2023-2024学年湖南省永州市道县八年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省永州市道县八年级（上）学期期末数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．若使分式有意义，则字母x的满足的条件是（ ）
A． B． C．且D．或
2．下列命题是真命题的是（ ）
A．若，则，B．若，则，
C．若，则D．若，则
3．如图，为估计池塘两岸A、B间的距离，一位同学在池塘一侧选取一点P，测得，，那么A、B之间的距离不可能是（ ）
A． B．C．D．
4．在实数1.732、、、、中，无理数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．2023年8月29日华为公司上市的手机搭载的是自主研发的麒麟9000处理器，这款处理器是华为首款采用制程技术的手机芯片，，其中用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带上（ ）
A．①B．②C．③D．①和③
7．下列说法正确的是（ ）
A．9的平方根是3B．36的算术平方根是6
C．的平方根是D．的算术平方根是5
8．若，为实数，且，则的值为（ ）
A．0B．1C．D．
9．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在中，平分交于点，作，，垂足分别为、，若，则下列四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号有（ ）
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②③④
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若分式的值等于，则的值为 ．
12．若一个正数的两个平方根是和，则的立方根为 ．
13．已知3m=8，3n=2，则3m+n= ．
14．关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 ．
15．如图，已知，，，，若，则的度数为 ．
16．阅读与计算：阅读以下材料，并完成相应的任务：斐波那契（约1170～1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列），后来人们研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰好是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．
斐波那契数列中的第个数可以用表示（其中），这是用无理数表示有理数的一个范例，请计算斐波那契数列中的第2个数的值是 ．
三、解答题（共9小题，满分72分，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23每题9分，第24、25题每题10分．解答题要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．先化简，再求值．
，其中．
18．解下列一元一次不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来．
19．解分式方程．
(1)
(2)
20．如图，在中，于点，垂直平分，交于点，交于点，连接，且．
(1)求证：平分．
(2)若，求的度数．
21．已知的平方根是，是27的立方根，是的整数部分．
(1)求的值；
(2)若是的小数部分，求的平方根．
22．如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离．
(1)当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由．
(2)如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数．
23．“走，去永州，品道州脐橙”，道州脐橙果大形正，橙红鲜艳，肉质脆嫩化渣，风味浓甜芳香．2023年11月29日在“道州脐橙”品牌推介活动上，某水果批发商用40000元购进一批道州脐橙后，供不应求，该水果批发商又用90000元购进第二批这种道州脐橙，所购数量是第一批数量的2倍，但每箱贵了10元
(1)有水果批发商购进的第一批道州脐橙每箱多少元？
(2)若两次购进的道州脐橙按同一价格售出，两批脐橙全部销售完后，获利不低于17000元，则销售单价至少是多少元？
24．观察下列式子的变形过程，然后回答问题：
例1：．
例2：，，
利用以上结论解答以下问题：
(1)观察上面式子的变形，请直接写出（为正整数）的结果是___________．
(2)应用上面的结论，求下列式子的值．
(3)拓展提高，求下列式子的值，．
25．在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足．
【积累经验】
（1）如图1，当时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是______；
【类比迁移】
（2）如将2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在中，是钝角，，，，直线m与CB的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式有意义，分母不等于零．
【详解】解：要使分式有意义，则，
∴，
∴且，
解得：且，
故选：C．
2．D
【分析】本题主要考查了有理数乘法运算、不等式的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．有理数乘法法则：（1）同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（2）任何数与零相乘，都得零．不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据有理数乘法运算、不等式的性质逐项分析判断即可．
【详解】解：A. 若，则，或，，故原命题是假命题，不符合题意；
B. 若，则，或，，故原命题是假命题，不符合题意；
C. 若，当时，；当时，，故原命题是假命题，不符合题意；
D. 若，则，该命题是真命题，符合题意．
故选：D．
3．D
【分析】此题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，可得，再计算即可得的范围．
【详解】解：根据三角形的三边关系可得：，
即，
∴A、B之间的距离不可能是34，
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等．
【详解】解：在实数1.732、、、、中，无理数有，，，共3个，
故选：C．
5．D
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故选：D．
6．C
【分析】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
【详解】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；
第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；
第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去．
故选C．
7．B
【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根，根据平方根和算术平方根的定义逐项判断即可，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解此题的关键．
【详解】解：A、9的平方根是，故原选项说法错误，不符合题意；
B、36的算术平方根是，故原选项说法正确，符合题意；
C、，的平方根是，故原选项说法错误，不符合题意；
D、负数没有算术平方根，故原选项说法错误，不符合题意；
故选：B．
8．B
【分析】本题主要考查了绝对值的非负性、二次根式的非负性、求代数式的值，根据非负数的性质得出，，再代入进行计算即可得出答案，熟练掌握非负数的性质是解此题的关键．
【详解】解：，，，
，，
，，
，
故选：B．
9．D
【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式的加减、二次根式的乘法，根据二次根式的性质、二次根式的加减、二次根式的乘法法则逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算错误，不符合题意；
C、和不是同类项，不能合并，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算正确，符合题意；
故选：D．
10．A
【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、等边对等角、平行线的判定，由角平分线的性质定理即可判断①；证明得出即可判断②；由等边对等角结合角平分线的定义得出，即可判断③；没有的条件，从而不能得到，即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：平分交于点，，，
，，故①正确，符合题意；
在和中，
，
，
，故②正确，符合题意；
，
，
，
，故③正确，符合题意；
没有的条件，
不能得到，故④错误，不符合题意；
综上所述，正确的有：①②③，
故选：A．
11．1
【分析】根据分式的值为0，分式的分子为0，分母不能为0即可求解．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故答案为：1．
【点睛】本题考查分式的值为零的条件，知道分子等于0分母不能等于0是解题关键．
12．
【分析】本题考查了平方根、立方根，根据一个正数的两个平方根的和为0得出，求出，代入，再根据立方根的定义求解即可，熟练掌握平方根和立方根的定义是解此题的关键．
【详解】解：一个正数的两个平方根是和，
，
解得：，
，
的立方根为，
故答案为：．
13．16
【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则计算即可．
【详解】解：
故答案为：16．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
14．a≥1
【解析】略
15．##10度
【分析】本题主要考查等腰三角形、三角形的外角性质以及规律的探索．由根据三角形内角和公式可求得的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质找与的关系即可解答．
【详解】解：∵，，
∴．
∵，
∴，，，
∴，
∴．
故答案为：．
16．1
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，将代入式子进行计算即可，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解此题的关键．
【详解】解：当时，，
故答案为：．
17．，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再代入进行计算即可得出答案，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键．
【详解】解：
，
当时，原式．
18．详见解析，
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；先分别解不等式组中的两个不等式，再画图，取解集的公共部分即可．
【详解】解：
由①得：，
整理得：，
∴，
由②得：，
∴，
不等式①，②的解集在轴上表示如图所示：

不等式组的解集为．
19．(1)
(2)原方程无解
【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；
（1）先去分母，然后再进行求解即可；
（2）先去分母，然后再进行求解方程即可
【详解】（1）解：
去分母得：，
解得：，
经检验，是原方程的根．
（2）解：
去分母得：，
解得：，
经检验，是增根，舍去，
∴原方程无解．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由线段垂直平分线的性质可得，即可得出，再根据等腰三角形三线合一的性质即可得证；
（2）由等边对等角以及三角形内角和定理得出，再等边对等角以及三角形外角的定义及性质得出，由此即可得出答案．
【详解】（1）证明：垂直平分，
，
又，
，
于点，
平分；
（2）解：，，
，
又，
，
，
．
21．(1)
(2)
【分析】本题考查了无理数的估算，平方根，立方根．
（1）根据平方根，立方根的定义，无理数的估算求出的a，b，c的值，代入计算即可得出答案；
（2）先得出x的值，即可得出结果．
【详解】（1）∵a的平方根是，
∴，
∵b是27的立方根，
∴，
∵c是的整数部分，而
，
∴；
（2）由（1）可知，的整数部分是3，
∵x是的小数部分，
∴，
∴，
∴的平方根是．
22．(1)相等，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角定理，掌握全等三角形对应边相等，对应角相等是解题的关键．
（1）根据题意可得，即可根据证明，即可得出；
（2）先求出．再根据三角形的外角定理得出．最后根据全等三角形对应角相等，即可得出
．
【详解】（1）解：相等．理由如下：
∵伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，
∴．
在和中，
∵，
∴．
∴．
（2）解：∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
23．(1)该水果批发商购进的第一批道州脐橙每箱80元
(2)销售单价至少是98元
【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程和不等式是解此题的关键．
（1）设该水果批发商购进的第一批道州脐橙每箱元，则该水果批发商购进的第二批道州脐橙每箱元，根据“所购数量是第一批数量的2倍”列出分式方程，解方程即可；
（2）设道州脐橙的销售单价为元，根据“两批脐橙全部销售完后，获利不低于17000元”列出一元一次不等式，解不等式即可．
【详解】（1）解：设该水果批发商购进的第一批道州脐橙每箱元，则该水果批发商购进的第二批道州脐橙每箱元，
依题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：该水果批发商购进的第一批道州脐橙每箱80元．
（2）解：设道州脐橙的销售单价为元，
根据题意得：
，
化简得：，
解得：，
答：销售单价至少是98元．
24．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化，熟练掌握运算法则，得出是解此题的关键．
（1）根据题目中所给的例子即可得出答案；
（2）根据（1）中得出的规律，进行计算即可得出答案；
（3）根据（1）中得出的规律，进行计算即可得出答案．
【详解】（1）解：，
，
，
，
…，
，
故答案为：；
（2）解：由（1）可得，
；
（3）解：
．
25．（1）；（2）仍然成立，理由见解析；（3）与的面积之和为4．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
（1）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到；
（2）由得到，进而得到，然后结合得证，最后得到．
（3）由，得出，由证得，得出，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出F即可得出结果．
【详解】解：（1），理由如下，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）仍然成立，理由如下，
∵，
，
，
∵，
∴，
∴，
；
（3）∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设的底边上的高为h，则的底边上的高为h，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴与的面积之和为4．