通关练14 圆锥曲线的恒过定点问题-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第一册)

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1．（2023秋·上海浦东新·高二上海市建平中学校考期末）已知双曲线，设其左､右顶点分别为A，B，中心为O.
(1)求双曲线的焦距和虚轴长；
(2)斜率为的直线交双曲线于C，D两点，且，求弦长；
(3)设双曲线右支上两点M，N满足直线AM与BN在y轴上的截距之比为1∶3，判断直线MN是否过定点，并说明理由.
2．（2023秋·湖北武汉·高二武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）校考期末）已知圆和点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点
(1)求点的轨迹的方程
(2)设过点的直线交于，在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标及这个定值；若不存在，说明理由.
3．（2023秋·江苏·高二统考期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为4，直线与椭圆相交于两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)椭圆上是否存在定点，使得直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
4．（2023秋·广东佛山·高二统考期末）已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上.
(1)求的方程；
(2)若斜率存在且不为0的直线经过C的右焦点F，且与C交于A、B两点，设A关于x轴的对称点为D，证明：直线BD过x轴上的定点.
5．（2023秋·北京密云·高二统考期末）已知椭圆的一个顶点为，离心率为，，分别为椭圆的上、下顶点，动直线交椭圆于，两点，满足，过点作，垂足为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)判断直线是否过定点，如果是，则求出此定点的坐标，如果不是，则说明理由；
(3)写出面积的最大值.
6．（2023秋·广东广州·高二华南师大附中校考期末）如图，已知抛物线的焦点为，且经过点．
(1)求和的值.
(2)若点在上，且，证明：直线过定点．
7．（2023秋·北京丰台·高二统考期末）已知椭圆过点，两点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点P的直线l与椭圆E交于C，D两点．
（i）若点P坐标为，直线BC，BD分别与x轴交于M，N两点．求证：；
（ii）若点P坐标为，直线g的方程为，椭圆E上存在定点Q，使直线QC，QD分别与直线g交于M，N两点，且．请直接写出点Q的坐标，结论不需证明．
8．（2023秋·广东广州·高二广东实验中学越秀学校校考期末）在平面直角坐标系中，直线与抛物线（）交于点,设直线、的斜率分别为、.
(1)若直线经过抛物线的焦点，证明：；
(2)若（为常数），直线是否经过某个定点？若经过，求出这个定点；若不经过，请说明理由.
9．（2023秋·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）已知椭圆的焦距为2，长轴长为4．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点且与x轴不重合的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，点B关于x轴的对称点为．问：平面内是否存在定点P，使得恒在直线上？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
10．（2023秋·湖南郴州·高二校考期末）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为2，渐近线的斜率为2．
(1)求双曲线的方程；
(2)设过点的直线与曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点的坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．
11．（2023秋·江苏盐城·高二校考期末）已知椭圆的左右顶点为A、B，直线l：.已知O为坐标原点，圆G过点O、B交直线l于M、N两点，直线AM、AN分别交椭圆于P、Q.
(1)记直线AM，AN的斜率分别为、，求的值；
(2)证明直线PQ过定点，并求该定点坐标.
12．（2023秋·安徽阜阳·高二阜阳市红旗中学校考期末）设抛物线C：x2＝2py（0＜p＜8）的焦点为F，点P是C上一点，且PF的中点坐标为（2，）
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)动直线l过点A（0，2），且与抛物线C交于M，N两点，点Q与点M关于y轴对称（点Q与点N不重合），求证：直线QN恒过定点．
13．（2023秋·广东广州·高二广州市天河中学校考期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，动点M满足．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)若动点M在双曲线C上，设双曲线C的左支上有两个不同的点P，Q，点，且，直线NQ与双曲线C交于另一点B．证明：动直线PB经过定点．
14．（2023秋·广东广州·高二广州市第六十五中学校考期末）在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：的距离之比是常数，记P的轨迹为曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)设过点A(，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点.
15．（2023秋·江苏扬州·高二江苏省江都中学校考期末）已知，，，动点满足.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）设直线不经过点且与动点的轨迹相交于，两点.若直线与直线的斜率和为.证明：直线过定点.
16．（2023秋·新疆乌鲁木齐·高二乌鲁木齐市第十九中学校考期末）已知抛物线的焦点为坐标原点，是抛物线C上异于O的两点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线的斜率之积为，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
17．（2023秋·北京西城·高二北京师大附中校考期末）已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，A(2，y0)是E上一点，且|AF|＝2.
（1）求E的方程；
（2）设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线y＝x－3交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M，证明：直线BM过定点.
18．（2023秋·北京西城·高二北京师大附中校考期末）已知椭圆：的离心率为，且经过点，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作直线与椭圆相较于，两点，试问在轴上是否存在定点，使得两条不同直线，恰好关于轴对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
19．（2023秋·上海嘉定·高二上海市育才中学校考期末）已知椭圆的长轴长为8，是坐标原点，，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的面积为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆交于，两点，且直线，的斜率之和为．
①求直线经过的定点的坐标；
②求的面积的最大值．
20．（2023秋·浙江·高二浙江省江山中学校联考期末）已知，，点满足，记点的轨迹为曲线.斜率为的直线过点，且与曲线相交于，两点.
(1)求斜率的取值范围；
(2)在轴上是否存在定点，使得无论直线绕点怎样转动，总有成立？如果存在，求点的坐标；如果不存在，请说明理由.
21．（2023秋·江苏南通·高二统考期末）已知为椭圆上一点，上、下顶点分别为、，右顶点为，且.
(1)求椭圆的方程；
(2)点为椭圆上异于顶点的一动点，直线与交于点，直线交轴于点.求证：直线过定点.
22．（2023秋·湖南岳阳·高二统考期末）已知椭圆过点，点为其左顶点，且的斜率为．
(1)求的方程；
(2)、为椭圆上两个动点，且直线、的斜率之积为，求证直线过定点．
23．（2023秋·河北保定·高二统考期末）在一张纸上有一圆，定点，折叠纸片使圆C上某一点恰好与点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕EF，设折痕EF与直线的交点为T．
(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
(2)已知点，直线l交于P，Q两点，直线AP、AQ的斜率之和为0．若，求的面积．
24．（2023秋·广东东莞·高二东莞市东莞中学校考期末）双曲线过点，且离心率为，过点的动直线与双曲线相交于两点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2023秋·湖北·高二赤壁一中校联考期末）如图平面直角坐标系中，直角三角形，，，、在轴上且关于原点对称，在边上，，的周长为，若双曲线以、为焦点，且经过、两点．.
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)若一过点（m为非零常数）的直线与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点、，且，问在x轴上是否存在定点G，使？若存在，求出所有这样定点的坐标；若不存在，请说明理由.
26．（2023秋·河北保定·高二统考期末）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设D为双曲线C的右顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以为直径的圆经过点D，且于点G，证明：存在定点H，使为定值．
27．（2023秋·湖北孝感·高二统考期末）已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点．
(1)求动点的轨迹的方程.
(2)动点的轨迹与轴交于，两点在点左侧，直线交轨迹于，两点不在轴上，直线，的斜率分别为，，且，求证：直线过定点．
28．（2023秋·北京顺义·高二统考期末）已知椭圆C：的焦点在x轴上，且经过点，左顶点为D，右焦点为F．
(1)求椭圆C的离心率和的面积；
(2)已知直线与椭圆C交于A，B两点．过点B作直线的垂线，垂足为G．判断直线是否与y轴交于定点？请说明理由．
29．（2023秋·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期末）已知C：的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为：，过点M作垂直于直线m交直线m于点E.
(1)求椭圆C的标准方程：
(2)①若线段EN必过定点P，求定点P的坐标；
②点O为坐标原点，求面积的最大值.
30．（2023秋·江苏南京·高二南京市第五高级中学校考期末）已知点在抛物线E：（）的准线上，过点M作直线与抛物线E交于A，B两点，斜率为2的直线与抛物线E交于A，C两点.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)（ⅰ）求证：直线过定点；
（ⅱ）记（ⅰ）中的定点为H，设的面积为S，且满足，求直线的斜率的取值范围.
31．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）已知直线：，点，点是平面内一个动点，过点作于点，且
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点是一定点，且，过点的直线交点的轨迹于，两点，该平面内是否存在不同于点的一定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
32．（2023秋·湖北·高二校联考期末）已知抛物线C：，焦点为F，点，，过点M作抛物线的切线MP，切点为P，，又过M作直线交抛物线于不同的两点A，B，直线AN交抛物线于另一点D．
(1)求抛物线方程；
(2)求证BD过定点．