2023-2024学年湖北省随州市曾都区八年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省随州市曾都区八年级（上）学期期末数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时间120分钟 满分120分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．）
1．若一个三角形的两边长分别是3和4，则第三边的长可能是（ ）
A．1B．2C．7D．8
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．近年来教育主管部门高度重视校园安全教育，各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育，下列安全图标不是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．在下列多项式中，与-x-y相乘的结果为x2－y2的多项式是( )
A．x－yB．x＋yC．–x＋yD．–x－y
5．化简的结果是（ ）
A．B．C．D．
6．一个多边形的内角和比它的外角和的倍少，则这个多边形的边数是（ ）
A．七B．八C．九D．十
7．已知一个三角形三边长分别是4，9，12，要作最长边上的高正确的图形做法是（ ）
A．B．C．D．
8．在“单项式乘多项式”的课堂上，有这样一道题的计算过程：“□”内应填的符号为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，于P，，添加下列一个条件，能利用“”判定的条件是（ ）
A．B．与互余C． D．
10．如图，在中，，是高，是角平分线，是中线，与交于点M，与交于点N，连接．下列说法正确的有（ ）
①；
②；
③；④若，则．
A．①②③④B．①②③C．①②④D．①③④
二、填空题（每小题3分，共18分．把正确答案填在答题卡对应题号的横线上）
11．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有米，将数据米用科学记数法表示为 米．
12．若m，n为常数，多项式可因式分解为，则的值为 ．
13．式子有意义的条件是 ．
14．“三等分角”是古希腊三大几何问题之一．如图这个“三等分角仪”由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则 °．
15．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，已知这个等腰三角形一边长是另一边长的倍，则它的腰长为 ．
16．如图，在四边形中，，，，点M，N分别在，上，当的周长最小时，的度数为 度．
三、解答题（本题共8小题，共72分．解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）
17．按要求解下列各题：
(1)计算：；
(2)因式分解：；
(3)先化简，再求值：，其中．
18．如图，在中，．
(1)过点B作的平分线交于点D（尺规作图，保留作图痕迹，标注有关字母，不用写作法和证明）；
(2)若，求的长．
19．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获．下面用一副三角板（中，，；中，，）拼接图形．
(1)如图，点在上，求的度数；
(2)如图，点与点重合，交于点，若，判断并证明与的位置关系．
20．已知在中，，点在上，，连接．
(1)如图，求证：为等腰三角形；
(2)如图，当时，过点作交的延长线于点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有顶角等于的等腰三角形．
21．观察以下等式：
第个等式：，第个等式：，第个等式：，
第个等式：，第个等式：
(1)按照以上规律，接着再写两个等式；
(2)写出你猜想到的第个等式（用含的等式表示）；
(3)运用有关知识，推理证明（2）中的猜想是正确的．
22．甲、乙两人加工同一种零件，乙每天加工的数量比甲每天加工数量多，两人各加工个这种零件，甲比乙多用5天．
(1)求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件？
(2)现有个这种零件的加工任务，由甲单独加工m天后剩余任务由乙单独完成，试用含m的代数式表示乙单独完成剩余任务的天数（结果要求化简）；
(3)已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是元和元，在（2）的情况下，如果总加工费不超过元，那么甲最多加工多少天？
23．有两类正方形A，B，其边长分别为a，b（），现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16．
(1)用含a，b的代数式分别表示甲图中阴影部分的面积为______，乙图中阴影部分的面积为______；
(2)求正方形A，B的面积之和；
(3)三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求阴影部分的面积．
24．在锐角中，分别以，为边向外作等边和等边，连接，交于点．
(1)如图1，易证，其依据是______，从而得出结论：______与______（用“”、“”或“”填空）；
(2)如图2，若，请探究线段与的数量关系及直线与的位置关系，并给出证明；
(3)在（2）的条件下，若交于于点，于点（如图2），试探究，，之间存在的等量关系，并给予证明．
参考答案与解析
1．B
【详解】设第三边长x，
根据三角形的三边关系，得1故选：B．
2．D
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，积的乘方法则逐项计算即可．
【详解】解：A．，故不正确，不符合题意；
B．，故不正确，不符合题意；
C．，故不正确，不符合题意；
D．，正确，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，积的乘方，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
3．D
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
4．C
【分析】依据多项式乘多项式法则进行判断即可．
【详解】解：（x-y）（-x-y）=y2-x2，故A错误；
（-x-y）（x+y）=-x2-2xy-y2，故B错误；
（-x+y）（-x-y）=x2-y2，故C正确；
（-x-y）（-x-y）=x2+2xy+y2，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是多项式乘多项式和平方差公式，熟练掌握多项式乘多项式法则以及平方差公式是解题的关键．
5．B
【分析】本题考查了分式的除法运算，根据分式的除法运算法则进行运算即可求解，掌握分式的除法运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，
故选：．
6．A
【分析】本题考查了多边形内角与外角的关系的应用，一元一次方程的应用，设所求多边形边数为，则多边形的内角和可以表示成，再根据外角和都等于，即可列出方程求解，掌握多边形的内角和计算公式和外角和等于是解题的关键．
【详解】解：设所求多边形边数为，
则，
解得，
故选：．
7．C
【分析】由三角形的三边为4，9，12，可知该三角形为钝角三角形，其最长边上的高在三角形内部，即过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．
【详解】解：∵42+92=97＜122，
∴三角形为钝角三角形，
∴最长边上的高是过最长边所对的角的顶点，作对边的垂线，垂足在最长边上．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形高的画法．当三角形为锐角三角形时，三条高在三角形内部；当三角形是直角三角形时，两条高是三角形的直角边，一条高在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，两条高在三角形外部，一条高在内部．
8．A
【分析】本题考查了单项式乘多项式．熟练掌握单项式乘多项式是解题的关键．
根据单项式乘多项式的运算求解作答即可．
【详解】解：由题意知，，
∴“□”内应填的符号为，
故选：A．
9．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握“”是解答本题的关键．根据“”所需的条件分析即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴要利用“”判定的条件是．
故选D．
10．C
【分析】本题主要考查角平分线的性质、三角形内角和定理和三角形外角定理，根据已知得和，有，故①正确；根据角平分线性质得，由三角形内角和定理得，，故②正确；根据三角形外角定理得，则，故③错误；由点E到的距离相等，有，故④正确．
【详解】∵平分，
∴，
∵，是高，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
则；故③错误；
∵是角平分线，
∴点E到的距离相等，
∵，
∴，故④正确．
故选：．
11．
【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数．熟练掌握绝对值小于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为第一个不为0的数的前面0的个数是解题的关键．
根据用科学记数法表示绝对值小于1的数，进行作答即可．
【详解】解：由题意知，，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了多项式乘以多项式，代数式求值，有理数的乘方．熟练掌握多项式乘以多项式，代数式求值，有理数的乘方运算是解题的关键．
由题意知，，则，然后代入求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
∴，
故答案为：．
13．且
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件和零指数次方有意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式的分母不等于，零指数次方的底数不为．
【详解】解：由题可知：，
解得：且，
故答案为：且．
14．
【分析】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
由，可得，由三角形外角的性质可得，，进而可得，计算求解，然后作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
解得，，
∴，
故答案为：．
15．8或
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，构成三角形的三边关系的应用．熟练掌握等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，构成三角形的三边关系的应用是解题的关键．
设腰长为，由题意知，分底边长为或两种情况求解；当底边长为时，依题意得，；当底边长为时，依题意得，；分别计算求解，然后根据构成三角形的三边关系进行判断作答即可．
【详解】解：设腰长为，
由题意知，分底边长为或两种情况求解；
当底边长为时，依题意得，，
解得，，
∴，
此时，三边长分别为8、8、，能构成三角形；
当底边长为时，依题意得，，
解得，，
∴，
此时，三边长分别为、、7，能构成三角形；
综上所述，它的腰长为8或，
故答案为：8或．
16．40
【分析】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，三角形内角和定理是解题的关键．作A点关于的对称点F，作A点关于的对称点E，连接交于N，交于M，连接、，此时的周长有最小值，由对称性求出，则有．
【详解】解：作A点关于的对称点F，作A点关于的对称点E，连接交于N，交于M，连接、，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴的周长，此时的周长有最小值，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：40．
17．(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）先分别计算单项式乘以单项式，单项式除以单项式，然后合并同类项即可；
（2）利用综合提公因式、公式法进行因式分解即可；
（3）利用平方差公式，单项式乘以多项式计算，然后合并同类项可得化简结果，最后代值求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
，
当时，原式
【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，单项式除以单项式，综合提公因式、公式法进行因式分解，整式的化简求值．熟练掌握单项式乘以单项式，单项式除以单项式，综合提公因式、公式法进行因式分解，整式的化简求值是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)9
【分析】本题考查了角平分线的性质和角所对的直角边等于斜边的一半：
（1）根据角平分线的作法，画出图形即可；
（2）作于H，只要证明，根据角所对的直角边等于斜边的一半求得即可解决问题．
【详解】（1）解：的平分线如图所示．
（2）作于H，
∵平分，
∴，
，
∴，
∴．
19．(1)；
(2)，证明见解析．
【分析】（）由三角形内角和定理先求出，再利用三角形内角和定理即可求出；
（）．证明即可求证；
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，平行线的判定，掌握三角形的内角和定理及外角性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴；
（2）解：．
证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．(1)证明见解析；
(2)、、、．
【分析】（）根据可证，根据全等三角形的性质即可求解；
（）根据等腰三角形的判定即可求解；
此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握它们的性质与判定．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴为等腰三角形；
（2）解：∵，，
∴为顶角等于的等腰三角形，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为顶角等于的等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴和为顶角等于的等腰三角形，
综上，顶角等于的等腰三角形有：、、、．
21．(1)第个等式：，第个等式：
(2)（为正整数）
(3)证明见解析
【分析】本题考查数字的变化规律，
（1）根据已知等式即可得；
（2）根据已知等式得出规律；
（3）利用分式的混合运算法则验证即可；
解题的关键是根据已知等式得出的规律，并熟练加以运用．
【详解】（1）解：第个等式：，
第个等式：；
（2）第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
第个等式：，
∴第个等式：（为正整数）；
（3）证明：∵左边右边，
∴等式成立，
即（2）中的猜想正确．
22．(1)甲、乙两人每天各加工，个这种零件
(2)天
(3)天
【分析】本题考查了分式方程的应用，列代数式，一元一次不等式组的应用．熟练掌握分式方程的应用，列代数式，一元一次不等式组的应用是解题的关键．
（1）设甲每天加工个这种零件，则乙每天加工个这种零件，依题意得，，计算求出满足要求的解，然后作答即可；
（2）依题意得，，化简求解即可；
（3）依题意得，，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：设甲每天加工个这种零件，则乙每天加工个这种零件，
依题意得，，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意；
∴（个），
∴甲、乙两人每天各加工，个这种零件；
（2）解：依题意得，（天），
∴乙单独完成剩余任务的天数为天；
（3）解：依题意得，，
解得，，
∴甲最多加工天．
23．(1)，
(2)20
(3)44
【分析】（1）利用正方形面积公式可表示图甲阴影部分的面积，利用割补法可表示图乙阴影部分的面积；
（2）利用完全平方公式变形即可解决问题；
（3）用大正方形的面积减去3个A和2个B的面积即可．
【详解】（1）∵两个正方形A，B，边长分别为a，b，
∴图甲阴影部分正方形的边长为，
∴图甲阴影部分面积为：；
图乙阴影部分面积为：．
故答案为：，；
（2）根据题意，得：，
∵，
∴正方形A，B的面积之和为20．
故答案为：20；
（3）∵，，
∴．
∵，，
∴，
∴图丙阴影部分面积为：
．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，整式的加减，解题的关键熟练掌握完全平方公式．
24．(1)；；
(2)线段与的数量关系：，直线与的位置关系：；证明见解析
(3)；证明见解析
【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，，证明，根据全等三角形的性质可得，，继而得到，可得结论；
（2）证明，根据全等三角形的性质可得，，继而得到，再证明垂直平分，由垂直平分线的性质及等腰三角形的性质得到，即可得证；
（3）设，，由（2）知：，，，根据直角三角形两锐角互余得到，，则，，，得到，，再用，的代数式表示出∴和，即可得证．
【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；；；
（2）解：线段与的数量关系：，直线与的位置关系：．
证明：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴点和点都在线段的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3），，之间存在的等量关系是：．
证明：设，，
，
由（2）知：，，，
∴，，，
∴，
，
∴，，，
∴，，
∴，
，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质，角所对的直角边等于斜边的一半，直角三角形两锐角互余等知识点．掌握全等三角形的判定和性质及角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．