考点26 二项式定理9种常见考法归类-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第三册)

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1．二项式定理
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n.
3．两个常用公式
(1)Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n.
(2)Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n－1.
4．二项展开式的三个重要特征
(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.
(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.
(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.
5．(1)几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法：先分别求出每一个多项式中的特定项，再合并．通常要用到方程或不等式的知识求解．
(2)几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法：先分别将每个多项式化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形．求出相应的特定项进行合并即可．
(3)三项展开式中的特定项(系数)问题的处理方法
①通常将三项式转化为二项式积的形式，然后利用多项式积的展开式中的特定项(系数)问题的处理方法求解．
②将其中某两项看成一个整体，直接利用二项式定理展开，然后再分类考虑特定项产生的所有可能情形，再逐一求出每种情形对应的项，最后合并即可．
注：(a＋b＋c)n展开式中特定项的求解方法
6．赋值法的应用
一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为eq \f(1,2)[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为eq \f(1,2)[g(1)－g(－1)]．
7．求二项展开式项的系数的最大值时，先求系数为正数时项的系数的最大值，令第r＋1项的系数最大，则满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Tr＋1的系数≥Tr的系数，,Tr＋1的系数≥Tr＋2的系数，))进而解不等式组即可．注意当系数为负数时，可以求解对应的系数的最小值．对于(ax＋bx－1)n，当x，x－1的系数为1时，某项的二项式系数和项的系数相等，则可以应用求二项式系数最大值的求解方法进行求解．
8．二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
考点一 形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项
考点二 形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展开式问题
考点三 求形如(a+b+c)n(n∈N*)展开式中特定项
考点四 求多个二项式的和或积展开式的问题
考点五 二项式系数和与系数和
考点六 系数与二项式系数的最值问题
考点七 二项式定理应用
考点八 杨辉三角问题
考点九 二项式定理与其它知识的交汇
考点一 形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项
1．（2023春·天津河东·高二期中）已知．
(1)展开式中的中间一项；
(2)展开式中常数项的值．
【答案】(1)
(2)375
【分析】（1）先求出展开式的通项，再求其第4项即可.
（2）令展开式的通项中系数为零，解出，再代入通项求解即可.
【详解】（1）展开式的通项为，，
展开式一共7项，中间一项为第4项，，
.
（2）令，解得.
，故展开式中常数项的值.
2．（2023春·天津河东·高二统考期中）若二项式的展开式中的系数是10，则实数______.
【答案】1
【分析】求出二项式展开式的通项公式，再利用给定系数列式计算作答.
【详解】二项式展开式的通项公式，
由解得，因此展开式中的系数是，即，解得，
所以实数.
故答案为：1
3．（2023·山东日照·山东省日照实验高级中学校考模拟预测）设，则________．
【答案】
【分析】运用二项展开式的通项公式赋值计算即可.
【详解】∵，
∴，
∴.
故答案为：.
4．（2023春·河南商丘·高二商丘市实验中学校联考期中）已知，则______．（用数字作答）
【答案】252
【分析】首先利用换元，转化二项展开式，再利用二项式定理，求的值.
【详解】设，则，
即，
是前的系数，即.
故答案为：252
考点二 形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展开式问题
5．（2023·湖北·荆门市龙泉中学校联考二模）的展开式中，常数项为________．
【答案】
【分析】将问题转化成的常数项及含的项，利用二项展开式的通项公式求出第项，令的指数为，求出常数项及含的项，进而相加可得答案．
【详解】先求的展开式中常数项以及含的项；

由得，由得；
即的展开式中常数项为，
含的项为
的展开式中常数项为
故答案为：
6．（2023·内蒙古包头·二模）的展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】的展开式通项为，
因为，
在中，令可得，
在中，令可得，
因此，展开式中的系数为.
故选：D.
7．（2023春·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考期中）的展开式中含的项的系数是（ ）
A．21B．14C．－14D．－21
【答案】C
【分析】先求出展开式的通项，再利用多项式乘法得出含的两项的系数和.
【详解】因为展开式的通项为，
所以展开式中含的项有两项:，，
的系数为，
故选：C．
8．（2023春·天津和平·高三耀华中学校考阶段练习）的展开式中的系数为（ ）
A．9B．10C．24D．25
【答案】B
【分析】首先求出的通项，再根据通项求解即可.
【详解】的通项，
令，，令，，令，，
展开式中的系数为.
所以的展开式中的系数为10.
故选：B
9．（2023·四川广安·统考二模）已知的展开式中含项的系数为，则______.
【答案】/
【分析】求出的展开式通项，然后利用含项的系数为列方程求解.
【详解】，
又的展开式通项为，
的展开式通项为，
，解得.
故答案为：.
考点三 求形如(a+b+c)n(n∈N*)展开式中特定项
10．（2023春·广东深圳·高二校考期中）的展开式中，的系数为（ ）
A．60B．C．30D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用多项式乘法结合组合应用问题，列式计算作答.
【详解】因为，于是在5个多项式中，取2个用，再从余下3个多项式中取2个用，
最后1个多项式用常数项相乘，因此含的项为，
所以的系数为60.
故选：A
11．（2023春·天津河西·高三天津市新华中学校考阶段练习）展开式中含项的系数为______．
【答案】－60
【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.
【详解】，
设该二项式的通项公式为，
因为的次数为，所以令，
二项式的通项公式为，
令，
所以项的系数为，
故答案为：
12．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）的展开式中项的系数为______.
【答案】
【分析】令的通项公式为，令的通项公式为，由和的范围可得答案.
【详解】的通项公式为，
显然，展开式中要出现，必有，
令的通项公式为，
由，由，，所以，或，
所以的系数为.
故答案为：.
13．（2023·内蒙古赤峰·赤峰二中校联考模拟预测）的展开式中，含的项的系数为______．
【答案】
【分析】的展开式中，含的项有以下两类，第一类：4个因式中有1个取到，其余3个都取到2；第二类：4个因式中有2个取到，其余2个都取到2，结合组合数即可求解.
【详解】的展开式中，含的项有以下两类：
第一类：4个因式中有1个取到，其余3个都取到2，即
第二类：4个因式中有2个取到，其余2个都取到2，即
所以的展开式中含的项为，
故含的项的系数为.
故答案为：
14．（2023·全国·模拟预测）设，则______．
【答案】315
【分析】令,则等式转化为为的系数.
解法一: 利用二项式定理的通项公式即可求得的系数；
解法二:对上式两次求导，令得的系数.
【详解】令,则等式转化为为的系数.
解法一:,通项为,含的有和,
的展开式中含的项为,
的展开式中的常数项为,
解法二:对①式两边求导得,
再次求导得,
令得.
故答案为：315
15．【多选】（2023·重庆·统考模拟预测）在展开式中（ ）
A．展开式中不存在含的项B．展开式所有项系数和为243
C．展开式中含项的系数为30D．展开式共21项
【答案】BCD
【分析】表示个相乘，含的项是在个中选个，个，即可判断A，令，即可得到展开式的系数和，从而判断B，含项是在个中选个，个，个，根据组合数公式判断C，将问题转化为盒子中取元素，即可得到展开式的项数，即可判断D.
【详解】表示个相乘，
含的项是在个中选个，个，
所以展开式中含的项的系数为，故A错误；
令，则展开式所有项系数和为，故B正确；
含项是在个中选个，个，个，
所以展开式中含的项的系数为，故C正确；
的展开式的项可以理解为有个盒子，每个盒子中均有、、三个元素，
现在从每个盒子中各取出个元素，再将它们相乘，
若只选一个字母则有种，
若选个字母则有种，
若选个字母则有种，
故展开式共有项，故D正确；
故选：BCD
16．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）已知展开式的常数项为76，则（ ）
A．1B．61C．2D．
【答案】A
【分析】由，利用二项式定理求其展开式，再求各部分的展开式，确定展开式的常数项表达式，列方程求.
【详解】因为，
所以，
的展开式的通项为，，
当时为常数项，常数项为，
的展开式的通项为，，
展开式没有常数项，
的展开式的通项为，，
展开式没有常数项，
的展开式的通项为，，
当时为常数项，常数项为，
的展开式的通项为，，
展开式没有常数项，
的展开式没有常数项，
又为常数，
所以常数项为，
所以，又，
解得．
故选：A.
考点四 求多个二项式的和或积展开式的问题
17．（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）在的展开式中，含的项的系数是___________.
【答案】
【分析】从的6个因式中，其中5个选x，余下的一个选常数相乘，即可得到项，由此可求得答案.
【详解】由题意可知从题中的6个因式中，
其中5个选x，余下的一个选常数相乘，即可得到项，
比如都选x，此时系数为，
都选x，此时系数为，
依此类推，
直到都选x，此时系数为，
共6种情况，将这6项合并，即可得，
故含的项的系数是，
故答案为：
18．【多选】（2023·全国·校联考三模）若在中，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】分别令，验证选项AB，通过二项式系数公式即可验证选项C，D.
【详解】令，则，故A错误；
令，则，故B正确；
由题可得，故C错误；
由题，故D正确．
故选：BD.
19．【多选】（2023·全国·高三专题练习）若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】令，可求得，判断A；写出的求解式子，结合组合数的性质化简，即可判断B；令，即可求得的值，判断C;对两边求导数，令，即可求得，判断D.
【详解】当时，，故A对；
，B对；
令，则，
∴，故C错；
对等式两边求导，
即
令，则，
∴，故D对，
故选：ABD．
考点五 二项式系数和与系数和
20．（2023春·江苏常州·高二常州市第一中学校考阶段练习）对于二项式：
(1)若展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，求展开式中的系数；
(2)若展开式的前三项的系数成等差数列，求展开式的中间项.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据第4项与第8项的二项式系数相等，列出等式，求出n，再通过二项式展开通项，取的指数为2，求出项数，代入通项中，求出系数即可；
（2）写出通项，求出前三项的系数，根据等差中项的概念列出等式，解出n，进而求得展开式的中间项即可.
【详解】（1）解：因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，
所以，解得，
则展开式通项为
，
令，解得，代入通项有：
，所以的系数为；
（2）二项式通项为：
，
所以第一项的系数为：，第二项的系数为：，
第三项的系数为：，由于前三项的系数成等差数列，
所以，解得，或，
因为至少有前三项，所以（舍），故，
所以展开式有9项，中间一项为.
21．（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）已知的展开式中所有项的二项式系数之和为1024，则的展开式中项的系数为__________.
【答案】
【分析】由已知求出.进而得出的展开式中含有的项为，然后根据二项式系数的性质求解，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，所以.
的展开式的通项为
，，，且，
展开式中含有的项为，
所以，的展开式中项的系数为
.
故答案为：.
22．（2023·安徽·校联考二模）已知展开式中所有项的系数之和为128，则展开式中的系数为________．
【答案】945
【分析】根据所有项的系数和求得，根据二项式展开式的通项公式求得的系数.
【详解】令，则，解得，
故展开式的通项公式为
，
令，解得，
故展开式中的系数为．
故答案为：
23．（2023·全国·校联考二模）若的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为______.
【答案】
【分析】令求得，写出的展开式的通顶公式分别求出它的系数与常数项，再与的系数相结合即可得展开式中的系数.
【详解】因为的展开式中各项系数之和为,
令,得,所以6.
因为展开式的通顶公式为,
令,得;令,得,
所以展开式中的系数为.
故答案为：
24．（2023春·天津南开·高二天津四十三中校考期中）已知，则______.
【答案】
【分析】令，求得，再令，，两式相加即可得解.
【详解】令，则，
令，则，①
令，则，②
两式相加得
所以，所以.
故答案为：.
25．【多选】（2023春·重庆江津·高二校考期中）在的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．第6项和第7项的二项式系数相等B．奇数项的二项式系数和为256
C．常数项为84D．有理项有2项
【答案】BC
【分析】根据二项式展开式的特征，即可结合选项逐一求解.
【详解】的展开式中共有10项，由二项式系数的性质可得展开式中的第5项和第6项的二项式系数相等，故A错误；
由已知可得二项式系数之和为，且展开式中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，
所以奇数项的二项式系数和为，故B正确；
展开式的通项为 ，令，解得．
故常数项为，故C正确；
有理项中x的指数为整数，故，2，4，6，8，故有理项有5项，故D错误．
故选：BC
26．【多选】（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）已知，则（ ）
A．B．
C．除以5所得的余数是1D．
【答案】ACD
【分析】对于选项A，通过赋值即可判断出结果的正误；对于选项B，通过展开式的通项公式，得到，再通过赋值即可判断出结果的正误；对于选项C，通过，再利用二项展开式展开即可判断出结果的正误；对于选项D，通过对等式两边同时求导，再进行赋值即可得出结果的正误.
【详解】选项A，因为，令，得到，所以选项A正确；
选项B，因为二项展开式的通项公式为，
由通项公式知，二项展开式中偶数项的系数为负数，所以，
由，令，得到，
令，得到，
所以，所以选项B错误；
选项C，因为，
所以除以5所得的余数是1，选项C正确；
对于选项D，因为，
两边同时对求导，得到，
令，得到，所以选项D正确.
故选：ACD.
27．【多选】（2023春·山西运城·高二康杰中学校考阶段练习）已知，下列命题中，正确的有（ ）
A．展开式中所有项的二项式系数的和为B．展开式中所有项的系数和为
C．展开式中所有奇数项系数的和为D．
【答案】ABC
【分析】根据二项式系数的和即可判断A；分别令，即可判断B、C；令即可判断D．
【详解】对于A，二项式展开式中所有项的二项式系数的和为，故A正确；
对于B，令，，故B正确；
对于C，令，则，
两式相加得展开式中所有奇数项系数的和为，故C正确；
对于D，令，则，
令，则，
所以，故D错误．
故选：ABC．
考点六 系数与二项式系数的最值问题
28．【多选】（2023春·河北张家口·高二校联考阶段练习）在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．不存在常数项B．二项式系数和为1
C．第3项和第4项二项式系数最大D．所有项的系数和为1
【答案】ACD
【分析】对于A：根据二项展开式的通项公式分析运算；对于B、C：根据二项式系数的性质分析运算；对于D：赋值，令，即可得结果.
【详解】因为展开式的通项公式为，
对于A：由，得，舍去，
所以展开式不存在常数项，故A正确；
对于B：由于n=5，二项式系数和为，故B错误；
对于C：由于n=5，展开式共有6项，所以第3项和第4项二项式系数最大，故C正确；
对于D：令，得所有项的系数和为，故D正确.
故选：ACD.
29．（2023春·江苏无锡·高二江苏省太湖高级中学校考期中）在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则的值为（ ）
A．11B．12C．13D．14
【答案】B
【分析】根据题中条件得出二项展开式的总项数，再求解n的值即可.
【详解】根据题意，只有第7项为二项展开式的中间项，所以二项展开式的总项数为13，
即，解得，
故答案为：12.
30．（2023春·浙江宁波·高二校联考期中）展开式中第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用二项式系数的基本性质可求得的值，然后写出的展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.
【详解】因为展开式中第项的二项式系数最大，且共有项，
则的展开式共项，所以，，则，
所以，的展开式通项为，
令，可得，因此，展开式中的系数为.
故选：A.
31．（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是，则展开式中系数的绝对值最大的是第（ ）项
A．6B．8C．9D．11
【答案】B
【分析】写出展开式的通项公式，由已知可得出，解得.进而写出展开式中系数的绝对值的表达式，列出不等式组，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，展开式的通项公式为，.
所以，第5项的系数为，第3项的系数为，
由题意知，，整理可得，，
解得或（舍去），
所以，.
设第项，系数的绝对值最大，该项系数的绝对值为，
则有，即，
整理可得，所以.
又，所以，所以展开式中系数的绝对值最大的是第8项.
故选：B.
32．（2023·陕西西安·校联考一模）设m为正整数，展开式中二项式系数的最大值为a，展开式中二项式系数的最大值为b，若，则展开式中的常数项为__________．
【答案】15
【分析】根据条件求出，然后可得答案.
【详解】由题可知，．
因为，所以，即，
解得，故展开式中的常数项为．
故答案为：
33．（2023春·浙江宁波·高二校联考期中）已知在展开式中，所有项的二项式系数之和为256，第4项的系数是第3项的二项式系数的16倍．
(1)求和；
(2)求展开式中系数最大的项；
(3)求展开式中含的项的系数．
【答案】(1)，
(2)最大项为和
(3)
【分析】（1）由条件结合二项式系数和结论列方程求，再由展开式通项公式求第4项的系数和第3项的二项式系数列方程求；
（2）利用不等式法求展开式中系数最大的项；
（3）由二项式定理求的含的项的系数，再结合组合数的性质求解即可.
【详解】（1）因为展开式中，所有项的二项式系数之和为256，
所以，解得，
所以，
二项式的展开式的通项公式为
，，
所以的展开式的第4项的系数为，
第三项的二项式系数为，
由已知，
所以；
（2）设第项系数最大则
，
解得，又，
所以或，
所以展开式中系数最大的项为第6项和第7项，
所以系数最大项为和．
（3）由二项式定理可得，，的展开式的含项的系数为，
所以展开式中含的项的系数为：
，
又，
所以展开式中含的项的系数为.
考点七 二项式定理应用
34．（2023春·江苏淮安·高二校联考期中）若，则被12整除的余数为（ ）
A．0B．3C．5D．8
【答案】B
【分析】分别赋值以及，可推得.然后将展开，即可得出，观察即可得出答案.
【详解】令，由已知可得，.
令，由已知可得，.
两式作差可得，，
所以，.
因为
，
所以，，
显然可以被12整除，
所以，余数为3.
故选：B.
35．（2023春·江苏无锡·高二江苏省太湖高级中学校考期中）设，且，若能被13整除，则的值可以为________.
【答案】1或14
【分析】变形，写出通项，根据通项可知，除第2024项外，其他项均能被13整除，即可得出能被13整除.进而只需满足能被13整除，即可根据的取值范围得出答案.
【详解】
该二项式展开式通项为，，
显然，当时，能被13整除，
但是时，不能被13整除，
所以能被13整除.
要使能被13整除，则应满足能被13整除.
因为，所以，
所以或，所以或.
故答案为：1或14.
36．（2023·山西太原·太原五中校考一模）被1000除的余数是（ ）
A．B．C．1D．901
【答案】C
【分析】利用二项式定理展开可求解.
【详解】，
所以展开式中从第二项开始都是1000的倍数，因此被1000除的余数是1.
故选：C
37．（2023·高二课时练习）求下列各数的近似值（精确到0.001）：
(1)；
(2)．
【答案】(1)1.008
(2)0.990
【分析】（1）（2）根据二项式定理展开式的性质，即可求解近似值.
【详解】（1）由二项式定理展开式得
由于精确到0.001，所以
（2）由二项式定理展开式得 ，
由于精确到0.001，所以
38．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）设，（e是自然对数的底数），则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】先构造函数得到，判断出.由二项式定理判断出，比较出a、b；对于a、c，构造函数，利用单调性证明出.
即可得到答案.
【详解】记，则，所以在上单调递减，所以，所以在上，所以.
又单调递增，所以
所以，即.
而由二项式定理得：.
对于a、c，由，.
记，则，
所以在上单调递增，所以.所以，所以.
综上所述：.
故选：C
【点睛】比较大小：
（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；
（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较；
（3）根据式子结构，构造新函数，利用导数判断单调性，比较大小.
考点八 杨辉三角问题
39．（2023·高二课时练习）如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．
【答案】/
【分析】根据题图写出各行首尾数字与行数的关系，即可得第n行的首尾两个数.
【详解】由，，，，，…，
所以，第n行的首尾两个数.
故答案为：
40．（2023·安徽黄山·统考二模）如图给出的三角形数阵，图中虚线上的数、、、、，依次构成数列，则___________.
【答案】
【分析】由杨辉三角与二项系数的关系可得出，再利用裂项相消法可求得所求代数式的值.
【详解】由杨辉三角与二项式系数的关系可知，，，，
所以，，所以，，
所以，.
故答案为：.
41．（2023·山西·高三校联考阶段练习）杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载，它的开头几行如图所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，则“莱布尼茨三角形”第8行第5个数是____________；若，则____________(用含n的代数式作答).
【答案】
【分析】类比杨辉三角，根据“莱布尼茨三角形”的特点求解即可．
【详解】由题意知，将杨辉三角从第1行开始的每一个数都换成分数，得到的三角形为“菜布尼茨三角形”，观察表中数字，题中要求第8行第5个数，所以，，所以第8行第5个数为.
由莱布尼茨三角形的特点可知，每个数均等于其“脚下”两个数之和，
∵，
，
，…，
，，
将上述各式相加，得，
∴，
.
故答案为：；
42．【多选】（2023春·山西太原·高二太原五中校考阶段练习）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是84
B．由“第行所有数之和为”猜想：
C．在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为286
D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字
【答案】ABCD
【分析】根据给定的“杨辉三角”，结合二项式定理、组合数计算、组合数的性质逐项分析计算判断作答.
【详解】在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是，A正确；
由“第行所有数之和为”猜想：，
因为，则令得：，B正确；
在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为：
，C正确；
在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字，
即
因为
对应相乘可得的系数为，
而二项式展开式的通项公式，当时，，
则的系数为：，所以，D正确.
故选：ABCD
考点九 二项式定理与其它知识的交汇
43．（2023春·浙江杭州·高二杭州四中校考期中）求和：__________．
【答案】
【分析】由二项式定理可得展开式，求导后，代入即可求得结果.
【详解】，
两边同时对求导可得：，
令得：.
故答案为：.
44．（2023春·河北张家口·高二校联考阶段练习）已知，则的值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【分析】先对等式两边同时求导，再给x赋值，令、代入计算即可求得结果.
【详解】设，
则，
令得：，即：，①
令得：，②
所以得：.
故选：C.
45．（2023·湖北·统考二模）若的展开式中常数项为160，则的最小值为_____________．
【答案】4
【分析】在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于0，求出的值，即可求出之间的关系，再结合不等式的性质求解即可.
【详解】二项式展开式的通项公式为:，
令，则，
所以，即,
所以，
因为，当且仅当时，等号成立.
所以的最小值为4.
故答案为：4.
46．（2023春·天津南开·高二天津四十三中校考期中）在二项式的展开式中，二项式的系数和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二项式系数和求得n，利用二项式展开式的通项公式确定有理项的项数，根据插空法排列有理项，再根据古典概型的概率公式即可求得答案.
【详解】在二项式 展开式中，二项式系数的和为，
所以.
则即，通项公式为，
故展开式共有9项，当时，展开式为有理项，
把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻，
即把其它的6个无理项先任意排，再把这三个有理项插入其中的7个空中，方法共有种,
故有理项都互不相邻的概率为,
故选：C
47．【多选】（2023春·江苏常州·高二常州高级中学校考期中）在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，则下列说法正确的有（ ）
A．展开式的各项系数和为128
B．展开式中存在常数项
C．展开式中存在有理项
D．展开式中项的系数最大值为
【答案】CD
【分析】根据二项式的通项公式，结合等差数列的性质逐一判断即可.
【详解】因为第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列，
所以有，或舍去，
在中令，得，
展开式的各项系数和为，所以选项A不正确；
二项式的通项公式为：
，
令，所以没有常数项，因此选项B不正确；
当时，，所以展开式中存在有理项，因此选项C正确；
要想展开式中项的系数有最大值，必有，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以存在展开式中项的系数最大值为，因此本选项正确，
故选：CD
48．（2023春·江苏南京·高二南京市第一中学校考期中）已知.
(1)若，成等比数列，求的值；
(2)若，求的值（用数字作答）．
【答案】(1)5
(2)
【分析】（1）求出展开式的通项，根据题意可得，即，从而可求得；
（2）分别令，从而可求得，即可得出答案.
【详解】（1）二项式展开式通项公式为，
若，成等比数列，则，
即，
则，解得；
（2）若，当时，，
当时，，
所以，，
所以.
49．（2023·河南郑州·郑州外国语学校校考模拟预测）记Sn为数列的前n项的和，已知，是公差为的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，记数列的前n项和为Tn，试求除以3的余数．
【答案】(1)
(2)2
【分析】（1）根据等差数列的定义，写出数列的通项公式，整理可得数列的递通项公式；
（2）利用等比数列前n项和公式求出，然后应用二项式展开式求余数
【详解】（1）由是公差为的等差数列，且，则，
即，当时，，
两式相减可得：，即，
因为满足上式，所以数列的通项公式为
（2）由（1）可得，所以，
又，
因为均为正整数，所以存在正整数使得，
故，
所以除以3的余数为2.
50．（2023春·浙江·高二浙江省开化中学校联考期中）如图所示的是古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着的一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等.相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积之比为，圆柱的表面积与球的表面积之比为，则的展开式中的常数项是（ ）
A．B．C．15D．20
【答案】C
【分析】设球的半径为，分别表达出球，圆柱的体积和表面积，求出，利用二项式定理得到通项公式，求出常数项.
【详解】设球的半径为，则球的体积为，圆柱的底面积为，高为，
故圆柱的体积为，
故，
球的表面积为，圆柱的表面积为，
故，
故，展开式中的通项公式为，
令，解得，故常数项为.
故选：C
二项式定理
(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq \\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)
二项展开式的通项
Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an－kbk，它表示展开式的第k＋1项
二项式系数
Ceq \\al(k,n)(k＝0,1，…，n)