹣3a），则D（0，﹣a），即可用待定系数法求得直线BD的解析式为y＝ax﹣a；
②先求得直线BC的解析式为y＝ax﹣3a，由题意得PN＝2MN，设点P的横坐标为x，则P（x，ax2﹣2ax﹣3a），M（x，ax﹣3a），N（x，ax﹣a），所以MN＝ax﹣a﹣（ax﹣3a）＝﹣ax+2a，再分三种情况讨论，一是点P在线段MN的延长线上，则PN＝ax2﹣2ax﹣3a﹣（ax﹣a）＝ax2﹣ax﹣2a，可列方程ax2﹣ax﹣2a＝2（﹣ax+2a）；二是点P在线段MN上，此时PN≠2MN；三是点P在线段NM的延长线上，则PN＝ax﹣a﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+ax+2a，可列方程﹣ax2+ax+2a＝2（﹣ax+2a），解方程求出符合题意的x的值即可．
解：（1）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a，当y＝0时，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，
∵a＞0，
∴x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
（2）①抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a，当x＝0时，y＝﹣3a，
∴C（0，﹣3a），
∴OC＝3a，
∵点D是线段OC上靠近点O的一个三等分点，
∴OD＝OC＝×3a＝a，
∴D（0，﹣a），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
∵直线y＝kx+b经过点B（3，0），D（0，﹣a），
∴，解得，
∴直线BD的解析式为y＝ax﹣a．
②设直线BC的解析式为y＝px+q，
∵直线y＝px+q经过点B（3，0），D（0，﹣3a），
∴，解得，，
∴直线BC的解析式为y＝ax﹣3a，
∵△NBM，△NBP的面积分别为S1，S2，且，
∴＝，
∴PN＝2MN，
设点P的横坐标为x，则P（x，ax2﹣2ax﹣3a），M（x，ax﹣3a），N（x，ax﹣a），
∴MN＝ax﹣a﹣（ax﹣3a）＝﹣ax+2a，
当点P在线段MN的延长线上，如图1，则PN＝ax2﹣2ax﹣3a﹣（ax﹣a）＝ax2﹣ax﹣2a，
∴ax2﹣ax﹣2a＝2（﹣ax+2a），解得x1＝﹣2，x2＝3（不符合题意，舍去）；
当点P在线段MN上，如图2，此时PN≠2MN；
当点P在线段NM的延长线上，如图3，则PN＝ax﹣a﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+ax+2a，
∴﹣ax2+ax+2a＝2（﹣ax+2a），解得x1＝，x2＝3（不符合题意，舍去）；
综上所述，点P的横坐标为﹣2或．
【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、等高三角形面积的比等于底边长的比、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题
1．（4分）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）方程x2＝5x的解是（ ）
A．x＝5B．x＝0
C．x1＝﹣5；x2＝0D．x1＝5；x2＝0
3．（4分）若（2，5），（6，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（ ）
A．x＝1B．x＝2C．x＝3D．x＝4
4．（4分）对于二次函数y＝﹣4（x+6）2﹣5的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴交点的坐标是（0，5）
B．对称轴是直线x＝6
C．顶点坐标为（﹣6，5）
D．当x＜﹣6时，y随x的增大而增大
5．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（ ）
A．CM＝DMB．C．AD＝2BDD．∠BCD＝∠BDC
6．（4分）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝110°，则∠AOB等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．140°
7．（4分）一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
8．（4分）如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与点A对应，则角α等于（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
9．（4分）“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（ ）
A．w＝（99﹣x）[200+10（x﹣50）]
B．w＝（x﹣50）[200+10（99﹣x）]
C．w＝（x﹣50）（200+×10）
D．w＝（x﹣50）（200+×10）
10．（4分）已知ab＞0，4a+2b+c＝0，4a﹣2b+c＞0，则下列结论成立的是（ ）
A．a＜0，b2＜4acB．a＜0，b2＞4ac
C．a＞0，b2＞4acD．a＞0，b2＜4ac
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标为 ．
12．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为4，则该方程的另一个根为 ．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，将△ABC绕点A按逆时针旋转到△AB′C′的位置，连接CC′，此时CC′∥AB，则旋转角∠BAB′的度数为 ．
14．（4分）筒车是我国古代发明的一利水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O（O在水面上方）为圆心的圆，且圆O被水面截得的弦AB长为8米．若筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，则这个圆的半径为 米．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为 ．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，对角线AC上的有一动点P（点P不与点C、点A重合），以DP为边作正方形DPFG．
①在P点运动过程中，F点始终在射线BC上；
②在P点运动过程中，∠CPD可能为135°；
③若E是DC的中点，连接EG，则EG的最小值为；
④△CDP为等腰三角形时，AP的值为或．
以上结论正确的是为 ．
三、解答题（共9小题，共86分）
17．（8分）解下列方桯：
（1）3（x﹣1）2﹣12＝0；
（2）2x2﹣4x﹣7＝0．
18．（6分）已知抛物线y＝x2﹣（m﹣3）x﹣m．求证：无论m为何值时，抛物线与x轴总有两个交点．
19．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，旋转中心的坐标为 ．
20．（8分）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴交于点A，B，直线BC的解析式是y＝﹣x+b．
（1）求二次函数图象的顶点坐标．
（2）求不等式ax2+2x+c≤﹣x+b的解集．
21．如图，点D为等边△ABC的边BC的中点，AB＝2．将△ABD绕A点逆时针旋转60°．
（1）尺规作图：作出△ABD旋转后的图形（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在题1所作图形中，连接D点与它的对应点，并求出它的长度．
22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，分别延长BC，AD，使它们相交于点E，AB＝8，且DC＝DE．
（1）求证：∠A＝∠AEB．
（2）若∠EDC＝90°，点C为BE的中点，求⊙O的半径．
23．掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点5m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于11m时，即可得满分8分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．
24．（13分）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的动点（不与B，C重合），将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接AF，EF、AF分别与CD交于点M、N，作FG⊥BC于点G；
（1）求证：BE＝CG
（2）探究线段BE、EN、DN间的等量关系，并说明理由；
（3）如图2，当点E运动到BC的中点时，若AB＝6，求MN的长．
25．（13分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点O为坐标原点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若点D是线段OC上靠近点O的一个三等分点，点P是抛物线的一个动点，过点P作x轴的垂线，分别交射线BC，BD于点M，N．
①求直线BD的解析式（用含a的式子表示）；
②设△NBM，△NBP的面积分别为S1，S2，若，求此时点P的横坐标．
2023-2024学年福建省福州八中九年级（上）月考数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题4分，共10小题，共40分）
1．（4分）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念和各图的特点求解．
解：选项D能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项A、B、C均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：D．
【点评】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（4分）方程x2＝5x的解是（ ）
A．x＝5B．x＝0
C．x1＝﹣5；x2＝0D．x1＝5；x2＝0
【分析】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
解：x2﹣5x＝0，
x（x﹣5）＝0，
x＝0或x﹣5＝0，
所以x1＝0，x2＝5，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
3．（4分）若（2，5），（6，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，则它的对称轴是（ ）
A．x＝1B．x＝2C．x＝3D．x＝4
【分析】由已知，点（2，5）、（6，5）是该抛物线上关于对称轴对称的两点，所以只需求两对称点横坐标的平均数．
解：因为点（2，5）、（6，5）在抛物线上，
根据抛物线上纵坐标相等的两点，其横坐标的平均数就是对称轴，
所以，对称轴x＝＝4；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的对称性．二次函数关于对称轴成轴对称图形．
4．（4分）对于二次函数y＝﹣4（x+6）2﹣5的图象，下列说法正确的是（ ）
A．图象与y轴交点的坐标是（0，5）
B．对称轴是直线x＝6
C．顶点坐标为（﹣6，5）
D．当x＜﹣6时，y随x的增大而增大
【分析】根据二次函数顶点式的特点进行判断即可．
解：∵二次函数y＝﹣4（x+6）2﹣5，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣6，顶点坐标为（﹣6，﹣5），
∴当x＜﹣6时，y随x的增大而增大，
令x＝0，则y＝﹣149，
∴图象与y轴得交点为（0，﹣149），
故A、B、C选项错误；D选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的顶点式，解题的关键在于熟练掌握二次函数顶点式的特点．
5．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是（ ）
A．CM＝DMB．C．AD＝2BDD．∠BCD＝∠BDC
【分析】根据垂径定理判断求解．
解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴由垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两段弧知，CM＝DM，；
由圆周角定理知，∠BCD＝∠BDC，故只有C错误．
故选：C．
【点评】本题考查了垂径定理和圆周角定理．
6．（4分）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝110°，则∠AOB等于（ ）
A．100°B．110°C．120°D．140°
【分析】根据圆周角定理及角的和差即可求得答案．
解：∵∠C＝110°，
∴优弧所对的圆心角为2∠C＝220°，
∴∠AOB＝360°﹣220°＝140°，
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理，利用其求得优弧所对的圆心角是解题的关键．
7．（4分）一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】可先由一次函数y＝ax+c图象得到字母系数的正负，再与二次函数y＝ax2+bx+c的图象相比较看是否一致．
解：由，解得或，
∴一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）的交点为（1，a﹣1），（，0），
A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误，不符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，由一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）可知，两图象交于点（1，a﹣1），则交点在y轴的右侧，故本选项错误，不符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，两图象的一个交点在x轴上，另一个交点在第四选项，故本选项正确，符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，a的取值矛盾，故本选项错误，不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y＝kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
8．（4分）如图，在正方形网格中，线段A′B′是线段AB绕某点逆时针旋转角α得到的，点A′与点A对应，则角α等于（ ）
A．45°B．60°C．90°D．120°
【分析】如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′，∠AOA′即为旋转角．
解：如图：连接AA′，BB′，作线段AA′，BB′的垂直平分线交点为O，点O即为旋转中心．连接OA，OB′
∠AOA′即为旋转角，
∴旋转角为90°
故选：C．
【点评】考查了旋转的性质，解题的关键是能够根据题意确定旋转中心的知识，难度不大．
9．（4分）“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（ ）
A．w＝（99﹣x）[200+10（x﹣50）]
B．w＝（x﹣50）[200+10（99﹣x）]
C．w＝（x﹣50）（200+×10）
D．w＝（x﹣50）（200+×10）
【分析】设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），根据每件利润＝实际售价﹣成本价，销售量＝原销售量+因价格下降而增加的数量，总利润＝每件利润×销售数量，即可得出w与x之间的函数解析式．
解：设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），
则每件盈利（x﹣50）元，每天可销售（200+×10）件，
根据题意得：w＝（x﹣50）（200+×10），
故选：D．
【点评】本题主要考查根据实际问题列二次函数关系式，理解题意找到题目蕴含的等量关系是解题的关键．
10．（4分）已知ab＞0，4a+2b+c＝0，4a﹣2b+c＞0，则下列结论成立的是（ ）
A．a＜0，b2＜4acB．a＜0，b2＞4ac
C．a＞0，b2＞4acD．a＞0，b2＜4ac
【分析】设y＝ax2+bx+c，由ab＞0，4a+2b+c＝0，4a﹣2b+c＞0可得二次函数过（2，0），（﹣2，t）（t＞0），且其对称轴在x轴负半轴，即可求解．
解：设y＝ax2+bx+c，
∵4a+2b+c＝0，4a﹣2b+c＞0，
∴二次函数过（2，0），（﹣2，t）（t＞0），
∵ab＞0，
∴二次函数对称轴，
二次函数的大致图象如下：
由图象可知a＜0，
∵二次函数与x轴有2个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
即b2＞4ac，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质．由题意确定二次函数经过的点和其对称轴的特点是解答本题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标为 （﹣3，2） ．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
解：点（3，﹣2）关于原点的对称点的坐标为（﹣3，2），
故答案为：（﹣3，2）．
【点评】此题主要考查了两个点关于原点对称时，关键是掌握点的坐标的变化规律．
12．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为4，则该方程的另一个根为 ﹣6 ．
【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点两个点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的解；
解：由题意抛物线的对称轴x＝﹣1，与x轴的交点为（4，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标（﹣6，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的另一个根为﹣6．
故答案为﹣6
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13．（4分）如图，在△ABC中，∠CAB＝75°，将△ABC绕点A按逆时针旋转到△AB′C′的位置，连接CC′，此时CC′∥AB，则旋转角∠BAB′的度数为 30° ．
【分析】由平行线的性质可求得∠C′CA的度数，然后由旋转的性质得到AC＝AC′，然后依据等腰三角形的性质可知∠AC′C的度数，依据三角形的内角和定理可求得∠CAC′的度数，从而得到∠BAB′的度数．
解：∵CC′∥AB，
∴∠C′CA＝∠CAB＝75°，
∵由旋转的性质可知，AC＝AC′，
∴∠ACC′＝∠AC′C＝75°，
∴∠CAC′＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠BAB′＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题主要考查的是旋转的性质，证出∠C′CA＝70°以及AC＝AC′是解题的关键．
14．（4分）筒车是我国古代发明的一利水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，点M表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O（O在水面上方）为圆心的圆，且圆O被水面截得的弦AB长为8米．若筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，则这个圆的半径为 5 米．
【分析】过O作半径OC⊥AB于D点，连接OA，如图，根据题意得CD＝2，设⊙O的半径为R米，则OD＝（R﹣2）米，OA＝R米，再利用垂径定理得到AD＝BD＝4米，然后根据勾股定理得到（R﹣2）2+42＝R2，从而解方程求出t即可．
解：过O作半径OC⊥AB于D点，连接OA，如图，则CD＝2，
设⊙O的半径为R米，则OD＝（R﹣2）米，OA＝R米，
∵OC⊥AB，
∴AD＝BD＝AB＝4米，
在Rt△OAD中，（R﹣2）2+42＝R2，
解得R＝5，
即这个圆的半径为5米．
故答案为：5．
【点评】本题考查了垂径定理的应用：利用垂径定理和勾股定理相结合，把实际问题转化为在直角三角形中计算弦长、半径、弦心距等的问题．
15．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r的值为 2.4cm ．
【分析】如图所示，过C作CD⊥AB，交AB于点D，在直角三角形ABC中，由AC与BC的长，利用勾股定理求出AB的长，利用面积法求出CD的长，即为所求的r．
解：如图所示，过C作CD⊥AB，交AB于点D，
在Rt△ABC中，AC＝3cm，BC＝4cm，
根据勾股定理得：AB＝＝5cm，
∵S△ABC＝BC•AC＝AB•CD，
∴×3×4＝×5CD，
解得：CD＝2.4，
则r＝2.4cm．
故答案为：2.4cm．
【点评】此题考查了切线的性质，勾股定理，以及三角形面积求法，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
16．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，对角线AC上的有一动点P（点P不与点C、点A重合），以DP为边作正方形DPFG．
①在P点运动过程中，F点始终在射线BC上；
②在P点运动过程中，∠CPD可能为135°；
③若E是DC的中点，连接EG，则EG的最小值为；
④△CDP为等腰三角形时，AP的值为或．
以上结论正确的是为 ①④ ．
【分析】由“SAS”可证△DPH≌△FPC，可得∠PHD＝∠PC°＝135°，可证点B，点C，点F三点共线，故①符合题意；由三角形的外角可得∠CPD不可能为135°，故②不符合题意；由△DPN≌△DGE（SAS），可得EG＝PN，当NP⊥AC时，NP有最小值为，即EG有最小值为，故③不符合题意；由等腰三角形的性质可得AP的值为或，故④符合题意，即可求解．
解：如图，过点P作PH⊥PC交CD于H，
∵四边形ABCD和四边形DPFG是正方形，
∴PD＝PF，∠DPF＝∠HPC＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°，
∴∠DPH＝∠CPF，∠PCH＝∠PHC＝45°，
∴PH＝PC，∠PHD＝135°，
∴△DPH≌△FPC（SAS），
∴∠PHD＝∠PCF＝135°，
∴∠ACB+∠PCF＝180°，
∴点B，点C，点F三点共线，
故①符合题意；
∵∠CPD＝∠CAD+∠ADP，∠CAD＝45°，∠CPD＝135°，
∴∠ADP＝90°，
则点P与点C重合，此时∠CPD不存在，
故②不符合题意；
如图，取AD的中点N，连接PN，
∵点N是AD的中点，点E是CD中点，
∴AN＝DE＝DN＝4，
∵∠ADC＝∠PDG＝90°，
∴∠ADP＝∠GDE，
又∵DP＝DG，
∴△DPN≌△DGE（SAS），
∴EG＝PN，
∵点P是线段AC上一点，
∴当NP⊥AC时，NP有最小值．
∴EG有最小值为，
故③不符合题意；
∵AD＝CD＝8，
∴，
当点P是AC中点时，，
则△PCD是等腰三角形，
当CP＝CD＝8时，△PCD是等腰三角形，
∴，
故④符合题意，
故答案为：①④．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解答题（共9小题，共86分）
17．（8分）解下列方桯：
（1）3（x﹣1）2﹣12＝0；
（2）2x2﹣4x﹣7＝0．
【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
解：（1）∵3（x﹣1）2﹣12＝0，
∴3（x﹣1）2＝12，
∴（x﹣1）2＝4，
则x﹣1＝±2，即x＝1±2，
∴x1＝3，x2＝﹣1；
（2）∵a＝2，b＝﹣4，c＝﹣7，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（﹣7）＝72＞0，
则x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
18．（6分）已知抛物线y＝x2﹣（m﹣3）x﹣m．求证：无论m为何值时，抛物线与x轴总有两个交点．
【分析】首先确定a、b、c，然后证明Δ＞0即可判断．
【解答】证明：a＝1，b＝﹣（m﹣3），c＝﹣m．
Δ＝b2﹣4ac＝（m﹣3）2+4m
＝m2﹣2m+9
＝（m﹣1）2+8．
∵（m﹣1）2≥0，8≥0．
则Δ＞0，
∴无论m为何值时，抛物线与x轴总有两个交点．
【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点，当Δ＞0时，函数与x轴有两个交点；当Δ＝0时，有一个交点，即顶点；当Δ＜0时，没有交点．
19．（8分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
（1）将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1请画出△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
（3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，旋转中心的坐标为 （﹣3，0） ．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用中心对称变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可；
（3）对应点连线的交点即为旋转中心．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）旋转中心Q的坐标为（﹣3，0），
故答案为：（﹣3，0）．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平移变换，中心对称变换等知识，掌握旋转变换，平移变换，中心对称变换的性质是解题的关键．
20．（8分）如图，已知二次函数y＝ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴交于点A，B，直线BC的解析式是y＝﹣x+b．
（1）求二次函数图象的顶点坐标．
（2）求不等式ax2+2x+c≤﹣x+b的解集．
【分析】（1）将C点代入到直线BC的解析式，求出b，再由直线BC的解析式，求出B点坐标，将B，C两点坐标代入到二次函数解析式中，得到二次函数解析式，再将其配成顶点式求出顶点坐标；
（2）根据题意，B点和C点直线和抛物线的交点，根据图象，数形结合，即可求解．
解：（1）∵y＝﹣x+b经过点C（0，3），
∴b＝3，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
令y＝0，则﹣x+3＝0，
∴x＝3，
∴点B的坐标为（3，0），
∴B（3，0），
∵y＝ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），B（3，0），
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴此二次函数图象的顶点坐标为（1，4）；
（2）由题可得，当x＝0或3时，ax2+bx+c＝﹣x+b，
根据图象可得：x≤0或x≥3时，ax2+bx+c≤﹣x+b，
∴原不等式的解集为：x≤0或x≥3．
【点评】本题考查了二次函数与x轴交点，二次函数与直线交点问题，还考查了用函数观点看不等式，求出直线与抛物线交点，数形结合是解决此类问题的关键．
21．如图，点D为等边△ABC的边BC的中点，AB＝2．将△ABD绕A点逆时针旋转60°．
（1）尺规作图：作出△ABD旋转后的图形（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在题1所作图形中，连接D点与它的对应点，并求出它的长度．
【分析】（1）利用△ABC为等边三角形，则AC＝AB，△ABD绕A点逆时针旋转60°，B点旋转到C点，然后以A点、C点为圆心，AD、BD为半径画弧，两弧的交点E为D点的对应点；
（2）先根据等边三角形的性质得到AD⊥BD，BD＝1，则可计算出AD＝，再根据旋转的性质得到AD＝AE，∠DAE＝60°，则可判断△ADE为等边三角形，从而得到DE的长．
解：（1）如图，△ACE为所作；
（2）∵点D为等边△ABC的边BC的中点，
∴AD⊥BD，BD＝1，
∴AD＝＝，
∵△ABD绕A点逆时针旋转60°得到△ACE，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∴△ADE为等边三角形，
∴DE＝AD＝．
【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
也考查了等边三角形的性质．
22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，分别延长BC，AD，使它们相交于点E，AB＝8，且DC＝DE．
（1）求证：∠A＝∠AEB．
（2）若∠EDC＝90°，点C为BE的中点，求⊙O的半径．
【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补可得∠A+∠BCD＝180°，再由邻补角互补可得∠BCD+∠DCE＝180°，根据同角的补角相等可得∠A＝∠DCE，再根据等边对等角可得∠E＝∠DCE，再根据等量代换可得∠A＝∠AEB．
（2）连接AC，根据直角所对的弦是直径得出AC为⊙O的直径，根据勾股定理求出AC，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠BCD＝180°，
∵∠BCD+∠DCE＝180°，
∴∠A＝∠DCE，
∵DC＝DE
∴∠E＝∠DCE，
∴∠A＝∠AEB；
（2）解：如图，连接AC，
∵∠EDC＝90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∵∠A＝∠AEB
∴AB＝BE
∵AB＝8，
∴BE＝8，
∵点C为BE的中点，
∴，
在Rt△ABC中，，
∴⊙O的半径为．
【点评】本题考查圆内接四边形的性质，直角所对的弦是直径，勾股定理，掌握以上知识是解题关键．
23．掷实心球是中考体育考试项目之一．如图1是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点5m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于11m时，即可得满分8分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．
【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y＝0，解方程即可．
解：（1）根据题意设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣4）2+5，
把（0，）代入解析式得：＝a（0﹣4）2+5，
解得：a＝﹣，
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣（x﹣4）2+5；
（2）该男生在此项考试中不能得满分，理由：
令y＝0，则﹣（x﹣4）2+5＝0，
解得：x1＝9，x2＝﹣1（舍去），
∵9＜11，
∴该男生在此项考试中不能得满分．
【点评】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，关键是理解题意把函数问题转化为方程为题．
24．（13分）如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上的动点（不与B，C重合），将线段AE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF，连接AF，EF、AF分别与CD交于点M、N，作FG⊥BC于点G；
（1）求证：BE＝CG
（2）探究线段BE、EN、DN间的等量关系，并说明理由；
（3）如图2，当点E运动到BC的中点时，若AB＝6，求MN的长．
【分析】（1）根据同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AE＝EF，利用AAS得到三角形ABE与三角形EFG全等即可解决问题．
（2）结论：EN＝BE+DN．如图1中，延长EB到K，使得BK＝DN．构造全等三角形解决问题即可．
（3）如图2中，作FK⊥AB于K，交CD于J．分别求出NJ，JM即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠GEF＝90°，
又∵∠AEB+∠BAE＝90°
∴∠GEF＝∠BAE，
又∵FG⊥BC，
∴∠ABE＝∠EGF＝90°，
在△ABE与△EGF中，
，
∴△ABE≌△EGF（AAS），
∴AB＝EG，
∵AB＝BC，
∴BC＝EG，
∴BE＝CG．
（2）解：结论：EN＝BE+DN．
理由：如图1中，延长EB到K，使得BK＝DN．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝∠D＝∠ABC＝∠ABK＝90°，
∵DN＝BK，
∴△ADN≌△ABK（SAS），
∴AK＝AN，∠BAK＝∠DAN，
∵EA＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠EAF＝45°，
∴∠KAE＝∠BAK+∠BAE＝∠DAN+∠BAE＝45°，
∴∠EAK＝∠EAN＝45°，
∵AE＝AE，
∴△EAK≌△EAN（SAS），
∴EN＝EK，
∵EK＝BK+BE＝DN+BE，
∴EN＝BE+DN．
（3）解：如图2中，作FK⊥AB于K，交CD于J．
∵△ABE≌△EGF，
∴BE＝GE，
∵BE＝CE＝3，
∴FG＝BE＝CG＝3，
∵AB∥CD，
∴∠FKB＝∠FJC＝90°，
∵∠G＝∠JCG＝90°，
∴四边形FGCJ是矩形，
∵CG＝FG，
∴四边形FGCJ是正方形，
CG＝FG＝3，
∵EC＝CG，CM∥FG，
∴CM＝FG＝，
∴JM＝CJ﹣CM＝，
∵四边形BGFK是矩形，
∴FK＝BG＝9，BK＝FG＝AK＝3，
∵JN∥AK，
∴＝，
∴＝，
∴NJ＝1，
∴MN＝NJ+JM＝1+＝．
【点评】此题属于四边形综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
25．（13分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点O为坐标原点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若点D是线段OC上靠近点O的一个三等分点，点P是抛物线的一个动点，过点P作x轴的垂线，分别交射线BC，BD于点M，N．
①求直线BD的解析式（用含a的式子表示）；
②设△NBM，△NBP的面积分别为S1，S2，若，求此时点P的横坐标．
【分析】（1）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a，令y＝0，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，则A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）①先求得C（0，﹣3a），则D（0，﹣a），即可用待定系数法求得直线BD的解析式为y＝ax﹣a；
②先求得直线BC的解析式为y＝ax﹣3a，由题意得PN＝2MN，设点P的横坐标为x，则P（x，ax2﹣2ax﹣3a），M（x，ax﹣3a），N（x，ax﹣a），所以MN＝ax﹣a﹣（ax﹣3a）＝﹣ax+2a，再分三种情况讨论，一是点P在线段MN的延长线上，则PN＝ax2﹣2ax﹣3a﹣（ax﹣a）＝ax2﹣ax﹣2a，可列方程ax2﹣ax﹣2a＝2（﹣ax+2a）；二是点P在线段MN上，此时PN≠2MN；三是点P在线段NM的延长线上，则PN＝ax﹣a﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+ax+2a，可列方程﹣ax2+ax+2a＝2（﹣ax+2a），解方程求出符合题意的x的值即可．
解：（1）抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a，当y＝0时，则ax2﹣2ax﹣3a＝0，
∵a＞0，
∴x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）．
（2）①抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a，当x＝0时，y＝﹣3a，
∴C（0，﹣3a），
∴OC＝3a，
∵点D是线段OC上靠近点O的一个三等分点，
∴OD＝OC＝×3a＝a，
∴D（0，﹣a），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
∵直线y＝kx+b经过点B（3，0），D（0，﹣a），
∴，解得，
∴直线BD的解析式为y＝ax﹣a．
②设直线BC的解析式为y＝px+q，
∵直线y＝px+q经过点B（3，0），D（0，﹣3a），
∴，解得，，
∴直线BC的解析式为y＝ax﹣3a，
∵△NBM，△NBP的面积分别为S1，S2，且，
∴＝，
∴PN＝2MN，
设点P的横坐标为x，则P（x，ax2﹣2ax﹣3a），M（x，ax﹣3a），N（x，ax﹣a），
∴MN＝ax﹣a﹣（ax﹣3a）＝﹣ax+2a，
当点P在线段MN的延长线上，如图1，则PN＝ax2﹣2ax﹣3a﹣（ax﹣a）＝ax2﹣ax﹣2a，
∴ax2﹣ax﹣2a＝2（﹣ax+2a），解得x1＝﹣2，x2＝3（不符合题意，舍去）；
当点P在线段MN上，如图2，此时PN≠2MN；
当点P在线段NM的延长线上，如图3，则PN＝ax﹣a﹣（ax2﹣2ax﹣3a）＝﹣ax2+ax+2a，
∴﹣ax2+ax+2a＝2（﹣ax+2a），解得x1＝，x2＝3（不符合题意，舍去）；
综上所述，点P的横坐标为﹣2或．
【点评】此题重点考查二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、用待定系数法求函数解析式、等高三角形面积的比等于底边长的比、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题
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