2023-2024学年湖北省武汉市东湖高新区八年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省武汉市东湖高新区八年级（上）学期期末数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了填空题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。

一、选择题．（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题卡上将正确答案的代号涂黑．
1．汉字是中华文明的标志，从公元前到今天，产生了甲骨文、小篆、隶书、楷书等多种字体下面的小篆体字是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．一种花粉颗粒直径约为0.0000075米，将数据0.0000075用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．下列计算中正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知正多边形的一个外角为，则该正多边形的边数为（ ）
A．6B．8C．10D．12
6．如图，小明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画出了一个与书上完全一样的三角形，那么小明画图的依据是（ ）．
A．B．C．D．
7．如图所示，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
8．已知甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，两人每天共做140个零件，设甲每天做x个零件，根据题意，可列方程为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在中，，，．则下列等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
10．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把（其中n为自然数）展开式中各项的系数直观地体现了出来，其中展开式中各项的系数依次对应杨辉三角第行的每一项，如下所示：
根据上述材料，则的展开后含项的系数为（ ）
A．12B．C．60D．
二、填空题．（共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算： ．
12．点关于轴对称的点的坐标是 ．
13．等腰三角形的一个角是，则它的底角度数是 °．
14．如图，在中，平分，平分，过点作，分别与，相交于点，，若的周长为18，的周长为12，则的长是 ．
15．若正方形的边长为a，正方形的边长为b，，则与的面积之和为 ．
16．如图，在等腰中，，D、E两点分别是边上的动点，且，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，当线段最短时， ．

三、解答题．（共8题，共72分）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．分解因式：
(1)；
(2)．
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，点B、D、C、F在一条直线上，，求证：．
21．如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺画图（保留作图痕迹），并回答问题（作图过程用虚线，作图结果用实线）．
(1)画关于y轴对称的；
(2)画出的高；
(3)在x轴上作点P，使的和最小；
(4)已知M是线段上一点，画M关于y轴的对称点N．
22．甲、乙两地相距，一辆汽车从甲地开往乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来速度的倍匀速行驶，并比原计划提前到达乙地，设前一小时行驶的速度为．
(1)提速后走完剩余路程的时间为________（用含x的式子表示）；
(2)求汽车前一小时的行驶速度；
(3)当汽车以的速度原路返回时，同时有一辆货车以（）的速度从甲地开往乙地，两车相遇时汽车比货车多行驶多少千米？（结果用含a的式子表示）
23．在等边中，D、E两点分别在边上，，相交于点F．
(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，延长至点P，连接，，求的值；
(3)如图3，连接，若，则_______．
24．已知点，点，且a、b满足．
(1)直接写出点A、B、C的坐标；
(2)如图1，若点E的坐标为，点F是第三象限内一点，且，连接交x轴于G，求的值；
(3)如图2，点P为y轴上一动点（P在B点上方），在延长线上取一点Q，使，写出与的数量关系与位置关系，并说明理由．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题主要查了轴对称图形．根据“如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形成为轴对称图形”，即可求解．
【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B
2．D
【分析】本题考查了分式有意义的条件，当分母不等于零时，分式有意义；当分母等于零时，分式无意义．分式是否有意义与分子的取值无关．根据分母不等于0列式求解即可．
【详解】解：由题意，得
，
∴．
故选D．
3．A
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：0.0000075=7.5×10-6，
故选：A．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4．C
【分析】本题主要考查单项式乘单项式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，单项式乘单项式的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【详解】解：A、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了多边形外角和是360度和正多边形的性质，根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数．
【详解】解：∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是，
∴，
即该正多边形的边数是8．
故选：B．
6．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定，由图可知，三角形有两个角及其夹边是完整的，即可得到小明画图的依据是“”，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：由图可知，三角形有两个角及其夹边是完整的，
∴可以利用“”画出了一个与书上完全一样的三角形，
∴小明画图的依据是“”，
故选：．
7．C
【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．根据线段的垂直平分线的性质得到，，然后根据周长的计算方法可得结论．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，，
∵的周长为，即，
∴，
∴，
即的周长为．
故选：C．
8．A
【分析】设甲每天做x个零件，根据甲做360个零件与乙做480个零件所用的时间相同，列出方程即可．
【详解】设甲每天做x个零件，根据题意得：
；
故选A．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率．
9．A
【分析】根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出BD=3DC，BD=AC，BC=4DC，AC=2DC，据此即可一一判定．
【详解】解：，，
，，
，
，
，
故B不符合要求；
，
故C不符合要求；
，
故A符合要求；
，
，
故D不符合要求；
故选：．
【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，掌握此定理，应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边是解题的关键．
10．C
【分析】本题考查了数字变化的规律，利用杨辉三角的规律得到的展开式中的各项系数，依此规律解答即可得出结论．
【详解】解：由题意得：，
∴的展开式中含项是第3项，该项为，
∴的展开式中含项的系数为60，
故选：C．
11．1
【分析】根据零指数幂法则进行计算即可．
【详解】解：，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了零指数幂运算，需熟练掌握零指数幂的运算法则．
12．
【分析】本题考查轴对称，根据关于轴对称的点的坐标是，即可解题．
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是，
故答案为：．
13．40°##40度
【分析】分角是顶角和底角两种情况讨论即可.
【详解】①当角是顶角时，底角为；
②当角是底角时，内角和超过,故不合题意.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分类讨论是解题的关键.
14．6
【分析】根据平分平分，且，结合等角对等边可证得，得到三角形的周长，根据的周长即可求得．
【详解】解：∵平分平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵的周长为，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质以及平行线的性质，根据角平分线的定义及平行线的性质证得是解决问题的关键．
15．
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用．根据，结合完全平公式的变形，即可求解．
【详解】解：根据题意得：
∵正方形的边长为a，正方形的边长为b，，
∴
．
故答案为：
16．
【分析】在上截取，连接，作点B关于的对称点N，连接，先证明，得到，根据当A、F、N三点共线时，的值最小，最小值为，再证明为等腰直角三角形，可得，即可．
【详解】解：在上截取，连接，作点B关于的对称点N，连接

，
，
∵，
∴，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴F点在射线上运动，
∵点B与点N的关于对称，
∴，
∴，
∴当B、F、N三点共线时，的值最小，最小值为，
∵，
∴，
，
由对称性得：，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查三角形全等的判定与性质，轴对称的性质，最短距离问题，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定及性质，用轴对称求最短距离的方法是解题的关键．作恰当辅助线是解题的难点．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法，多项式与单项式的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）根据多项式与多项式的乘法法则计算即可；
（2）根据多项式与单项式的除法法则计算即可．
【详解】（1）
（2）
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．
（1）用平方差公式分解即可；
（2）先提取公因式，再用完全平方公式分解．
【详解】（1）
（2）
19．，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值．先计算乘法，再计算减法，然后把代入化简后的结果，即可求解．
【详解】解：
，
当时，原式
20．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定，证明是解题的关键．根据证明得出，即可得出．
【详解】证明：在和中，
，
∴，
∴，
∴．
21．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】本题主要考查了图形的变换——轴对称：
（1）找到点A，B，C关于y轴的对称点，即可求解；
（2）取格点K，连接交于点E，即可；
（3）取格点J，连接交于点P，即可；
（4）连接交直线l于点F，连接，并延长交于点N，即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，点P即为所求；
（4）解：如图，点N即为所求．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了分式方程的应用：
（1）用剩余的路程除以提速后的速度，即可求解；
（2）根据原计划的时间减去实际的时间等于，列出方程，即可求解；
（3）先求出两车相遇的时间为，然后用汽车行驶的路程减去货车的路程，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：提速后走完剩余路程的时间为；
故答案为：
（2）解：根据题意得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：汽车前一小时的行驶速度为；
（3）解：根据题意得：两车相遇的时间为，
，
答：两车相遇时汽车比货车多行驶．
23．(1)
(2)
(3)28
【分析】（1）根据等边三角形的性质求出，根据推出，求出，即可；
（2）在上取一点K，使得，连接，可得为等边三角形，从而得到，再根据推出，可得，从而得到，进而得到，，再由，可得，，即可求解；
（3）延长至点H，使得，连接，可得是等边三角形，，再根据推出，从而得到，，进而得到，，继而得到，再由，可得，从而得到，，，可求出，进而得到，，即可求解．
【详解】（1）解：∵为等边三角形，
∴，
在和中，
∵，
∴，
，
∵，
∴；
（2）解：在上取一点K，使得，连接，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
，
在和中，
∵，
∴，
，
∴，
，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：如图，延长至点H，使得，连接，
由（1）知，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：28
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定的应用，能综合性质进行推理是解此题的关键，难度偏大．
24．(1)，，
(2)
(3)且，理由见解析
【分析】（1）根据完全平方公式可得，即可求出a，b，c的值，即可；
（2）过点F作轴于点K，证明，可得，再求出直线的解析式为，可得点，从而得到，即可求解；
（3）把绕点P逆时针旋转得到，则，过点M作轴于点N，连接，证明，可得，设点P的坐标为，则，可得点M的坐标为，由旋转的性质得：，，可得到是等腰直角三角形，从而得到，求出直线的解析式为，同理直线的解析式为，设点，再由勾股定理可得，从而得到点Q在直线上，即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
解得：，
∵点，点，
∴点，点，
（2）解：如图，过点F作轴于点K，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点E的坐标为，点，
∴，
∴，
∴点，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得：，
∴点，
∴，
∴，
∴；
（3）解：且，理由如下：
如图，把绕点P逆时针旋转得到，则，过点M作轴于点N，连接，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设点P的坐标为，则，
∴，
∴点M的坐标为，
由旋转的性质得：，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
把点代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
同理直线的解析式为，
设点，
∴，
整理得：，
∴点，
当时，，
∴点Q在直线上，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了一次函数的综合题，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，图形的旋转的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
……