考点23 利用导数比较大小4种常见考法归类 -2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第二册)

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在导数问题中,有很多数式的大小比较问题.它们一般都是用函数的单调性比较大小,但是由于题目常常将函数的自变量赋为特殊值,并对式的结构进行了重组,使得问题的本质被形式掩盖,问题的解决不易人手,因此成为学生学习的一个难点.在解决这类问题时,应利用作差、作商、同构、放缩、取对数等数学方法先进行变形,再抓住其中相同的数,常值换元,构造函数,利用函数的单调性比较大小,就可以化繁为简,化难为易.
一、利用作差或作商法构造函数
作差法、作商法是构造函数的一种最常用的方法.解题的关键是作差(或作商)后将得到式子中相同部分看作变量x,由常值换元法构造函数,利用函数的单调性比较大小.比较两个代数式的大小时,若在适当变形的基础上,能够发现这两个代数式均涉及某个特殊的“数字”,则可将该数字利用变量“x”加以表示,从而可考虑通过作差(或作商)方式,灵活构造函数,并利用函数的单调性,巧妙比较大小.
二、利用同构法构造函数
1、同构也是构造函数的一种常用方法.常利用x=ln⁡ex(x∈R),x=eln⁡x(x>0)将要比较的三个数化为结构相同的式子,再将其看作同一个函数的三个值,用常值换元构造函数,利用函数的单调性比较大小.
2、对于同时含有指数、对数结构的两个变量的等式,或者含两个变量,且结构相似的等式,比较相关的两个变量间的大小问题时,思考的逻辑路径为先分离变量,再将等式通过合理变形,放缩成结构相同的不等式,然后利用同构函数思想,转化为比较某个函数的两个函数值f(g(x))与f(ℎ(x))的大小,最后利用函数f(x)的单调性,转化为比较自变量g(x)与ℎ(x)的大小,实现将超越函数普通化的目的,达到事半功倍的效果。
常见指数、对数的同构函数有:
(1)y=xex与y=xln⁡x;
(2)y=exx与y=xln⁡x;
(3)y=x+ex与y=ln⁡x+x;
(4)y=ex−x与y=x−ln⁡x。
利用放缩法构造函数
放缩法也是构造函数的重要方法.它是利用放缩法将两个式子的结构化成相同形式,再用常值代换构造函数,利用函数的单调性比较大小的方法.常用的放缩不等式有
ln⁡x⩽x−1(x>0),ex⩾x+1(x∈R),ex>x>ln⁡x(x>0);ln⁡x⩾1−1x(x>0),
(1−x)ex⩽1(x∈R),sin⁡x利用取对数法构造函数
在比较ab与ba,1+1aa与1+1bb(a,b>0）的大小时, 常用取对数的方法构造函数,其本质仍属于同构法.
在利用导数比较数的大小时,应抓住数的表达式中相同的部分去粗取精,去伪存真,通过代数变形将数的表达式向结构相同的方向转化,最后由常值代换构造函数,利用函数的单调性解决问题.
注：灵活运用函数y=ln⁡xx的单调性比较大小
对函数y=ln⁡xx,求导得y′=1−ln⁡xx2,其中x>0,所以令y′>0,可得0e.因此,函数y=ln⁡xx在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.又注意到函数y=ln⁡xx的零点为1,当x>e时,y>0,且当x→+∞时,y→0.据此,可画出函数y=ln⁡xx的大致图像,如图所示.由图像可知,函数y=ln⁡xx的最大值为1e,所以解题时,需要关注ln⁡22=ln⁡44的灵活运用,有利于巧妙、灵活地处理问题.根据以往的解题经验可知灵活运用该函数的单调性,可顺利求解涉及对数式(这里出现的对数是自然对数)、指数式的比较大小问题.
考点一 利用作差或作商法构造函数
考点二 利用同构法构造函数
考点三 利用放缩法构造函数
考点四 利用取对数法构造函数
考点一 利用作差或作商法构造函数
1．设a=10.99,b=e0.01,c=1.02,则( )
A.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.c>b>a
2．设a=2ln⁡1.01,b=ln⁡1.02,c=1.04−1,则( )
A.a3．（2023·四川巴中·统考一模）若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·四川泸州·泸县五中校考二模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
5．（2023·青海西宁·统考一模）已知是自然对数的底数，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·江西宜春·高三江西省丰城中学校考开学考试）设，，，则____ > ______ > ______(填a，b，c)．
7．（2023春·四川南充·高三四川省南充市高坪中学校考开学考试）设 ，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·河北邯郸·统考一模）已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
9．（2023·湖南娄底·高三涟源市第一中学校联考阶段练习）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
8．（2023·四川凉山·二模）已知，则a，b，c大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
考点二 利用同构法构造函数
10．设a=3(2−ln⁡3)e2,b=1e,c=ln⁡33,则a,b,c的大小关系为( )
A.a11．（2023春·河南安阳·高三安阳一中校联考阶段练习）已知实数，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
12．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）已知，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
13．（山东学情2022-2023学年高二下学期3月联考数学试题A）设，则（ ）
A．B．C．D．
14．（2023秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
15．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
16．（2023·广东茂名·统考一模）设，，则（ ）
A．B．
C．D．
17．已知 9m =10,a=10m−11,b=8m−9, 则 ( ).
A. a>0>b B. a>b>0 C. b>a>0 D. b>0>a
考点三 利用放缩法构造函数
18．已知正数a,b,c满足ln⁡aea=beb=c,b>1,则( )
A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.a>c>b
19．若2a+lg2⁡a=4b+2lg4⁡b,则
A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a20．（2023·全国·模拟预测）已知，，，试比较a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
考点四 利用取对数法构造函数
21．比较20212022与20222021的大小.
22．比较1+120212021与(1+120222022的大小.