2023-2024学年湖南省永州市蓝山县八年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省永州市蓝山县八年级（上）学期期末数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分：120分 时量：120分钟
一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分．）
1．下列式子中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列长度的根小木棒不能搭成三角形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．美国为代表的西方国家为了遏制我国科技发展，禁止相关企业向我国出口高端芯片．2023年华为人在任正非的带领下励精图治、攻坚克难，突破了14纳米工艺．已知14纳米为米，数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
5．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．对顶角相等
C．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
D．绝对值相等的两个数相等
6．如图，，，若，，则的长是（ ）
A．5B．4C．3D．5.5
7．下列判断不正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
8．如图，在中，已知，，分别以、两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，连接与相交于点，则的周长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
9．若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，已知中，，，，点为的中点，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，当点的运动速度为（ ）时，能够在某一时刻使与全等．
A．4B．3C．4或3D．4或6
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．使式子有意义的x的取值范围是 ．
12． ．
13．等腰三角形的两条边长分别为3和8，则这个等腰三角形的周长是 ．
14．若，，则的值为 ．
15．如图，，，，．若，，则 ．
16．如图，在等边三角形中，高，是上的动点，是边上的动点，在点、运动的过程中，的最小值是 ．
三、解答题（本题共9个小题，17、18、19每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共72分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
17．计算：
18．解分式方程：．
19．解不等式组，并求其整数解．
20．先化简，再求值：，其中．
21．如图，点，在上，，，．求证：．

22．近年来国家教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，蓝山县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个某种篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元．
(1)篮球、足球的单价各是多少元；
(2)根据学校的实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个．要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，则该校最多可以购买多少个篮球？
23．永华中学非常注重学生核心素养的提升，为此开展了一系列相关活动，如根据经典阅读里的剧本编排舞台剧并汇演．学校组织初中七、八年级同学乘坐大巴车去七里江大剧院参加舞台剧演出，七里江大剧院距离学校5千米．七年级的车队出发2分钟后，八年级的车队才出发，结果两个年级同学同时到达，八年级车队的平均速度是七年级车队的平均速度的1.2倍．问七年级车队平均每小时行驶多少千米？
24．观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：______；
(2)写出你猜想的第n个等式______（用含n的等式表示），并证明．
25．在Rt△ABC中，，，点D是直线AB上的一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接EB．
(1)操作发现
如图1，当点D在线段AB上时，请你直接写出AB与BE的位置关系为______；线段BD、AB、EB的数量关系为______；
(2)猜想论证
当点D在直线AB上运动时，如图2，是点D在射线AB上，如图3，是点D在射线BA上，请你写出这两种情况下，线段BD、AB、EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；
(3)拓展延伸
若，，请你直接写出△ADE的面积．
参考答案与解析
1．B
【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：、，所以，不是最简二次根式，故本选项错误；
、是最简二次根式，故本选项正确；
、，所以，不是最简二次根式，故本选项错误；
、，所以，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：．
【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式，熟悉相关性质是解题的关键．
2．B
【分析】根据三角形的两条较小的边之和大于最大的边，可以知道项，项，项的三条线段可以构成三角形的，项的三条线段不能构成三角形．
【详解】解：，能构成三角形，不合题意；
，不能构成三角形，符合题意；
，能构成三角形，不合题意；
，能构成三角形，不合题意．
故选：
【点睛】本题考查了三角形三边关系的定理：三角形两边之和大于第三边．在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
3．A
【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方法则逐项判断即可得．
【详解】A、，此项正确；
B、，此项错误；
C、，此项错误；
D、，此项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键．
4．B
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可．
【详解】解：，
故选：B．
5．B
【分析】本题主要考查了判断一个命题逆命题的真假，先把原命题的条件和结论互换，写出对应命题的逆命题，再判断对应逆命题的真假即可得到答案．
【详解】解：A、原命题的逆命题为：同位角线段，两直线平行，是真命题，不符合题意；
B、原命题的逆命题为：相等的两个角为对顶角，是假命题，符合题意；
C、原命题的逆命题为：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上，是真命题，不符合题意；
D、原命题的逆命题为：两个相等的数的绝对值相等，是真命题，不符合题意；
故选：B．
6．A
【分析】本题考查全等三角形判定及性质．根据题意先证明出，再利用全等性质得，再利用线段间关系即可得到本题答案．
【详解】解：根据题意：
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：A．
7．C
【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质即可得到答案．
【详解】解：若，则，故选项A正确；
若，则，故选项B正确；
若，则，故选项C 不正确；
若，则，故选项D正确．
故选C．
8．C
【分析】由作图方式可知，MN为AB的垂直平分线，进而可知AD=BD，在计算周长时只需将BD转化为AD即可．
【详解】
解：由作图方式可知，MN为AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
所以△BDC的周长为：BD+DC+BC= AD+DC+BC=AC+BC=5+3=8，
故选：C．
【点睛】本题考查，做线段的垂直平分线，三角形的周长，垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解决本题的关键．
9．A
【分析】先运用非负数的性质求得，的值，再代入求解．
【详解】∵，
∴，，
解得：，，
∴，
故选：．
【点睛】此题考查了非负数性质的应用能力，解题的关键是能准确理解并运用该知识进行运算．
10．D
【分析】根据AB=AC，等边对等角，可得∠B=∠C，结合全等三角形的性质“全等三角形对应角相等”可知点B的对应点是点C；根据全等三角形对应边相等的性质进行分类讨论即可．
【详解】∵
∴∠B=∠C，
∵≌，
∴点B的对应点是点C，
∵点为的中点，
∴BD==12cm，
∴BP=CP或BD=CP
设点Q的运动速度为xcm/s，经过ts后，≌
BP=4t，CP=16-4t，CQ=xt
①当BP=CP时：4t=16-4t，解得t=2，
此时BD=CQ，12=2x，解得：x=6；
②BD=CP时，12=16-4t，解得：t=1，
此时BP=CQ，4×1=x×1，解得：x=4
综上：当点Q的运动速度为6cm/s或4cm/s时≌，
故选：D
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和全等三角形的性质，熟练地掌握等腰三角形等边对等角以及全等三角形对应边和对应角相等的性质是解题的关键，注意：此题中只能确定一组对应点，故要进行分类讨论．
11．
【分析】根据二次根式成立的条件进行解答即可
【详解】解：由题意可得：
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查二次函数成立的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是本题的解题关键.
12．1
【分析】直接利用立方根以及二次根式的性质化简得出答案．
【详解】解：原式
，
故答案为：1．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
13．19
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分3是腰长与底边长两种情况讨论求解即可，解题的关键是要分情况讨论．
【详解】①是腰长时，三角形的三边分别为，

∴此时不能组成三角形；
②是底边长时，三角形的三边分别为，此时能组成三角形，
∴周长
综上所述，这个等腰三角形的周长是，
故答案为：19．
14．
【分析】本题考查了同底数幂除法的逆应用，幂的乘方的逆应用，利用同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的逆运算把所求式子转化成，代入已知条件即可求解，掌握同底数幂除法的逆应用和幂的乘方的逆应用是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
15．6
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先证明，进而证明，得到，则．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6．
16．8
【分析】本题考查轴对称求最短距离，确定的最小值为的长是解题的关键．根据等边三角形的性质，可知B与C关于对称，过C作交于点E，交于点F，则的最小值为的长，求出的长即可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，D是边中点，
∴，，
∴B与C关于对称，
过C作交于点E，交于点F，
则，则的最小值为的长，
∵，，
∴，
故答案为8．
17．8
【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂和负整数指数幂的意义，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先根据零指数幂，负整数指数幂算术平方根，乘方的意义化简，再算加减即可．
【详解】原式
18．
【分析】本题考查解分式方程，先把分式方程化为整式方程，进而解整式方程，然后检验即可；
【详解】解：，
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，
原方程的解是；
19．，整数解为
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解即可．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集是，
∴不等式组的整数解为．
20．，2
【分析】本题考查分式的运算法则，根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】原式
当时，原式
21．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．先证明，然后根据证明即可证明结论成立．
【详解】证明：∵
∴
∴
在和中，
∴
∴（全等三角形的对应边相等）
22．(1)篮球的单价是110元，足球的单价是80元
(2)该校最多可以购买40个篮球
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设篮球的单价是元，足球的单价是元，根据购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元列出方程组求解即可；
（2）设该校购买个篮球，则购买个足球，根据购买的总费用不超过9200元列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：设篮球的单价是元，足球的单价是元．
依题意得：，
解得：．
答：篮球的单价是110元，足球的单价是80元．
（2）解：设该校购买个篮球，则购买个足球，
依题意得：，
解得：．
∴的最大值为40．
答：该校最多可以购买40个篮球．
23．七年级车队平均每小时行驶25千米
【分析】本题考查了分式方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键． 设七年级车队平均每小时行驶千米，根据七年级比八年级多用2分钟列方程求解即可．
【详解】解：设七年级车队平均每小时行驶千米，则八年级车队平均每小时行驶千米，
依据题意得，
解得：
经检验，是原方程的解且符合题意；
答：七年级车队平均每小时行驶25千米．
24．(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）观察前几个等式中数字的变化，即可写出第6个等式；
（2）结合（1）即可写出第个等式．
【详解】（1）解：；
故答案为：；
（2）．
故答案为：．
证明：左边
右边，
所以等式成立．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是根据数字的变化寻找规律．
25．(1)AB⊥BE，AB=BD+BE；
(2)见解析；
(3)72或8．
【分析】（1）证明△ACD≌△BCE（SAS）利用全等三角形的性质可得结论；（2）分两种情形，在图2和图3中，利用全等三角形的性质证明即可；（3）分两种情形，在图2和图3中，利用全等三角形的性质以及三角形的面积解决问题即可．
【详解】（1）如图1中，
∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，∵CA=CB，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠CBE=∠A，∵CA=CB，∠ACB=90°，∴∠A=∠CBA=45°，∴∠CBE=∠A=45°，∴∠ABE=90°，∴AB⊥BE，∵AB=AD+BD，AD=BE，∴AB=BD+BE，故答案为AB⊥BE，AB=BD+BE．
（2）①如图2中，结论：BE=AB+BD．
理由：连接AE，DE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，∵CA=CB，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∵AD=AB+BD，AD=BE，∴BE=AB+BD．②如图3中，结论：BD=AB+BE．
理由：连接AE，DE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，∵CA=CB，CD=CE，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD=BE，∵BD=AB+AD，AD=BE，∴BD=AB+BE．
（3）如图2中，∵AB=4，BD=8，∴BE=AD=BD+AB=8+4=12，∵BE⊥AD，∴S△ADE=•AD•EB=×12×12=72．如图3中，∵AB=4，BD=8，∴BE=AD=BD-AB=8-4=4，∵BE⊥AD，∴S△ADE=•AD•EB=×4×4=8．
【点睛】本题属于几何变换—旋转综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．