考点20 数列13种常见考法归类-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第二册)

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1.把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即
Sn＝a1＋a2＋…＋an.
2．数列的前项和和通项的关系：则
特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．
策略2 等差数列的四种判断方法
(1) 定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列；
(2) 等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列;
(3)通项公式：(为常数,)⇔ 是等差数列;
(4)前项和公式：(为常数, )⇔ 是等差数列;
(5)是等差数列⇔是等差数列.
提醒：判断时易忽视定义中从第2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a2－a1＝d这一关键条件.
策略3 等差数列的性质应用
（1）通项公式的推广：在等差数列中，对任意，，，；
（2）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 时，则 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT ， SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 是 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 的等差中项.
（3）ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)；
（4）两个等差数列与的和差的数列仍为等差数列，{pan＋qbn}也是等差数列
（5）若数列是等差数列,则仍为等差数列．
（6）如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．
（7）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即 SKIPIF 1 < 0 \* MERGEFORMAT 成等差数列，公差为n2d；
（8）设数列是等差数列，且公差为，
①若项数为偶数2n，则S2n＝n(a1＋a2n)＝n(an＋an＋1)；S偶－S奇＝nd；eq \f(S奇,S偶)＝eq \f(an,an＋1)；
②若项数为奇数，设共有项，则S2n－1＝(2n－1)an；；②.
（9）等差数列中，,则,.
注：在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)
（10）若与为等差数列，且前项和分别为与，则.
（11）若{an}是等差数列，则eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也成等差数列，其首项与{an}首项相同，公差是{an}公差的eq \f(1,2)；
策略4 等差数列的前n项和的最值
(1)利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．
在等差数列{an}中，
当，时，有最大值(即所有非负项之和)；，时，有最小值(即所有非正项之和)；
若已知，则最值时的值（）则当，，满足的项数使得取最大值，当，时，满足的项数使得取最小值.
(2)利用等差数列的前n项和：Sn＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n((为常数, ))，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有最小值；当d0，d>0时Sn有最小值S1，当a1