考点14 抛物线大题13种常见考法归类-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)

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1、直线与抛物线相交问题的解题策略
直线与抛物线相交问题，设出直线方程为，设出交点坐标，，直线方程与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理得，，然后用所设点的坐标计算题中需要求解的量（本题计算直线的斜率），代入韦达定理的结果化简可得．
2、利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
3、求面积常规类型
（1）
（2）三角形恒过数轴上的定线段，可分为左右或者上下面积，转化为
（3）三角形恒过某定点，可分为左右或者上下面积，转化为
（4）四边形面积，注意根据题中条件，直接求面积或者转化为三角形面积求解。
4、抛物线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用抛物线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将抛物线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
5、求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.
注：求解此类问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与抛物线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；
④根据直线过定点的求解方法可求得结果.
6、求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
7、解决直线与抛物线的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、抛物线的条件；
(2)强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、定值定点、三角形的面积等问题．
考点一 求抛物线方程
1．（2022秋·广西河池·高二校联考阶段练习）已知点到点的距离比点到直线的距离小1；
(1)求点的轨迹的方程；
(2)试问曲线上是否存在两点，关于直线对称，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）由题意可知点轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，从而可求得点的轨迹的方程；
（2）设；，利用点差法求出线段的中点，从而可求出的方程，再代入抛物线方程求解即可.
【详解】（1）由题意知，点在轴右侧，
故点到点的距离等于点到直线的距离，
∴点轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，
∴点的轨迹方程为：；
（2）假设曲线上存在两点，关于直线对称，
设，，则，，
两式相减得：，
∵的斜率为，∴，
∴的中点的坐标为，
∴的方程为：，
将代入中得，，方程无解，
∴抛物线上不存在关于直线对称的两点.
2．（2022秋·广西河池·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点在直线上，直线过的焦点与交于，两点，
(1)求抛物线的方程，
(2)求弦的长度的最小值.
【答案】(1)
(2)8
【分析】（1）根据抛物线的焦点在直线上代入求解；
（2）由题意设直线方程为：，与抛物线方程联立，结合韦达定理，利用弦长公式求解.
【详解】（1）解：因为抛物线的焦点在直线上，
所以将代入，解得，
∴抛物线方程为：；
（2）由（1）知：焦点为，设直线方程为：，
代入中，得，
设，，
则，
∴，
∴，当时取等号.
∴线段的最小值为8.
3．（2022秋·内蒙古包头·高二包头市第四中学校考期末）已知点在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点重合（如图）．
(1)写出该抛物线的方程和焦点的坐标；
(2)求线段中点的坐标．
【答案】(1)；.
(2)
【分析】(1)根据点在抛物线上，即可求解；
(2)由已知条件知：是线段的一个三等分点，且，由此能求出点的坐标.
【详解】（1）因为点在抛物线上，所以，解得：，
所以抛物线的方程为：，焦点坐标为.
（2）因为的重心与此抛物线的焦点重合，由三角形重心的性质可得：，设，，，则，
解得：，所以线段中点的坐标为.
4．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知动点在抛物线：，动点Q在圆：上，且之间距离的最小值为．
(1)求抛物线和圆的方程；
(2)抛物线上是否存在三点,使得外切于圆？若存在，求出三点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在,答案见解析
【分析】(1)通过把之间距离的最小值转化为之间距离最小值,计算即可;
(2)首先分斜率是否存在分情况讨论,再通过图形特征等分别计算,得到矛盾,情况不成立.
【详解】（1）由题意知, 之间距离的最小值为,等价于之间距离最小值为.
设则,
从而,即,进而抛物线和圆的方程分别为:
,.
（2）若存在,设显然均不等于.
①当三边所在直线中,存在斜率不存在的情况时:
由对称性知,若外切于圆,则三角形必有一个顶点为坐标原点,
不妨设为,且另两个顶点连线必垂直于轴,即为直线,
此时直线分别为:,易知直线不与圆相切,与假设矛盾.
所以,此时不存在;
②当三边所在直线斜率都存在时:
设过点圆的切线为: ,即为
由相切知,可得
设则为方程的两根;
另方面, 将代入方程,
并整理得:
从而
因为且
则
则直线的方程为:
此时圆心到直线的距离,将代入得:
,
令,即,整理得,
此方程显然无解.与假设矛盾,此时不存在;
综上①②,在抛物线上不存在三点，使得外切于圆
考点二 与抛物线有关的轨迹问题
5．（2022秋·四川成都·高二成都外国语学校校考期中）已知平面内一动点到点的距离比到轴的距离大1．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点的直线交曲线C于A、B，且有 ，求直线的斜率．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据两点间距离公式，结合已知进行求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数关系、根的判别式，结合平面向量共线的性质进行求解即可.
【详解】（1）因为平面内一动点到点的距离比到轴的距离大1，
所以有
；
（2）当直线AB的斜率不存在时，把代入中，
得，因为 ，所以不成立，不符合题意；
当直线AB的斜率存在时，设，与抛物线方程联立：
，化简整理，得：，
有，且，
,，而，
解得：，而，
即：，
化简整理，得：.
6．（2022·全国·高二假期作业）已知曲线上任意一点与定点的距离比它到直线的距离小1.
(1)求曲线的轨迹方程；
(2)若直线经过点，与曲线交于两点，且，求直线的方程.
【答案】(1)；
(2)或．
【分析】（1）根据抛物线的定义求轨迹方程；
（2）由抛物线方程知直线的斜率一定存在，设出直线方程后代入抛物线方程，应用韦达定理结合抛物线定义得弦长，从而求得参数值得直线方程．
【详解】（1）由题意动点与定点的距离和它到直线的距离相等，
所以，曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，，，
所以曲线的轨迹方程是；
（2）若直线斜率不存在，则不合题意，因此直线斜率存在，
设直线方程为，代入曲线方程整理得，
设，，则，
，，
所以直线方程为，即或．
7．（2022秋·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）已知抛物线的焦点为到双曲线的渐近线的距离为1．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过动点作抛物线的切线（斜率不为0），切点为，求线段的中点的轨迹方程．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）求得双曲线的渐近线方程，和抛物线焦点坐标，结合点到直线的距离公式，即可求得以及抛物线方程；
（2）设出切线方程，联立抛物线方程，根据相切关系，求得参数之间的关系，再结合点的坐标求解，消去参数，即可求得点的轨迹方程.
【详解】（1）双曲线的一条渐近线为，
又抛物线的焦点的坐标为，
由题可得：，解得，故抛物线方程为：.
（2）设过点与抛物线相切的直线方程为，
联立抛物线方程可得，
则，又，则，且，，
设点的坐标为，则，即，代入，
可得，又，故；
则点的轨迹方程为：.
8．（2022秋·湖北·高二校联考阶段练习）已知抛物线，，在抛物线上，且（为原点）为等边三角形，.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线过直线与轴的交点，且与抛物线交于、两点，求的重心的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设，，由点在抛物线上及可推出，关于轴对称，据此求出在抛物线上，即可得解；
（2）设直线的方程为，联立抛物线方程，由根与系数的关系及三角形重心坐标公式求出重心坐标，消元即可得解.
【详解】（1）已知抛物线，设，，
因为，所以，即，
解得，
因为，，所以，解得，所以，关于轴对称，
又因为，所以在抛物线上，
代入解得，所以抛物线方程为.
（2）由（1）可知直线与轴的交点坐标为，
所以设直线的方程为，
设，，，解得，
所以，
设的重心坐标为，所以，
所以的重心的轨迹方程为.
考点三 直线与抛物线的位置关系
9．（2022·高二课时练习）已知抛物线的方程为，直线过定点，斜率为，为何值时，直线与抛物线
（1）只有一个公共点；
（2）有两个公共点；
（3）没有公共点?
【答案】（1）或或，（2）且，（3）或
【分析】首先设出直线方程，联立直线方程与抛物线方程得到.
（1）将直线与抛物线只有一个公共点，转化为方程只有一个根，再讨论，再利用判别式求解即可.
（2）将直线与抛物线只有两个公共点，转化为方程只有两个根，再利用判别式求解即可.
（3）将直线与抛物线没有公共点，转化为方程无根，再利用判别式求解即可.
【详解】设直线的方程为：，即.
联立
（1）因为直线与抛物线只有一个公共点，
等价于方程只有一个根.
当时，，符合题意.
当时，，
整理得：，解得或.
综上可得：或或.
（2）因为直线与抛物线有两个公共点，
等价于方程只有两个根.
所以，，
即，解得且.
（3）因为直线与抛物线没有公共点，
等价于方程无根.
所以，，
即，解得或.
10．（2022·高二课时练习）设直线，抛物线，当为何值时，与相切 ？相交？相离？
【答案】当时，与相切；当时，与相交； 当时，与相离.
【分析】联立直线方程和抛物线方程，分类讨论即可.
【详解】解：联立方程，得
消去并整理，得.
当时，方程为一元二次方程.
所以.
当，即时，与相切；
当，即且时，与相交；
当，即时，与相离.
当时，直线的方程为，显然与抛物线交于点.
综上所述，当时，与相切；当时，与相交； 当时，与相离.
11．（2022·高二单元测试）如图，直线：与抛物线：相切于点.
(1)求实数的值；
(2)求以点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）联立方程，利用判别式为零可求结果；
（2）先求点的坐标，再求圆的半径，根据圆心和半径写出圆的方程.
（1）
直线：与抛物线：相切于点.
则得，（*）
因为直线与抛物线相切，所以，解得.
（2）
由（1）可知，故方程（*）即为，解得，
代入，得.
故点，
因为圆与抛物线的准线相切，所以的半径等于圆心到抛物线的准线的距离，
即，
所以圆的方程为.
考点四 直线与抛物线的弦长、中点弦、焦点弦问题
12．（2022秋·吉林长春·高二统考期末）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
(1)点P在抛物线上，且，求点P的坐标；
(2)直线交抛物线于A，B两点，求．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）先根据焦点到准线的距离求出，设，进而利用焦半径公式可得点P的坐标；
（2）联立直线和抛物线方程，然后利用弦长公式求.
【详解】（1）由已知，抛物线的焦点F到准线的距离为2，
则，
则抛物线方程为，
设，则，
将代入得，，
所以点P的坐标为或
（2）联立，消去得，
13．（2022秋·安徽黄山·高二屯溪一中统考期末）已知抛物线的焦点为，且为圆的圆心.过点的直线交抛物线与圆分别为，，，（从左到右），且，.
(1)求抛物线的方程并证明是定值；
(2)若，的面积满足：，求弦的长.
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）先求出焦点，即可求出抛物线的方程；利用“设而不求法”证明出；（2）求出，即可求出弦的长.
【详解】（1）由为圆的圆心可知：.
又抛物线的焦点为，所以，解得：.
所以抛物线的方程为.
过点的直线交抛物线于， ，且，..
所以直线的斜率必存在，设其为，设直线方程为.
联立.
当时，解得：，所以.
当时，消去得：，所以.
综上所述：为定值.
（2）因为且两个三角形等高，所以.
因为
由解得：.
所以
.
14．（2022秋·江苏苏州·高二苏州中学校考期末）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上.
(1)求点F的坐标和抛物线C的准线方程；
(2)过点F的直线l交抛物线C于A、两点，且线段AB的中点为，求直线l的方程及.
【答案】(1)的坐标为，准线方程为
(2)，
【分析】（1）将已知点代入抛物线方程，解得参数的值，即可得答案.
（2）由求得直线的方程，利用抛物线定义，结合弦长公式以及中点坐标公式，可得答案.
【详解】（1）点在抛物线上，，，
的坐标为，抛物线C的准线方程为.
（2）由题可知，直线l经过与，
的斜率，直线l的方程为，
设A，B的坐标分别为，，
则由抛物线的定义可知，
又AB的中点为，，
15．（2022秋·海南省直辖县级单位·高二嘉积中学校考阶段练习）已知抛物线，点在直线上，直线绕点旋转，与交于，两点.当直线垂直于轴时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)当点为弦的中点时，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接将代入抛物线中求出焦点的纵坐标，然后通过即可求出值，进而求出抛物线方程；
（2）直接使用点差法求解直线斜率，进而利用点斜式求解出直线方程即可.
【详解】（1）把代入，则，
∴即，
∴抛物线的方程为：.
（2）设，，则…①，…②
②-①得：，，
∴，
则直线的方程为：，即
16．（2022秋·河南鹤壁·高二河南省浚县第一中学校考阶段练习）已知抛物线上的点（点位于第四象限）到焦点F的距离为5.
(1)求p，m的值；
(2)过点作直线l交抛物线C于A，B两点，且点是线段的中点，求直线l的方程.
【答案】(1)，
(2)
【分析】(1)根据抛物线的定义，可得：，可得：，将点代入抛物线方程即可求解；
(2)设，利用点差法可得直线的斜率，然后利用点斜式即可求出直线的方程.
【详解】（1）因为抛物线过点，且点到焦点F的距离为5，由抛物线的定义可得：，解得：，
所以抛物线方程为：，将点代入可得：，
因为点位于第四象限，所以，
所以，.
（2）设，因为在抛物线上，
则，两式作差可得：，
所以直线的斜率，
因为点是线段的中点，所以，则直线的斜率，
所以直线的方程为，也即（经检验，所求直线符合条件）.
17．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）设抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，且，线段的中点到轴的距离为3.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与圆和抛物线均相切，求实数的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）设出A、B点坐标，由已知可得，又易得，即可解出；
（2）根据直线与圆相切，可得；联立直线与抛物线，根据直线与抛物线相切可得，即可推得.联立两式，即可解出实数的值.
【详解】（1）设，，.
则线段的中点坐标为，
由题意知，则，
如图，分别过点、作准线的垂线，垂足为、，根据抛物线的定义可知，，，
又，所以，所以，
所以，抛物线的方程为：.
（2）因为圆圆心为，半径为，直线，即与圆相切，
，即有①
联立直线与抛物线的方程，可得，
因为直线与抛物线相切，
所以，得②，
联立①②，解得或，
即实数的值为.
考点五 直线与抛物线的面积（最值）问题
18．（2022秋·山东滨州·高二校考期中）已知抛物线的焦点为，点在抛物线C上，且.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线与抛物线交于两点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线的定义求出可得抛物线C的标准方程；
（2）先联立直线与抛物线，求出，再求出点到直线的距离，然后由三角形面积公式可求出结果.
【详解】（1）由抛物线的定义可得，
因为，所以，解得，
故抛物线的标准方程为.
（2）设，由（1）知.
由，得，,
则，，
所以,
所以
,
因为点到直线的距离,
所以的面积为.
19．（2022·四川绵阳·四川省绵阳南山中学校考二模）已知直线与抛物线交于两点，当过抛物线焦点且垂直于轴时，.又是圆上一点，若、都是的切线.
(1)求抛物线的方程及其准线方程；
(2)求的面积的最大值.
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）由当过抛物线焦点且垂直于轴时，，得到点在抛物线上求解；
（2）先证明抛物线上一点处的切线方程为，设点、、，利用上面的结论得到直线的方程为，然后与抛物线方程联立，得到和点到直线的距离，建立求解.
【详解】（1）解：因为当过抛物线焦点且垂直于轴时，，
所以点在抛物线上，则，解得，
所以抛物线的方程为，该抛物线的准线方程为；
（2）先证明抛物线在其上一点处的切线方程为
，
证明如下:由于点在抛物线上，则，
联立，可得，即，
则，
所以抛物线在其上一点处的切线方程为.
设点、、，
则直线的方程为，直线的方程为，
因为点在直线上，所以，
所以点的坐标满足方程，
因为两点确定一条直线，
所以直线的方程为，
联立，消去可得，
由韦达定理可得，，
所以，
点到直线的距离为，
所以，
又，其中，
所以当时，取得最大值8，
所以.
20．（2022秋·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，，.
(1)求的方程.
(2)过的直线与相交于，两点，线段的垂直平分线与相交于，两点，若的斜率为1，求四边形的面积.
【答案】(1)抛物线C的方程为；
(2)四边形的面积为.
【分析】（1）将点代入抛物线方程，求得，由可求得p的值，由此可得得C的方程；
（2）由条件求的方程，联立方程组由抛物线焦点弦公式求，再求线段的垂直平分线的方程，利用设而不求法结合弦长公式求，由此可求四边形的面积.
【详解】（1）因为点在抛物线C上，所以，解得，所以点的坐标为，又，，所以，．
因为，所以，解得，
故抛物线C的方程为；
（2）由(1)可知，抛物线C的焦点的坐标为，又的斜率为1，
故l的方程为，
联立方程组消去x，得．方程的判别式，
设，，则，，，
所以，，设线段的中点为，故点的坐标为．
所以，
又直线MN的斜率为，所以MN的方程为．即，
联立方程组，消去，得．方程的判别式，
设，，则，，
所以，
所以四边形的面积.
21．（2022·四川南充·统考一模）已知抛物线上一点到准线的距离为，焦点为，坐标原点为，直线与抛物线交于、两点（与点均不重合）．
(1)求抛物线的方程；
(2)若以为直径的圆过原点，求与的面积之和的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由抛物线的定义求出的值，即可得出抛物线的方程；
（2）分析可知直线不与轴垂直，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用可求得的值，可知直线过定点，再利用三角形的面积公式以及基本不等式可求得与的面积之和的最小值.
【详解】（1）解：由抛物线的定义可知点到准线的距离为，解得，
所以， 抛物线的方程为.
（2）解：若直线垂直于轴，此时直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
不妨设直线的方程为，设点、，
联立可得，则，
由韦达定理可得，，
所以，，，解得，
所以，直线的方程为，直线过定点，则，
不妨设，则，则，
，所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，与的面积之和的最小值为.
考点六 常规韦达定理的应用
22．（2022秋·福建·高二福建师大附中校考期末）已知抛物线，点在抛物线上.
(1)求抛物线的方程；
(2)不过原点的直线与抛物线交于不同两点，若以线段为直径的圆过原点，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将点代入抛物线方程即可求得的值，进而可求出抛物线的方程；
（2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，结合由题意推得的，得到关于的方程，解之即可．
【详解】（1）因为点在抛物线上，
所以，即，
故抛物线的方程为.
（2）设，，
联立，消去，得，
所以，，，则，
因为以线段为直径的圆过原点，所以，则，
所以，解得或，
当时，直线为，显然直线过原点，不满足题意，舍去；
当，满足，且有，即，满足题意；
综上：的值为．
23．（2022秋·河南郑州·高二新密市第一高级中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且的面积为（为坐标原点）．
(1)求抛物线的方程；
(2)直线与抛物线交于两点，若以为直径的圆经过点，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据点在抛物线上和三角形面积公式建立等式直接求解；(2)将问题转化为，利用韦达定理求解即可.
【详解】（1）因为点在抛物线上,所以,
,
所以,解得,
所以抛物线方程为.
（2）设
联立，整理得
由直线抛物线交于两点可知，
且
则，
且
依题意以为直径的圆经过点，所以，
所以，
即
整理得解得，满足条件，
故直线的方程为
24．（2022秋·辽宁葫芦岛·高二校联考期中）已知抛物线上一点到焦点的距离为2．
(1)求抛物线的方程；
(2)抛物线的准线与轴交于点A，过A的直线与抛物线交于，两点，直线与抛物线的准线交于点，点关于轴的对称点为，试判断，，三点是否共线，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)，，三点共线，理由见解析.
【分析】（1）点的坐标代入抛物线方程，结合焦半径公式可求得，得抛物线方程；
（2）设直线方程为，，，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理得，然后由直线方程求得的坐标，再通过与斜率证得结论成立．
【详解】（1）由得，
所以抛物线的方程为．
（2）抛物线的准线方程为，所以．
易知直线的斜率存在，设直线方程为，，，
联立方程组得，
则，．
由，得或．
直线的方程为，令，得，即，
所以．
因为，
，
所以，故，，三点共线．
25．（2022秋·福建泉州·高二晋江市第一中学校考期中）已知曲线在轴右边，上每一点到点的距离减去它到轴距离的差都是.
(1)求曲线的方程；
(2)是否存在正数，对于过点且与曲线有两个交点的任一直线，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根据题意列出等量关系化简即可求解，
（2）联立直线与曲线的方程，得韦达定理，进而根据，转化为坐标运算，即可结合韦达定理得对任意的实数恒成立，转化为最值即可求解恒成立.
【详解】（1）设是曲线上任意一点，由题意可得：，
整理可得：，
（2）存在，理由如下：
设过点的直线与曲线的交点为，，
设直线的方程为，
由得：，，
所以，
又，，
由，可得，
所以，
，
将代入上式可得：对任意的实数恒成立，
所以，解得：，
所以存在正数，对于过点且与曲线有两个交点的任一直线，都有，且的取值范围.
考点七 抛物线中的参数及最值问题
26．（2022秋·江苏常州·高二常州市第二中学校考期中）已知点，直线l：，动点P到点F间的距离等于它到直线l的距离．
(1)试判断动点P的轨迹C的形状，并写出C的方程；
(2)求动点P到直线的距离与到y轴的距离之和的最小值．
【答案】(1)抛物线，
(2)
【分析】（1）根据抛物线的定义求得正确答案.
（2）结合抛物线的定义以及点到直线的距离公式求得正确答案.
【详解】（1）因为动点P与点F间的距离等于它到直线l的距离，
所以点P的轨迹是以F为焦点，直线l为准线的抛物线．
又因为点，直线l：，则抛物线开口向右，且焦点F到准线l的距离为4，
所以轨迹C的方程为．
（2）动点P到y轴的距离等于到焦点的距离“减”，
所以动点P到直线的距离与到y轴的距离之和的最小值为：
到直线，即的距离“减”，
即.
27．（2022秋·陕西·高三陕西省榆林中学校联考阶段练习）已知抛物线：的焦点为，过点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，．
(1)求抛物线的方程；
(2)若，是抛物线上两动点，以为直径的圆经过点，点，，三点都不重合，求的最小值
【答案】(1)
(2)11
【分析】（1）由过焦点且垂直于轴的直线交抛物线于两点，结合抛物线的定义得，即可解决问题；（2）设直线的方程为，代入抛物线中写出韦达定理，又以为直径的圆经过点，则，转化为向量，利用数量积的坐标表示得出相应的关系式；利用抛物线的定义表示出，转化成函数求的最小值即可.
【详解】（1）由题知，
∴，
∴，抛物线的方程为．
（2）设直线的方程为，
设点，，
由方程组得:
，
∴，
即，且，
∴
，
，
∵以为直径的圆经过点，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴
∴或
若，
直线：过点，不合题意，舍去．
，
∴．
则
，
所以当时，
最小，且最小值为11.
28．（2022·河南开封·校联考模拟预测）已知直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点且与抛物线C相切的两条直线相交于点D，当直线轴时，．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由直接解出即可；
（2）设，联立直线与抛物线由韦达定理求得，设出直线、的方程，联立求出坐标，判断出在直线上，即可求解.
(1)
当直线轴时，，代入解得，∴，得，∴抛物线C的标准方程为；
(2)
设．联立得．∴①，
∵直线恒过点，且与抛物线有两个交点，点在抛物线上，∴，
当直线和直线斜率存在时，设直线，联立∴，，
∴，∴，同理，设直线，则，联立∴
由①可知，∴，即，∴点D在直线上．
当直线或直线斜率不存在时，即直线l过原点时，，过原点的切线方程为，易知另外一点为，
过点的切线方程设为，联立，得，
，解得，即切线方程．此时交点D的坐标为，在直线上，
故的最小值为原点到直线的距离，即．
29．（2022秋·湖北武汉·高三统考开学考试）已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为4，圆心的轨迹为曲线.
(1)求的方程：
(2)过点的直线与相交于两点.设，若，求在轴上截距的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据圆的方程和勾股定理求解即可.
（2）根据和（1）中求得的曲线方程联立可得关于的直线方程，再分析截距的取值范围即可.
（1）设，圆的半径为，则整理，得所以的方程为.
（2）设，又，由，得由②，得，∵∴③联立①､③解得，依题意有，又，∴直线l的方程为，或，当时，l在y轴上的截距为或，由，可知在上是递减的，∴，∴直线l在y轴上截距的取值范围为.
考点八 抛物线中的定点问题
30．（2022秋·北京昌平·高二统考期末）已知抛物线经过点.
(1)求抛物线的方程及其准线方程；
(2)设，直线与抛物线有两个不同的交点.若是以为底边的等腰三角形，求证：直线经过抛物线的焦点.
【答案】(1),
(2)证明见解析
【分析】(1)应用点在抛物线上即可求出,即可求出抛物线的方程及其准线方程;
(2)直线方程和抛物线联立方程组,再把等腰三角形转化为斜率关系,列式计算即可求出,进而得证.
【详解】（1）因为抛物线经过点,所以,
所以抛物线的方程为,准线方程为;
（2）设,中点
联立方程组,可得,即
可得，即，
,则，所以，
因为是以为底边的等腰三角形,所以,即可得，
又因为,,,则,即得所以
所以，经过抛物线的焦点.
31．（2022秋·陕西西安·高二统考期中）已知抛物线的焦点，为坐标原点，、是抛物线上异于的两点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线、的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据抛物线焦点坐标，直接求得，则抛物线方程得解；
（2）设出直线的方程，利用韦达定理，结合已知条件，即可求得结果.
【详解】（1）根据题意，，则，故抛物线方程为：.
（2）显然直线的斜率不为零，且不过原点，故设其方程为，
联立抛物线方程可得：，时，
设两点的坐标分别为，则，，
由题可知，，即，解得，此时满足，
故直线恒过轴上的定点.
32．（2022秋·广西柳州·高三校联考阶段练习）已知点是椭圆C：与抛物线：（）的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点.过点且不垂直于轴的直线l与椭圆相交于两点.
(1)求椭圆及抛物线的方程；
(2)若点关于轴的对称点为点，证明：直线与轴交于定点.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【分析】(1)将点代入抛物线方程即可求出，从而得到抛物线的焦点也即椭圆的焦点，再将点代入椭圆的方程即可求解；
(2)依据题意设直线l：（），点，，则点.
直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理得出，，根据题意写出直线的方程为，令得，将更坐标进行化简整理即可求解.
【详解】（1）∵是抛物线：（）上一点，
∴，即抛物线的方程为，焦点，
∴.
又∵在椭圆：上，∴，
结合知，，
∴椭圆的方程为，抛物线的方程为.
（2）设直线l：（），点，，则点.
由，得，
，解得，
从而，，
直线的方程为，令得，
又∵，，
则，
即，
故直线与x轴交于定点.
33．（2022·浙江·模拟预测）已知抛物线，其焦点与准线的距离为，若直线与交于两点（直线不垂直于轴），且直线与另一个交点为，直线与另一个交点.
(1)求抛物线的方程；
(2)若点，满足恒成立，求证：直线过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据焦点和准线之间距离可得的值，由此可得抛物线方程；
（2）设，，由可知，利用斜率公式进行化简，可求得；将直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可求得点坐标，同理可得点坐标，由此可求得直线方程，化简其方程为，根据直线过定点的求法可得定点坐标.
【详解】（1）抛物线的焦点到准线的距离为，即，
抛物线的方程为：.
（2）由（1）知：，
设，，其中，，，
，且直线的倾斜角均不为，，
即，，
，，即；
直线方程为：，即，
由得：，
设点纵坐标为，则，即，
将代入直线方程得点横坐标为：，；
同理可得：，，
直线方程为：，即；
，直线方程为：，
则当时，，直线恒过定点.
34．（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）已知抛物线的准线与x轴的交点为H，直线过抛物线C的焦点F且与C交于A，B两点，的面积的最小值为4．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若过点的动直线l交C于M，N两点，试问抛物线C上是否存在定点E，使得对任意的直线l，都有，若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由．
【答案】(1)
(2)存在定点
【分析】（1）设，代入抛物线，根据韦达定理得到根与系数的关系，确定，计算得到答案.
（2）设的方程为，代入抛物线得到根与系数的关系，根据垂直关系得到，计算得到定点.
【详解】（1）斜率不为零，设代入，，
设，则，
，
当时，取最小值，，，抛物线C的方程为：．
（2）假设存在，设，由题意，斜率不为零，
设的方程为代入，可得，
，，，
故，即，即，
，解得，故存在定点满足题意．
考点九 抛物线中的定值问题
35．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线：，直线过定点.
(1)若与仅有一个公共点，求直线的方程；
(2)若与交于A，B两点，直线OA，OB（其中О为坐标原点）的斜率分别为，，试探究在，，，中，运算结果是否有为定值的？并说明理由.
【答案】(1)或或
(2)为定值，而，，均不为定值
【分析】（1）过抛物线外一定点的直线恰好与该抛物线只有一个交点，则分两类分别讨论，一是直线与抛物线的对称轴平行，二是直线与抛物线相切；
（2）联立直线的方程与抛物线的方程，根据韦达定理，分别表示出，，，为直线斜率的形式，便可得出结果.
（1）
过点的直线与抛物线仅有一个公共点，则该直线可能与抛物线的对称轴平行，也可能与抛物线相切，下面分两种情况讨论：
当直线可能与抛物线的对称轴平行时，则有：
当直线与抛物线相切时，由于点在轴上方，且在抛物线外，则存在两条直线与抛物线相切：
易知：是其中一条直线
另一条直线与抛物线上方相切时，不妨设直线的斜率为，则有：
联立直线与抛物线可得：
可得：
则有：
解得：
故此时的直线的方程为：
综上，直线的方程为：或或
（2）
若与交于A，B两点，分别设其坐标为，，且
由（1）可知直线要与抛物线有两个交点，则直线的斜率存在且不为，不妨设直线的斜率为，则有：
联立直线与抛物线可得：
可得：
，即有：
根据韦达定理可得：，
则有：，
下面分别说明各项是否为定值：
，故运算结果为定值；
，故运算结果不为定值；
，故运算结果不为定值；
，故运算结果不为定值.
综上，可得：为定值，而，，均不为定值
36．（2022秋·陕西榆林·高二校考期末）已知抛物线的顶点是坐标原点，焦点在轴上，且抛物线上的点到焦点的距离是5.
(1)求该抛物线的标准方程；
(2)若过点的直线与该抛物线交于，两点，求证：为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设抛物线方程为（），根据焦半径公式列式求出即可得解；
（2）直线的方程为：，联立直线与抛物线方程，得到和，再根据可得结果.
【详解】（1）∵抛物线焦点在轴上，且过点，
∴设抛物线方程为（），
由抛物线定义知，点到焦点的距离等于5，
即点到准线的距离等于5，
则，∴，
∴抛物线方程为.
（2）显然直线的斜率不为0，又由于直线过点，所以可设直线的方程为：，
由，化简并整理得，恒成立，
设，，则，则，
∴.
所以为定值.
37．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点且斜率存在的直线交抛物线于不同的两点，设为坐标原点，直线的斜率分别为，求证：为定值．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式求出，即可得解；
（2）设直线，联立方程，利用韦达定理求得，再结合斜率公式即可得出结论.
【详解】（1）解：点在抛物线上，且，
，解得，
抛物线的方程为；
（2）证明依题意，设直线，
联立，得，
则，
故为定值．
38．（2022秋·浙江·高二慈溪中学校联考阶段练习）如图，已知抛物线的焦点，且经过点.
(1)求和的值；
(2)点在上，且.过点作为垂足，问是否存在定点，使得为定值.若存在，求出点坐标及的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)，；
(2)存在，，.
【分析】（1）根据抛物线上点的横坐标结合抛物线定义求出，再把点代入所求抛物线可求出；
（2）由可知向量数量积为0，设直线，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，联立两条件可知，
据此可知直线过定点，问题转化为故在以为直径的圆上，据此可知存在斜边中点，使得为定值.
【详解】（1）由抛物线定义知：，则，
又在抛物线上，则，得.
（2）设，
，又，
，①
令直线，联立，
整理得，且，
，
则，
代入①式得：，
当时，过定点；
当时，过定点，即共线，不合题意；
直线过定点，
又，故在以为直径的圆上，
而中点为，即为定值.
39．（2022秋·广东广州·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，B在x轴的上方，且点B到F的距离为5，且B的纵坐标为．
(1)求抛物线C的标准方程与点B的坐标；
(2)设点M为抛物线C上异于A，B的点，直线MA与MB分别交抛物线C的准线于E，G两点，x轴与准线的交点为H，求证：为定值，并求出定值．
【答案】(1)，
(2)定值为4，证明见解析
【分析】（1）由抛物线的焦半径公式可得，代入抛物线方程解得即可；
（2）由（1）直线l的方程：，联立抛物线方程可得，再设点，可得直线MA方程，进而可得，同理，即可得定值.
【详解】（1）由题意得：，因为点B到F的距离为5，且B在x 轴的上方，且B的纵坐标为所以，故，即，因为得，
故抛物线C的方程为：，此时.
（2）由（1）得：，线方程，
直线l的方程：，
由，解得或，于是得．
设点，又题意且，
所以直线MA：，即，令，得，即.
同理直线MB：，即，
令，得，
即，
故．
40．（2022秋·湖南长沙·高二校联考阶段练习）若抛物线：上的一点到它的焦点的距离为.
(1)求C的标准方程；
(2)若过点的直线与抛物线C相交于A，B两点.求证：为定值.
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）由抛物线的定义即可求解；
（2）联立直线与抛物线方程，将转化为，结合韦达定理即可求解.
【详解】（1）抛物线的准线的方程为，
根据抛物线的定义知点到它的焦点的距离即为点到准线的距离，
所以，解得，
所以C的标准方程为.
（2）显然直线的斜率存在，
可设直线的方程为，，，
联立，消去，得，
所以，，，
又，同理.
所以
所以为定值.
考点十 抛物线中的定直线问题
41．（2022秋·安徽芜湖·高三统考期末）已知抛物线：的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于，两点，当直线的倾斜角为时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)求证：过焦点且垂直于的直线与以为直径的圆的交点分别在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）写出直线的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理与焦点弦长公式即可得出抛物线的方程；
（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，结合韦达定理得出以为直径的圆的方程，然后与过焦点且垂直于的直线联立求解即可得出答案．
【详解】（1）当直线的倾斜角为时，设直线的方程为，
联立方程，得：，
∴，，
∴，∴抛物线的方程为．
（2）抛物线：的焦点，
设直线的方程为，，，
联立方程得：，
∴，，，，
设以为直径的圆上任意一点为，
则,即，
则以为直径的圆的方程为：，
即：，
代入得：，
过焦点且垂直于的直线为：，
联立方程，
得：
即：，解得：或3，
所以过焦点且垂直于的直线与以为直径的圆的交点分别在定直线和上．
42．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，准线为l，记准线l与x轴的交点为A，过A作直线交抛物线C于，两点．
(1)若，求的值；
(2)若M是线段AN的中点，求直线的方程；
(3)若P，Q是准线l上关于x轴对称的两点，问直线PM与QN的交点是否在一条定直线上？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)在定直线上，理由见解析
【分析】（1）根据焦半径公式即可求出；
（2）设直线MN的方程，与抛物线联立即可利用M是线段AN的中点求出m，从而求出直线的方程；
（3）设，即可求出直线PM与QN的方程，联立即可解出交点，从而可以判断交点在定直线上．
【详解】（1）根据题意，得
因为抛物线，所以准线为，
所以；
（2）由题意可知，直线的斜率不为0，故设直线的方程，
联立，消去，可得，
所以，即，，，
而M是线段AN的中点，所以，故，
解得，故，解得，
所以直线MN的方程为，即；
（3）直线MN的方程，设，
则，，
联立消去可得：，即，整理得：，
将，代入得，故，，
所以直线PM与QN的交点在定直线上．
43．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线，，是C上两个不同的点．
(1)求证：直线与C相切；
(2)若O为坐标原点，，C在A，B处的切线交于点P，证明：点P在定直线上．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）联立直线与抛物线的方程消元，利用证明即可；
（2）设，由（1）可得出两条切线的方程，然后联立可得，然后由可得，即可证明.
（1）
联立得，
因为在C上，则，
所以，因此直线与C相切．
（2）
由（1）知，设，切线的方程为，切线的方程为，
联立得，
因为，，所以．
又因为，所以，
解得，所以．
故点P在定直线上．
44．（2022·四川宜宾·统考三模）设抛物线：，以为圆心，5为半径的圆被抛物线的准线截得的弦长为8．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的两条直线分别与曲线交于点A，B和C，D，且满足，，求证：线段的中点在直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设到的距离为，由题意可得：，可解得，即可求出抛物线的方程.
（2）设，，由，表示出点的坐标，代入抛物线的方程结合题意可得，同理可得：，又因为，是关于的方程的两根，则， 即可证明.
（1）
：的准线：
设到的距离为，
由已知得，∴，∴，∴
∴的方程为
（2）
设，
∵，∴
∴，∴
代入得
∴
∴
∵点N在抛物线内部，∴，，∴
同理
∴，是关于的方程的两根，
∴，∴
∴的中点在直线上．
考点十一 抛物线的实际应用
45．（2022秋·河南周口·高二校考阶段练习）图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m.水下降1m后，水面宽多少？（精确到0.1m）
【答案】4.9 m
【分析】通过建立直角坐标系，设出抛物线方程，将点代入抛物线方程求得，得到抛物线方程，再把点代入抛物线方程求得进而得到答案．
【详解】在抛物线形拱桥上，以拱顶为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立平面直角坐标系，如答图所示.
设该拋物线的方程为.
拱顶离水面2 m，水面宽4 m，点在拋物线上，
，解得，
拋物线的方程为.
当水面下降1 m时，，代入，得，即，
，故这时水面宽约为4.9 m.
46．（2022秋·江苏南通·高二阶段练习）如图所示，一隧道内设双行公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，长方形高度.为了行车安全，要求行驶车辆顶部（设其为平顶）与隧道顶部在竖直方向的高度差至少有．已知行车总宽度（图中数据的单位：m），
(1)建立适当的直角坐标系，求抛物线的方程；
(2)求车辆通过隧道时的限高（精确到）．
【答案】(1)坐标系见解析，方程为
(2)
【分析】（1）根据题意以抛物线的顶点为原点，过顶点的水平向所在直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，再待定系数求解即可；
（2）先求得时，，再结合题意求解限高即可.
【详解】（1）解：如图，以抛物线的顶点为原点，过顶点的水平向所在直线为轴建立平面直角坐标系，
设抛物线的方程为，
由题知抛物线过点，代入上述方程得，解得，
所以，所求抛物线的方程为.
（2）解：因为行车总宽度，
所以，结合（1），当时，，
因为行驶车辆顶部（设其为平顶）与隧道顶部在竖直方向的高度差至少有．
所以，所求的限高为，
因为需要精确到，所以限高为.
所以，车辆通过隧道时的限高为
47．（2022·高二课时练习）某城市在主干道统一安装了一种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的平面直角坐标系中，支架是抛物线的一部分，灯柱经过该抛物线的焦点且与路面垂直，其中为抛物线的顶点，表示道路路面，，A为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在A处的切线垂直．安装时，要求锥形灯罩的顶到灯柱所在直线的距离是，灯罩的轴线正好通过道路路面中的中线．
(1)求灯罩轴线所在的直线方程；
(2)若路宽为，求灯柱的高．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意确定A点坐标，则可求出抛物线在点A处的切线方程，利用直线的垂直关系，即可求得灯罩轴线所在的直线方程；
（2）利用灯罩轴线所在的直线方程，可求得，再利用抛物线方程求得，即可求得灯柱的高．
（1）
由题意知，，，
把代入，得，故．
设抛物线在点A处的切线方程为，
与抛物线方程联立并消去，得，
则，解得 ，
故灯罩轴线所在直线的斜率为，其方程为，即．
（2）
由，因为灯罩的轴线正好通过道路路面中的中线．
故灯罩的轴线与道路路面的交点到y轴的距离为 ，
则对于，当时，，从而．
而,将代入，得，所以，
所以,
所以灯柱的高为．
48．（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第六中学校联考期末）如图是一抛物线型机械模具的示意图，该模具是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，已知顶点深度4cm，口径长为12cm．
(1)以顶点为坐标原点建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的标准方程；
(2)为满足生产的要求，需将磨具的顶点深度减少1cm，求此时该磨具的口径长．
【答案】(1)
(2)cm
【分析】（1）设抛物线的标准方程为，由题意可得抛物线过点，将此点代入方程中可求出的值，从而可得抛物线方程，
（2）设此时的口径长为，则抛物线过点，代入抛物线方程可求出的值，从而可求得答案
(1)
由题意，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为，
因为顶点深度4，口径长为12，所以该抛物线过点，
所以，得，所以抛物线方程为；
(2)
若将磨具的顶点深度减少，设此时的口径长为，
则可得，得，所以此时该磨具的口径长．
考点十二 抛物线与椭圆的综合
49．（2022·浙江·校考模拟预测）已知抛物线：，过其焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，与椭圆交于C、D两点，其中．
(1)求抛物线方程；
(2)是否存在直线，使得是与的等比中项，若存在，请求出AB的方程及；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在；理由见解析
【分析】（1）设直线的方程为，，联立直线与抛物线，利用根与系数的关系结合已知条件即可求解；
（2）由焦半径公式可得，设，由得，由根与系数的关系结合弦长公式可得，若是与的等比中项，则，即，判断方程是否有解即可求解
【详解】（1）设直线的方程为，，
由得，
则，
，
，
又，
所以，
又，
所以，
所以抛物线方程为；
（2）由（1）可知：，
所以，
设，
由得，
则，
所以，
若是与的等比中项，
则，
即，
所以，即，
所以，
因为，
所以，
所以方程无解，
所以不存在直线，使得是与的等比中项．
50．（2022秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）已知椭圆：（）的右焦点与抛物线：的焦点重合，过作x轴的垂线，与和分别交于A、B和C、D，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线l：（）与交于两点P、Q（Q在x轴上方），点Q关于原点O的对称点为，M为线段的中点，N为线段的中点，若M、N都在椭圆上，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据的焦点为，可得，，从而得出点的坐标，再根据点在椭圆上，解方程组求解即可；
（2）设，表达出，代入椭圆方程作差，结合抛物线方程可得或.再讨论当时不满足，从而得到，进而可得，设，分别代入椭圆与抛物线方程，求解可得，进而根据焦半径公式求解即可.
【详解】（1）由题意，的焦点为，又垂直于轴，故，，.
故，解得，，椭圆：；
（2）设，则.
由题意在椭圆上，
故，，
两式相减可得.
又在上，
故，故，解得或.
当时，，
又在椭圆上，故，即.
易得，由基本不等式可得，故，，与矛盾，故.
因为Q在x轴上方，故，此时，
故可设，则，
故，即，
易得，故，
所以
51．（2022秋·河北衡水·高二衡水市第二中学校考期中）已知抛物线的准线过椭圆的左焦点,且椭圆的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形.
(1)求椭圆的方程;
(2)直线交椭圆于两点,点在线段上移动,连接交椭圆于两点,过作的垂线交轴于,求面积的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据抛物线的准线求得椭圆的焦点,根据一个焦点与短轴两端点构成正三角形可求得,即可得椭圆方程.
(2)根据题意可判断直线斜率存在且不为0,设直线方程与椭圆联立求得,根据设出点坐标,用斜率公式求得坐标,再用点到直线的公式求得三角形高,用面积公式将面积写出,分离常数,变为积为定值的形式,再用基本不等式即可.
【详解】（1）解:由题知抛物线的准线为,
,
因为椭圆的一个焦点与短轴的两个端点构成一个正三角形,
,
故椭圆的标准方程为:;
（2）由(1)得椭圆的方程为,
的垂线交轴于,
的斜率存在,
连接交椭圆于两点,
的斜率不为0,
不妨设,
则,
联立,
即,
,
,
设,
,
,
解得:,
到直线的距离为:,
,
当且仅当,即时取等,
故面积的最小值为.
52．（2022秋·四川德阳·高二德阳五中校考期中）已知椭圆：，以椭圆的右焦点为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线，的斜率分别为，.
(1)求抛物线的方程及的值；
(2)求证：直线过定点，并求出这个定点的坐标；
(3)若直线交椭圆于、两点，分别是、的面积，求的最小值.
【答案】(1)抛物线的方程为；
(2)证明见解析，定点的坐标为
(3)
【分析】（1）根据椭圆方程确定抛物线的焦点坐标，即可求得其方程；设，设出过点作抛物线的切线方程，联立抛物线方程，利用判别式等于0，可得答案.
（2）利用导数的几何意义表示出以点为切点的切线方程, 利用两切线均过点,结合两点坐标都满足,即可证明结论,进而求得定点坐标.
（3）由题意可推得，因此设直线的方程为，联立方程，分别求得直线和抛物线以及椭圆相交的弦长，化简可得答案.
【详解】（1）依题意椭圆：的右焦点为，可得抛物线的焦点坐标为，
所以抛物线的方程为.
抛物线的准线方程为，故设，
过点与抛物线相切的直线斜率一定存在，设方程为，
将其代入得，由得，
即， ，其两根即为，所以.
（2）证明：设，，不妨设在第一象限，则，
对于抛物线在第一象限内部分有，
由可得，故，同理可得，
则点A为切点的切线方程为，即，
同理，以为切点的切线方程为，
因为两切线均过点，所以，，
即两点的坐标皆满足方程，又由于两点确定一条直线，
故切点弦的方程为，所以直线恒过定点.
（3）设点到直线的距离为，则，
因为直线恒过定点，且斜率不为零，故设直线的方程为.
联立,得，，则，
则；
联立，得， ，
设，，则 ，
则，
则，故当时，有最小值.
53．（2022·山东青岛·高二山东省莱西市第一中学校考学业考试）已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，直线与圆相切．
(1)求椭圆的方程；
(2)设不过原点的直线与椭圆相交于不同的两点A，B，M为线段AB的中点，O为坐标原点，射线OM与椭圆相交于点P，且O点在以AB为直径的圆上，记，的面积分别为，，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件建立关于的方程组，即可求解椭圆方程；
（2）根据数形结合可知，分直线斜率不存在，或斜率为0，以及斜率不为0，三种情况讨论的值或范围.
【详解】（1）∵抛物线的焦点为，∴，
从而①，
∵直线与圆相切，∴②，
由①②得：，，
∴椭圆的方程为：
（2）∵M为线段AB的中点，∴，
（1）当直线的斜率不存在时，轴，由题意知，结合椭圆的对称性，不妨设OA所在直线的方程为，得，
从而，，
（2）当直线的斜率存在时，
设直线，，
由可得：，
由可得：（*）
∴，，
∵O点在以AB为直径的圆上，∴，即，
∴，
即，
（**）满足（*）式．
∴线段AB的中点，
若时，由（**）可得：，此时，
若时，射线OM所在的直线方程为，
由可得：，
，
随着的增大而减小，∵，∴，∴
综上，
54．（2022秋·四川泸州·高二四川省泸县第一中学校考期末）已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线与椭圆有相同的焦点，点P为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)过F作两条斜率不为0且互相垂直的直线分别交椭圆于A，B和C，D，线段AB的中点为M，线段CD的中点为N，证明：直线过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1)；
(2)证明见解析，定点.
【分析】（1）根据抛物线的焦点坐标，结合余弦定理、抛物线和椭圆的定义进行求解即可；
（2）直线方程与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合中点坐标公式进行求解即可.
【详解】（1）抛物线焦点坐标为，故.
设，由抛物线定义得：点P到直线的距离为t.
，由余弦定理，得.
整理，得，解得或（舍去）.
由椭圆定义，得，
，
∴椭圆的方程为；
（2）设，
联立，
即，
，代入直线方程得，
，
同理可得，
，
，
令，得，
所以直线MN过定点.
考点十三 抛物线与双曲线的综合
55．（2022秋·吉林长春·高二德惠市实验中学校考阶段练习）已知抛物线的顶点是坐标原点，而焦点是双曲线的右顶点.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线相交于A、B两点，则直线OA与OB的斜率之积是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由.
【答案】(1)
(2)是定值，
【分析】（1）将双曲线的方程化为标准形式，求得右顶点坐标，根据抛物线的焦点与双曲线的右顶点重合得到抛物线的方程；
（2）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求得弦长及两点连线的斜率公式即可求解.
【详解】（1）双曲线化为标准形式：，，右顶点A，
设抛物线的方程为，焦点坐标为，
由于抛物线的焦点是双曲线的右顶点，所以，
所以抛物线的方程；
（2）联立，整理得，
设，则，
，
综上，抛物线的方程，OA，OB斜率的乘积为-1.
56．（2022秋·辽宁鞍山·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点与双曲线右顶点重合.
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设过点的直线与抛物线交于不同的两点、，是抛物线的焦点，且，求直线的方程.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由抛物线与双曲线的性质求解，
（2）联立直线与抛物线方程，由平面向量数量积的坐标运算与韦达定理化简求解，
【详解】（1）由题意得抛物线的焦点为，则抛物线的标准方程为，
（2）由题意得直线的斜率存在，设其方程为，，
联立得，
由韦达定理得，
而，
则
化简得，即
解得，经检验，满足直线与抛物线相交，
故直线的方程为
57．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线与双曲线有相同的焦点，且它们的一个交点为.
(1)求抛物线的标准方程.
(2)设点，，若过的直线与抛物线交于不同的两点，，且直线与抛物线交于点（不同于点），问直线是否经过定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，定点
【分析】（1）根据题意，列出方程组，求得，即可求得抛物线的方程；
（2）直线的方程为，联立方程组，求得，又由直线的方程为，联立方程组得到，
进而得到，结合直线，即可得到直线经过定点.
(1)
解：由题意，可得，即，可得，
即，解得，即，
所以抛物线的标准方程为.
(2)
解：由题意直线的斜率存在，设直线的方程为，，
联立方程得，整理得，
则，，得，
直线的方程为，
与抛物线方程联立，整理得，
设点，则，即，
整理得，即，
即，
直线的方程为，即，
即，
所以直线的方程为，直线经过定点.
58．（2022秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，渐近线与抛物线交于点.
(1)求的方程；
(2)设是与在第一象限的公共点，作直线与的两支分别交于点，便得.
（i）求证：直线过定点；
（ii）过作于.是否存在定点，使得为定值？如果有，请求出点的坐标；如果没有，请说明理由.
【答案】(1)，；
(2)（i）答案见解析；（ii）答案见解析.
【分析】（1）利用待定系数法求出的方程；
（2）（i）设方程为.令,利用“设而不求法”得到.表示出,整理可得： .可以判断出直线MN的方程为,即可证明过定点.（ⅱ）由为直角，判断出D在以AB为直径的圆上，得到为AB的中点,使得为定值.
【详解】（1）因为，渐近线经过点，
所以，解得：，所以
抛物线经过点
所以，所以
（2）（i）因为在不同支,所以直线的斜率存在,设方程为.
令,联立得， ，则.
联立可得，解得：.
因为,所以，
代入直线方程及韦达结构整理可得：，
整理化简得：.
因为不在直线MN上,所以.
直线MN的方程为,过定点.
（ⅱ）因为为定点,且为直角，
所以D在以AB为直径的圆上,AB的中点即为圆心,半径为定值.
故存在点,使得为定值.