2022年广东省佛山市高考数学质检试卷（二）（二模）及解析

这是一份2022年广东省佛山市高考数学质检试卷（二）（二模）及解析，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）已知集合，1，，，则
A．，B．，0，1，C．，1，2，D．，0，1，2，
2．（5分）已知函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为，则
A．B．C．D．
3．（5分）设，，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．（5分）核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时监测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阚值时，的数量与扩增次数满足，其中为扩增效率，为的初始数量．已知某被测标本扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率约为
（参考数据：，
A．B．C．D．
5．（5分）如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面和圆锥的顶点均在体积为的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为
A．B．C．D．
6．（5分）已知双曲线以正方形的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，若正方形的边长为2，则的实轴长为
A．B．C．D．
7．（5分）设，，且，函数，，若，则下列判断正确的是
A．的最大值为B． 的最小值为
C．D．
8．（5分）中，，，是外接圆圆心，则的最大值为
A．0B．1C．3D．5
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分
9．（5分）关于复数为虚数单位），下列说法正确的是
A．
B．在复平面上对应的点位于第二象限
C．
D．
10．（5分）时代青年李华同学既读圣贤书，也闻窗外事．他关注时政，养成了良好的摘抄习惯，以下内容来自他的摘抄笔记：
过去一年，我们统筹推进疫情防控和经济社会发展，主要做了以下工作：全年国内生产总值增长；城镇新增就业1186万人，全国城镇调查失业率降到；年初剩余的551万农村贫困人口全部脱贫；
今年发展主要预期目标是：国内生产总值增长以上；城镇新增就业1100万人以上，城镇调查失业率左右：居民收入稳步增长：生态环境质量进一步改善，主要污染物排放量继续下降；粮食产量保持在1.3万亿斤以上；
摘自李克强总理2021年3月5日政府工作报告
全国总人口为1443497378人，其中：普查登记的大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口共1411778724人：香港特别行政区人口为7474200人：澳门特别行政区人口为683218人；台湾地区人口为23561236人；
摘自2021年5月11日第七次人口普查公报
过去一年全年主要目标任务较好完成，“十四五”实现良好开局，我国发展又取得新的重大成就：国内生产总值达到114万亿元，增长；城镇新增就业1269万人，城镇调查失业率平均为；居民人均可支配收入实际增长；污染防治攻坚战深入开展，主要污染物排放量继续下降，地级及以上城市细颗粒物平均浓度下降；粮食产量1.37万亿斤，比上一年增长，创历史新高：落实常态化防控举措，疫苗全程接种覆盖率超过；
摘自李克强总理2022年3月5日政府工作报告
根据以上信息，下列结论正确的有
A．2020年国内生产总值不足100万亿元
B．2021年城镇新增就业人数比预期目标增幅超
C．2020年、2021年粮食产量都超1.3万亿斤
D．2021年完成新冠疫苗全程接种人数约12亿
11．（5分）在棱长为3的正方体中，是的中点，在该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是
A．存在点，使得
B．三棱锥的体积等于
C．有且仅有两个点，使得平面
D．有且仅有三个点，使得到平面的距离为
12．（5分）已知，且，其中为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是
A．B．C．D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）若椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围是 ．
14．（5分）已知，则 ．
15．（5分）冬季两项起源于挪威，与冬季狩猎活动有关，是一种滑雪加射击的比赛．北京冬奥会上，冬季两项比赛场地设在张家口赛区的国家冬季两项中心，其中男女混合公里接力赛项目非常具有观赏性，最终挪威队惊险逆转夺冠，中国队获得第15名．该项目每队由4人组成男2女），每人随身携带枪支和16发子弹（其中6发是备用弹），如果备用弹用完后仍有未打中的残存目标，就按残存目标个数加罚滑行圈数（每圈150米）．以接力队的最后名队员到达终点的时间为该队接力的总成绩．根据赛前成绩统计分析，某参赛队在一次比赛中，射击结束后，残存目标个数的分布列如下：
则在一次比赛中，该队射击环节的加罚距离平均为 米．
16．（5分）公比为的等比数列满足：，记，则当最小时，使成立的最小值是 ．
四、解答题：本题共6小题.共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）记的内角，，的对边分别为，，，，且．
（1）求证：；
（2）若的面积为，求．
18．（12分）男子冰球比赛上演的是速度与激情的碰撞．2022北京冬奥会男子冰球主要比赛场馆是位于北京奥林匹克公园的“冰之帆”国家体育馆．本届冬奥会男子冰球有12支队伍进入正赛，中国首次组队参赛．比赛规则：12支男子冰球参赛队先按照往届冬奥会赛制分成三个小组（每组4个队）．正赛分小组赛阶段与决赛阶段：
小组赛阶段各组采用单循环赛制（小组内任两队需且仅需比赛一次）；决赛阶段均采用淘汰制（每场比赛胜者才晋级），先将12支球队按照小组比赛成绩进行种子排名，排名前四的球队晋级四分之一决赛（且不在四分之一决赛中遭遇），其余8支球队按规则进行附加赛（每队比赛一次，胜者晋级），争夺另外4个四分之一决赛席位，随后依次是四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛．
（1）本届冬奥会男子冰球项目从正赛开始到产生金牌，组委会共要安排多少场比赛？
（2）某机构根据赛前技术统计，率先晋级四分之一决赛的四支球队（甲乙丙丁队）实力相当，假设他们在接下来四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛中取胜率都依次为、、、，且每支球队晋级后每场比赛相互独立．试求甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率．
19．（12分）已知数列的前项和为，且满足，，．
（1）求、的值及数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
20．（12分）如图，在以，，，，为顶点的五面体中，平面为等腰梯形，，，平面平面，．
（1）求证：为直角三角形；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
21．（12分）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于点，两个动点，记点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程：
（2）过点的直线与曲线交于，两点，直线，与圆的另一交点分别为，（其中为坐标原点），求与的面积之比的最大值．
22．（12分）已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，若有两个极值点，，且恒成立，求的最大值．
2022年广东省佛山市高考数学质检试卷（二）（二模）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题每小题5分共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合，1，，，则
A．，B．，0，1，C．，1，2，D．，0，1，2，
【分析】先求出中不等式的解集确定出，再求并集即可．
【解答】解：，1，2，，
又，1，，
，0，1，2，，
故选：．
【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键，属基础题．
2．（5分）已知函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为，则
A．B．C．D．
【分析】由三角函数的性质判断即可．
【解答】解：函数图象上相邻两条对称轴之间的距离为，
，
，
故选：．
【点评】本题考查了三角函数的性质的应用，属于基础题．
3．（5分）设，，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分必要条件的定义分别判断即可．
【解答】解：则由推不出，比如时，不是充分条件，
由，得，则，是必要条件，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：．
【点评】本题考查了充分必要条件，考查不等式问题，是基础题．
4．（5分）核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时监测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阚值时，的数量与扩增次数满足，其中为扩增效率，为的初始数量．已知某被测标本扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率约为
（参考数据：，
A．B．C．D．
【分析】由题意，代入，解方程即可．
【解答】解：由题意知，，
即，
所以，解得．
故选：．
【点评】本题考查了对数函数模型的应用，属于基础题．
5．（5分）如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面和圆锥的顶点均在体积为的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为
A．B．C．D．
【分析】分析图中的几何关系，分别求出圆锥的底面半径和母线长即可．
【解答】解：依题意作球的剖面如下：
其中，是球心，是圆锥的顶点，是圆锥的母线，
由题意可知：，解得，
圆柱的高为2，，，，
母线，
圆锥的侧面积为．
故选：．
【点评】本题考查圆锥的侧面积的求法，考查圆锥、圆柱的性质、侧面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（5分）已知双曲线以正方形的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，若正方形的边长为2，则的实轴长为
A．B．C．D．
【分析】利用已知条件列出方程组，求解，，即可得到选项．
【解答】解：双曲线以正方形的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，若正方形的边长为2，不妨，，则，，
所以，解得，所以．
所以双曲线的实轴长为：．
（或．
故选：．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
7．（5分）设，，且，函数，，若，则下列判断正确的是
A．的最大值为B． 的最小值为
C．D．
【分析】根据求出的解析式，利用判断为奇函数，求出、、的关系，写出函数，再判断选项中的命题是否正确．
【解答】解：因为函数，所以，
又因为，所以为定义域上的奇函数；
所以，即，由，得，
所以，解得；
所以，且；
对于，时，有最小值，所以选项错误；
对于，时，有最大值，所以选项错误；
对于，的对称轴是，不是，所以不成立，选项错误；
对于，由，得，所以关于对称，选项正确．
故选：．
【点评】本题考查了函数的基本性质应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
8．（5分）中，，，是外接圆圆心，则的最大值为
A．0B．1C．3D．5
【分析】根据题意画出图形，结合图形，求出外接圆的半径，用表示半径的向量求平面向量的数量积，从而求出最大值．
【解答】解：中，，是外接圆圆心，如图所示：
则，
又因为，所以，即外接圆的半径；
所以
，
因为、不重合，所以向量与的夹角范围是，，
所以，
所以，即为的中点时，取得最大值为．
故选：．
【点评】本题主要考查了平面向量的线性运算、数量积运算应用问题，也考查了逻辑推理与运算求解能力，是中档题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分
9．（5分）关于复数为虚数单位），下列说法正确的是
A．
B．在复平面上对应的点位于第二象限
C．
D．
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数的性质，即可求解．
【解答】解：，
对于，，故正确，
对于，，在复平面上对应的点，位于第三象限，故错误，
对于，，，
，故正确，
对于，，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，以及复数的性质，属于基础题．
10．（5分）时代青年李华同学既读圣贤书，也闻窗外事．他关注时政，养成了良好的摘抄习惯，以下内容来自他的摘抄笔记：
过去一年，我们统筹推进疫情防控和经济社会发展，主要做了以下工作：全年国内生产总值增长；城镇新增就业1186万人，全国城镇调查失业率降到；年初剩余的551万农村贫困人口全部脱贫；
今年发展主要预期目标是：国内生产总值增长以上；城镇新增就业1100万人以上，城镇调查失业率左右：居民收入稳步增长：生态环境质量进一步改善，主要污染物排放量继续下降；粮食产量保持在1.3万亿斤以上；
摘自李克强总理2021年3月5日政府工作报告
全国总人口为1443497378人，其中：普查登记的大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口共1411778724人：香港特别行政区人口为7474200人：澳门特别行政区人口为683218人；台湾地区人口为23561236人；
摘自2021年5月11日第七次人口普查公报
过去一年全年主要目标任务较好完成，“十四五”实现良好开局，我国发展又取得新的重大成就：国内生产总值达到114万亿元，增长；城镇新增就业1269万人，城镇调查失业率平均为；居民人均可支配收入实际增长；污染防治攻坚战深入开展，主要污染物排放量继续下降，地级及以上城市细颗粒物平均浓度下降；粮食产量1.37万亿斤，比上一年增长，创历史新高：落实常态化防控举措，疫苗全程接种覆盖率超过；
摘自李克强总理2022年3月5日政府工作报告
根据以上信息，下列结论正确的有
A．2020年国内生产总值不足100万亿元
B．2021年城镇新增就业人数比预期目标增幅超
C．2020年、2021年粮食产量都超1.3万亿斤
D．2021年完成新冠疫苗全程接种人数约12亿
【分析】结合材料分析2020年国内生产总值为105.46万亿元，可判断；
2021年城镇新增就业人数比预期目标增幅约为，可判断；
2021年粮食产量为1.37万亿斤，2020年为1.34万亿斤，可判断；
新冠疫苗全程接种人数约12.27亿，可判断．
【解答】解：结合材料知2020年国内生产总值为万亿元，超过100万亿元，故选项错误；2021年城镇新增就业人数比预期目标增幅为，则为，故选项正确；
由题意知2021年粮食产量为1.37万亿斤，比上一年增长，则2020年为万亿斤，则选项正确；
由题意知疫苗全程接种覆盖率超过，则人数为亿，故正确．
故选：．
【点评】本题考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于基础题．
11．（5分）在棱长为3的正方体中，是的中点，在该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是
A．存在点，使得
B．三棱锥的体积等于
C．有且仅有两个点，使得平面
D．有且仅有三个点，使得到平面的距离为
【分析】根据点的位置容易判断；求解可判断；当，分别为，中点时，可判断；易证平面，平面，且，可判断．
【解答】解：对于，显然无法找到点，使得，故错；
对于，，故正确；
对于，如图所示，分别为，中点，有平面，平面，故正确；
对于，易证平面，平面，且，
所以有点，，，，四点到平面的距缡为，故错．
故选：．
【点评】本题考查了三棱锥的体积计算和点到平面的距离，属于中档题．
12．（5分）已知，且，其中为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是
A．B．C．D．
【分析】依题意得，令，可得且，从而可得到答案．
【解答】解：，，
，
令，
则，
当时，，当，时，，
在上单调递减，在，上单调递增；
，，，
，
，
又，
①，故正确，错误，
由①得：，
，即，故正确，错误；
故选：．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化与化归思想，考查运算求解能力，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）若椭圆的焦点在轴上，则实数的取值范围是 ．
【分析】由题意可得：，解出即可得出．
【解答】解：椭圆的焦点在轴上，
，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14．（5分）已知，则 ．
【分析】由已知利用两角差的正弦公式化简可得，两边平方利用同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式即可求解的值．
【解答】解：因为，
所以，两边平方，可得，
则．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了两角差的正弦公式，同角三角函数基本关系式以及二倍角的正弦公式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
15．（5分）冬季两项起源于挪威，与冬季狩猎活动有关，是一种滑雪加射击的比赛．北京冬奥会上，冬季两项比赛场地设在张家口赛区的国家冬季两项中心，其中男女混合公里接力赛项目非常具有观赏性，最终挪威队惊险逆转夺冠，中国队获得第15名．该项目每队由4人组成男2女），每人随身携带枪支和16发子弹（其中6发是备用弹），如果备用弹用完后仍有未打中的残存目标，就按残存目标个数加罚滑行圈数（每圈150米）．以接力队的最后名队员到达终点的时间为该队接力的总成绩．根据赛前成绩统计分析，某参赛队在一次比赛中，射击结束后，残存目标个数的分布列如下：
则在一次比赛中，该队射击环节的加罚距离平均为 390 米．
【分析】先求出，再用，即可求出答案．
【解答】解：，
在一次比赛中，该队射击环节的加罚距离平均为．
故答案为：390．
【点评】本题考查离散型随机变量的分布列的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16．（5分）公比为的等比数列满足：，记，则当最小时，使成立的最小值是 17 ．
【分析】，令，此问题相当于方程有解．构造函数，，利用导数研究其单调性与极值即可得出函数的最小值，进而得出等比数列的通项公式，结合二次函数的单调性即可得出结论．
【解答】解：，
令，此问题相当于方程有解．
构造函数，，
，
函数在时单调递增，时单调递减，
时，函数取得极小值即最小值．
（1），
若有解，则，解得．
，解得，
取的最小值为，
，
，
，解得．
．
，
，解得，
当最小时，使成立的最小值是17．
故答案为：17．
【点评】本题考查了利用导数研究其单调性与极值、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题.共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）记的内角，，的对边分别为，，，，且．
（1）求证：；
（2）若的面积为，求．
【分析】（1）由二倍角的余弦公式和正弦定理、余弦定理，化简可得证明；
（2）由三角形的面积公式和（1）的结论，解方程可得所求值．
【解答】解：（1）证明：，
即为，
由正弦定理可得，即，
又，
即有，化为，即；
（2）若的面积为，则，
即，由，解得舍去）．
【点评】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于基础题．
18．（12分）男子冰球比赛上演的是速度与激情的碰撞．2022北京冬奥会男子冰球主要比赛场馆是位于北京奥林匹克公园的“冰之帆”国家体育馆．本届冬奥会男子冰球有12支队伍进入正赛，中国首次组队参赛．比赛规则：12支男子冰球参赛队先按照往届冬奥会赛制分成三个小组（每组4个队）．正赛分小组赛阶段与决赛阶段：
小组赛阶段各组采用单循环赛制（小组内任两队需且仅需比赛一次）；决赛阶段均采用淘汰制（每场比赛胜者才晋级），先将12支球队按照小组比赛成绩进行种子排名，排名前四的球队晋级四分之一决赛（且不在四分之一决赛中遭遇），其余8支球队按规则进行附加赛（每队比赛一次，胜者晋级），争夺另外4个四分之一决赛席位，随后依次是四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛．
（1）本届冬奥会男子冰球项目从正赛开始到产生金牌，组委会共要安排多少场比赛？
（2）某机构根据赛前技术统计，率先晋级四分之一决赛的四支球队（甲乙丙丁队）实力相当，假设他们在接下来四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛中取胜率都依次为、、、，且每支球队晋级后每场比赛相互独立．试求甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率．
【分析】（1）分别求出小组赛、附加赛、四分之一决赛、铜牌赛、金牌赛各自的比赛场次，加起来能求出组委会共要安排多少场比赛．
（2）先求出甲、乙、丙、丁队获得冠军的概率，利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率．
【解答】解：（1）根据赛制，小组赛共安排比赛场比赛，
附加赛共安排场比赛，
四分之一决赛共安排场比赛，
半决赛共安排场，
铜牌赛、金牌赛各比赛一场，共2场，
本届冬奥会男子冰球项目从正赛开始到产生金牌，组委会共要安排：
场比赛．
（2）设甲、乙、丙、丁队获得冠军分别为事件，，，，都没有获得冠军为事件，
晋级后每场比赛相互独立，
（A），
四队实力相当，（B）（C）（D）（A），
，，，互斥，
甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率为：
（E）（A）（B）（C）（D）．
【点评】本题考查比赛场次、概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19．（12分）已知数列的前项和为，且满足，，．
（1）求、的值及数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
【分析】（1）利用给定条件建立方程组求解得、，再变形递推公式求出即可计算；
（2）由（1）的结论，对裂项，利用裂项相消法计算作答．
【解答】解：（1）因，
取和得：，
即，解得，，
由得：，
数列是首项为，公差的等差数列，
则，即，
当时，，
而满足上式，因此，，
所以，，
数列的通项公式；
（2）由（1）知，当时，，
因此，，
则满足上式，
所以．
【点评】本题考查了数列递推式和裂项相消求和，属于中档题．
20．（12分）如图，在以，，，，为顶点的五面体中，平面为等腰梯形，，，平面平面，．
（1）求证：为直角三角形；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
【分析】（1）作于，连，证明，再结合面面垂直的性质、线面垂直的性质、判定推理作答；
（2）在平面内过点作，以为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量计算作答．
【解答】证明：（1）在等腰梯形中，作于，连，如图，
则，且，则，
即，而，
因此，，即，
因平面平面，平面平面，平面，而，
则平面，又平面，于是有，，，平面，
则有平面，平面，
因此，，
所以为直角三角形；
解：（2）在平面内过点作，因平面平面，平面平面，则平面，
因此，，，两两垂直，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
令，则，，
有，从而得，
设平面的一个法向量，则，
令，得，，
设直线与平面所成角为，
则有，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【点评】本题考查了空间中的垂直关系和线面角的计算，属于中档题．
21．（12分）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于点，两个动点，记点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的方程：
（2）过点的直线与曲线交于，两点，直线，与圆的另一交点分别为，（其中为坐标原点），求与的面积之比的最大值．
【分析】（1）根据所给条件，得点的参数方程，消去参数即可；
（2）作图，联立方程，分别求出，，，的长度即可求解．
【解答】解：（1）设动圆的圆心为，因为经过，且与轴、轴分别交于点，两个动点，
则，半径为，
圆的方程为，与轴的另一个交点为，与轴的交点为，
即，，
，
即的方程为；
（2）由（1）作下图：
设过点的直线方程为，显然是存在的，
联立方程：，得，
①，②，
设，，，，
代入①②得，③
则直线的方程为，直线的方程为，
联立方程：，
解得，，同理，，
，
同理可得：，
，，
④，
由③得，代入④得：，
显然当时最大，最大值为．
【点评】本题考查了抛物线方程及直线与抛物线的综合问题、也考查了学生的计算能力，关键在于先作图，设点，的坐标，求出，点的坐标，由于与顶角相同，只要计算边长乘积之比即可，属于中档题．
22．（12分）已知函数，其中为自然对数的底数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，若有两个极值点，，且恒成立，求的最大值．
【分析】（1）对函数求导，把代入导函数中对导函数进行化简，即可求出函数的单调区间．
（2）有两个极值点，即为导函数的零点，令导函数等于零和，即可得方程，利用△与韦达定理得到（或，再把，代入原函数中进行化简即可得到，要使恒成立，代入化简即可得，求出的最小值，即可得到答案．
【解答】解：（1）对求导得，
当时，，
当，即，；
当，即，；
故当时，的递增区间为，递减区间为．
（2）当时，由（1）知，
令，则的两个不等实数解为，
故，
，
，
故不等式恒成立 恒成立，
由于，故，故恒成立，
令，
则
，
（a）是上的增函数，，
，即最大值为2．
【点评】本题考查导数的综合应用，考查学生的运算能力，属于难题．
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