2023年福建省部分地市高考数学高三第一次质检数学试卷

这是一份2023年福建省部分地市高考数学高三第一次质检数学试卷，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）若集合A，B，U满足：A⫋B⫋U，则U＝（ ）
A．A∪∁UBB．B∪∁UAC．A∩∁UBD．B∩∁UA
2．（5分）设z＝a+bi（a，b∈R）在复平面内对应的点为M，则“点M在第四象限”是“ab＜0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
3．（5分）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜b＜aB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b
4．（5分）函数f（x）＝asinx+bcs2x+csin4x（a，b，c∈R）的最小正周期不可能是（ ）
A．B．πC．D．2π
5．（5分）过抛物线C：y2＝4x的焦点作直线l，l交C于M，N两点，若线段MN中点的纵坐标为2，则|MN|＝（ ）
A．10B．9C．8D．7
6．（5分）函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω∈R）恒有f（x）≤f（2π），且f（x）在[﹣，]上单调递增，则ω的值为（ ）
A．﹣B．C．D．或
7．（5分）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，，且各顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为（ ）
A．20πB．C．10πD．5π
8．（5分）双曲线的下焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，若过A，B和点的圆的圆心在x轴上，则直线l的斜率为（ ）
A．B．C．±1D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）记正项等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列数列为等比数列的有（ ）
A．{an+1+an}B．{an+1an}C．{}D．{SnSn+1}
（多选）10．（5分）已知正实数x，y满足x+y＝1，则（ ）
A．x2+y的最小值为
B．的最小值为8
C．的最大值为
D．lg2x+lg4y没有最大值
（多选）11．（5分）平面向量满足，对任意的实数t，恒成立，则（ ）
A．与的夹角为60°
B．为定值
C．的最小值为
D．在上的投影向量为
（多选）12．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为线段BD1上的动点（含端点），则（ ）
A．存在点M，使得CM⊥平面A1DB
B．存在点M，使得CM∥平面A1DB
C．不存在点M，使得直线C1M与平面A1DB所成的角为30°
D．存在点M，使得平面ACM与平面A1BM所成的锐角为45°
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知空间中三点，则点A到直线BC的距离为 ．
14．（5分）以下为甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据：
甲组：14，30，37，a，41，52，53，55，58，80；
乙组：17，22，32，43，45，49，b，56．
若甲组数据的第40百分位数和乙组数据的平均数相等，则4a﹣b＝ ．
15．（5分）写出一个同时满足下列三个性质的函数f（x）＝ ．
①若xy＞0，则f（x+y）＝f（x）f（y）；②f（x）＝f（﹣x）；③f（x）在（0，+∞）上单调递减．
16．（5分）近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A，B角色不可同时为女生．则店主共有 种选择方式．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝（an﹣1）（an+3）（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）将数列{an}和数列{2n}中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列{bn}，求{bn}的前50项和．
18．（12分）记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求；
（2）已知B＝3C，c＝1，求△ABC的面积．
19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，E，F分别为BB1，CA1的中点，且EF⊥平面AA1C1C．
（1）求AB的长；
（2）若，求二面角C﹣A1E﹣A的余弦值．
20．（12分）校园师生安全重于泰山，越来越多的学校纷纷引进各类急救设备．某学校引进M，N两种类型的自动体外除颤器（简称AED）若干，并组织全校师生学习AED的使用规则及方法．经过短期的强化培训，在单位时间内，选择M，N两种类型AED操作成功的概率分别为和，假设每次操作能否成功相互独立．
（1）现有某受训学生进行急救演练，假定他每次随机等可能选择M或N型AED进行操作，求他恰好在第二次操作成功的概率；
（2）为激发师生学习并正确操作AED的热情，学校选择一名教师代表进行连续两次设备操作展示，下面是两种方案：
方案甲：在第一次操作时，随机等可能的选择M或N型AED中的一种，若第一次对某类型AED操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若第一次对某类型AED操作不成功，则第二次使用另一类型AED进行操作．
方案乙：在第一次操作时，随机等可能的选择M或N型AED中的一种，无论第一次操作是否成功，第二次均使用第一次所选择的设备．
假定方案选择及操作不相互影响，以成功操作累积次数的期望值为决策依据，分析哪种方案更好？
21．（12分）已知椭圆的离心率为，其左焦点为F1（﹣2，0）．
（1）求Γ的方程；
（2）如图，过Γ的上顶点P作动圆F1的切线分别交Γ于M，N两点，是否存在圆F1使得△PMN是以PN为斜边的直角三角形？若存在，求出圆F1的半径；若不存在，请说明理由．
22．（12分）已知函数．
（1）讨论f（x）的极值点个数；
（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，当时，证明：．
2023年福建省部分地市高考数学第一次质检试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）若集合A，B，U满足：A⫋B⫋U，则U＝（ ）
A．A∪∁UBB．B∪∁UAC．A∩∁UBD．B∩∁UA
【分析】由真子集的关系，作出韦恩图，数形结合能求出结果．
【解答】解：∵集合A，B，U满足：A⫋B⫋U，
如图，
∴U＝B∪∁UA．
故选：B．
【点评】本题考查集合的运算，考查补集、并集的定义等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
2．（5分）设z＝a+bi（a，b∈R）在复平面内对应的点为M，则“点M在第四象限”是“ab＜0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件D．充要条件
【分析】根据复数的几何意义解决即可．
【解答】解：由题知，z＝a+bi（a，b∈R）在复平面内对应的点为M（a，b），
因为点M在第四象限，即a＞0，b＜0，所以可得ab＜0，
若ab＜0，则a＜0，b＞0或a＞0，b＜0，所以点M在第二象限或第四象限，
所以“点M在第四象限”是“ab＜0”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题主要考查了复数的几何意义，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
3．（5分）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．c＜b＜aB．b＜a＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可求解．
【解答】解：因为1＝lg55＜lg58＜lg525＝2，所以1＜a＜2，
因为21.3＞21＝2，所以b＞2，
又因为0＜0.71.3＜0.70＝1，
所以0＜c＜1，
所以c＜a＜b．
故选：D．
【点评】本题主要考查指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．
4．（5分）函数f（x）＝asinx+bcs2x+csin4x（a，b，c∈R）的最小正周期不可能是（ ）
A．B．πC．D．2π
【分析】举例，分别求a＝b＝0，c≠0；a＝c＝0，b≠0；b＝c＝0，a≠0时函数的最小正周期，从而判断．
【解答】解：当a＝b＝0，c≠0时，
f（x）＝csin4x，
故函数f（x）的最小正周期为＝；
当a＝c＝0，b≠0时，
f（x）＝bcs2x，
故函数f（x）的最小正周期为＝π；
当b＝c＝0，a≠0时，
f（x）＝asinx，
故函数f（x）的最小正周期为2π；
故选：C．
【点评】本题考查了三角函数的周期性的判断，属于基础题．
5．（5分）过抛物线C：y2＝4x的焦点作直线l，l交C于M，N两点，若线段MN中点的纵坐标为2，则|MN|＝（ ）
A．10B．9C．8D．7
【分析】设直线l的方程为x＝my+1，联立抛物线方程得y2﹣4my﹣4＝0，利用韦达定理求出m值，再利用弦长公式，即可求解．
【解答】解：∵抛物线方程为y2＝4x，
∴抛物线的焦点坐标为（1，0），
∴设直线l的方程为x＝my+1，
联立，可得y2﹣4my﹣4＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
∴，∴m＝1，
则，
故选：C．
【点评】本题考查抛物线的几何性质，方程思想，设而不求法与韦达定理的应用，弦长公式的应用，属中档题．
6．（5分）函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω∈R）恒有f（x）≤f（2π），且f（x）在[﹣，]上单调递增，则ω的值为（ ）
A．﹣B．C．D．或
【分析】由题意，利用正弦函数的单调性和最值，求得ω的值．
【解答】解：∵函数f（x）＝2sin（ωx+）（ω∈R）恒有f（x）≤f（2π），
∴f（2π）＝2，即sin（2ωπ+）＝1，
∴2ωπ+＝2kπ+，k∈Z，∴ω＝k+，k∈Z①．
∵f（x）在[﹣，]上单调递增，
∴ω×（﹣）+≥﹣，且 +≤，则ω≤1 ②．
综合①②可得，ω＝，
故选：B．
【点评】本题主要考查正弦函数的单调性和最值，属于中档题．
7．（5分）在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，，且各顶点都在同一球面上，则该球体的表面积为（ ）
A．20πB．C．10πD．5π
【分析】根据题意画出图形，由图构造直角三角形，即可求得R2，求得球体的表面积．
【解答】解：如图所示的正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1，
，取上下两个底面的中心M，N，连接MN，A1M，AN，过点A1作底面的垂线与AN相交于点E，
因为四棱台ABCD﹣A1B1C1D1为正四棱台，所以外接球的球心一定在MN上，在MN上取一点O为球心，连接OA，OA1，则OA＝OA1＝R，
设ON＝h，
因为，
所以AN＝2，A1M＝1，，
在Rt△OAN中，OA2＝AN2+ON2，即R2＝22+h2，
在Rt△OA1M中，，即R2＝（1﹣h）2+12，解得R2＝5，
所以．
故选：A．
【点评】本题主要考查球的表面积，考查转化能力，属于中档题．
8．（5分）双曲线的下焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，若过A，B和点的圆的圆心在x轴上，则直线l的斜率为（ ）
A．B．C．±1D．
【分析】根据题意设出直线AB的方程，与曲线方程联立，结合韦达定理求出AB的中点坐标和弦长AB，然后利用垂径定理可得直线l的斜率．
【解答】解：由题意可知：F（0，﹣2），设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点为P，
过点A，B，M的圆的圆心坐标为G（t，0），
则，
由题意知：直线AB的斜率存在且不为0，
设直线AB的方程为：y＝kx﹣2，
联立方程组，化简整理可得，（k2﹣3）x2﹣4kx+1＝0，
则k2﹣3≠0，Δ＝16k2﹣4（k2﹣3）＝12k2+12＞0，
，，
故AB的中点P的坐标，则，
由圆的性质可知：圆心与弦中点连线的斜率垂直于弦所在的直线，
所以，化简整理可得：①，
则圆心G（t，0）到直线AB的距离，
，，即，
将①代入可得：，即，
整理可得：k4﹣5k2+6＝0，则（k2﹣2）（k2﹣3）＝0，
因为k2﹣3≠0，
所以k2﹣2＝0，解得．
故选：B．
【点评】本题主要考查直线与双曲线的综合，考查转化能力，属于难题．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）记正项等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列数列为等比数列的有（ ）
A．{an+1+an}B．{an+1an}C．{}D．{SnSn+1}
【分析】利用等比数列的定义和性质直接求解．
【解答】解：正项等比数列{an}的前n项和为Sn，
对于A，＝q，∴{an+1+an}是等比数列，故A正确；
对于B，＝q2，∴{an+1an}是等比数列，故B正确；
对于C，当公比q不为1时，＝＝，∴{}不是等比数列，故C错误；
对于D，当公比q不为1时，＝＝，∴{SnSn+1}不是等比数列，故D错误．
故选：AB．
【点评】本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
（多选）10．（5分）已知正实数x，y满足x+y＝1，则（ ）
A．x2+y的最小值为
B．的最小值为8
C．的最大值为
D．lg2x+lg4y没有最大值
【分析】A，D选项，可将y＝1﹣x代入，转化成函数求最值；C项先平方，再利用基本不等式求最值，B项，利用“1”的代换求最值．
【解答】解：正实数x，y满足x+y＝1，0＜x＜1，0＜y＜1，
则y＝1﹣x，∴x2+y＝x2﹣x+1＝（x﹣）2+，x＝时，x2+y的最小值为，A正确；
由于正实数 x，y满足x+y＝1，
+＝（x+y）（+）＝5++≥5+2＝9，
当且仅＝，即x＝，y＝时，等号成立，B错误；
C中，（+）2＝x+y+2≤2（x+y）＝2，
当且仅当x＝y＝时取等号，∴+的最大值为，C正确；
lg2x+lg4y＝lg4x2+lg4y＝lg4x2y，
x2y＝x2（1﹣x）＝﹣x3+x2，设m（x）＝﹣x3+x2，m'（x）＝﹣3x2+2x，
令m'＝0，得x＝0（舍），则m（x）在（0，）上单调递增，
在（，1）上单调递减，则x＝时，m（x）取得最大值为，
则lg2x+lg4y取得最大值1﹣lg427，D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查基本不等式的应用，考查函数求最值，属于中档题．
（多选）11．（5分）平面向量满足，对任意的实数t，恒成立，则（ ）
A．与的夹角为60°
B．为定值
C．的最小值为
D．在上的投影向量为
【分析】由题意可得：与的夹角θ＝60°，然后根据向量的运算逐项进行检验，即可求解．
【解答】解：设平面向量与的夹角为θ，
∵对任意的实数t，恒成立，
∴对任意的实数t，恒成立，又，
∴对任意的实数t，恒成立，
∴Δ＝4cs2θ﹣4csθ+1＝（2csθ﹣1）2≤0，∴，∴θ＝60°，∴A选项正确；
对B选项，∵与变量t有关，∴B选项错误；
对于C选项，∵＝，
∴当时，取最小值，∴C选项错误；
对D选项，∵在上的投影向量为：
＝＝，∴D选项正确，
故选：AD．
【点评】本题考查向量的数量积的性质与定义，恒成立问题，投影向量的定义，化归转化思想，函数思想，属中档题．
（多选）12．（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M为线段BD1上的动点（含端点），则（ ）
A．存在点M，使得CM⊥平面A1DB
B．存在点M，使得CM∥平面A1DB
C．不存在点M，使得直线C1M与平面A1DB所成的角为30°
D．存在点M，使得平面ACM与平面A1BM所成的锐角为45°
【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，依次分析选项是否正确，即可得答案．
【解答】解：根据题意，如图建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），B（0，1，0），A（1，1，0），D（1，0，0），C1（0，0，1），B1（0，1，1），A1（1，1，1），D1（1，0，1），
依次分析选项：
对于A，设＝λ＝λ（﹣1，1，﹣1）＝（﹣λ，λ，﹣λ）（0≤λ≤1），则＝+＝（1﹣λ，λ，1﹣λ），
＝（﹣1，1，0），＝（1，0，1），＝（1，1，﹣1），
则有，则平面A1DB的法向量为＝（1，1，﹣1），
而满足∥的λ无解，即不存在点M，使得CM⊥平面A1DB，A错误；
对于B，•＝1﹣λ+λ+1﹣λ＝0，解可得λ＝0，
即当M与点D1重合时，有CM∥平面A1DB，B正确；
对于C，假设存在点M符合题意，则＝+＝（1﹣λ，λ，﹣λ），
有|cs＜，＞|＝sin30°＝＝，解可得λ＝或，
在区间[0，1]上无解，即直线C1M与平面A1DB所成的角为30°，C正确；
对于D，当M与B重合时，平面ACM即底面ABCD，其法向量为＝（0，0，1），
有cs＜，＞＝＝﹣，此时平面ACM与平面A1BM所成的锐角为45°，D正确；
故选：BCD．
【点评】本题考查空间向量的应用，涉及正方体的几何结构，属于中档题．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）已知空间中三点，则点A到直线BC的距离为 ．
【分析】利用向量法，向量的夹角公式，计算即可求解．
【解答】解：∵，
∴，
∴＝，＝，
∴，
∴，
∴点A到直线BC的距离为：
．
故答案为：．
【点评】本题考查向量法求解点面距问题，属中档题．
14．（5分）以下为甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据：
甲组：14，30，37，a，41，52，53，55，58，80；
乙组：17，22，32，43，45，49，b，56．
若甲组数据的第40百分位数和乙组数据的平均数相等，则4a﹣b＝ 100 ．
【分析】根据百分位数和平均数的定义即可列出式子计算求解．
【解答】解：因为10×40%＝4，甲组数据的第40百分位数为第四个数和第五个数的平均数，
乙组数据的平均数为，
根据题意得，解得：4a+164＝b+264，
所以4a﹣b＝100．
故答案为：100．
【点评】本题主要考查百分位数和平均数的定义，属于基础题．
15．（5分）写出一个同时满足下列三个性质的函数f（x）＝ （答案不唯一） ．
①若xy＞0，则f（x+y）＝f（x）f（y）；②f（x）＝f（﹣x）；③f（x）在（0，+∞）上单调递减．
【分析】根据函数的三个性质，列出符合条件的函数即可．
【解答】解：比如，，故f（x+y）＝f（x）f（y），
又，也即f（x）＝f（﹣x）成立，
又f（x）在（0，+∞）上单调递减．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查抽象函数及其应用，函数的性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．
16．（5分）近年来，“剧本杀”门店遍地开花．放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A，B角色各1人，C角色2人．已知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要求选出的4人中至少有1名女生，并且A，B角色不可同时为女生．则店主共有 348 种选择方式．
【分析】根据题意，按照选出的女生人数进行分类，分别求出每一类的选择种数，然后相加即可求解．
【解答】解：由题意，根据选出的女生人数进行分类，
第一类：选出1名女生，先从3名女生中选1人，再从四名男生中选3人，然后安排角色，两名男生扮演A，B角色有种，剩余的1名男生和女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，女生先选有，剩下的一个角色从3名男生中选1人，则种，
所以共有种，
第二类：选出2名女生，先从3名女生中选2人，再从四名男生中选2人，然后安排角色，两名男生扮演A，B角色有种，剩余的2名女生扮演C角色，或A，B角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有，剩下的一个角色从2名男生中选1人，则种，
所以共有种，
第三类：选出3名女生，从先从3名女生中选3人，再从四名男生中选1人，然后安排角色，A，B角色1名男生1名女生，选出1名女生先选角色有，剩下的一个角色让男生扮演，余下的2名女生扮演角色C，
所以共有种，
综上所述，店主共有144+180+24＝348种选择方式，
故答案为：348．
【点评】本题主要考查了排列组合知识，属于中档题．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝（an﹣1）（an+3）（n∈N*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）将数列{an}和数列{2n}中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列{bn}，求{bn}的前50项和．
【分析】（1）当n＝1时，4a1＝4S1＝（a1﹣1）（a1+3），得a1＝3，由4Sn＝（an﹣1）（an+3），当n≥2时，有4Sn﹣1＝（an﹣1﹣1）（an﹣1+3），作差解决即可；
（2）a50＝101，又26＜101＜27，同时，所以b50＝a44，分组求和解决即可．
【解答】解：（1）依题意an＞0，
当n＝1时，4a1＝4S1＝（a1﹣1）（a1+3），解得a1＝3，
由，
当n≥2时，有4Sn﹣1＝（an﹣1﹣1）（an﹣1+3），
作差得：，
所以（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）＝0，
因为an+an﹣1＞0，
所以an﹣an﹣1＝2（n≥2），
所以数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，
所以an＝2n+1．
（2）由（1）得，a50＝101，
又26＜101＜27，同时，
所以b50＝a44，
所以＝，
所以{bn}的前50项和为2150．
【点评】本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
18．（12分）记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且．
（1）求；
（2）已知B＝3C，c＝1，求△ABC的面积．
【分析】（1）利用平面向量的数量积的定义结合余弦定理可得出b、c的等量关系即可；
（2）通过（1）结合已知条件，利用正弦定理求解三角形是直角三角形，然后求解三角形的面积．
【解答】（1）解：因为，
由平面向量数量积的定义可得3cbcsA+4cacsB＝bacsC，
即3bc⋅+4ac⋅＝ab⋅，整理可得b＝2c，
可得＝2．
（2）B＝3C，c＝1，所以b＝2，
由正弦定理可得：＝＝，
解得sinC＝，C＝30°，B＝90°，
△ABC的面积：＝．
【点评】本题主要考查了向量数量积的定义，余弦定理，正弦定理，三角形的面积公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题．
19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，E，F分别为BB1，CA1的中点，且EF⊥平面AA1C1C．
（1）求AB的长；
（2）若，求二面角C﹣A1E﹣A的余弦值．
【分析】（1）根据线面垂直性质得EF⊥A1C，结合垂直平分线性质和三角形全等得到AB＝BC，结合AB⊥BC即可得到AB的长；
（2）以点B1为原点，建立合适的空间直角坐标系，写出相关向量，求出平面CA1E和平面A1B1BA的一个法向量，利用空间向量的二面角求法即可．
【解答】解：（1）∵EF⊥面AA1CC1，又A1C⊂面AA1CC1，
∴EF⊥A1C，又F为A1C的中点，∴EA1＝EC，
在Rt△A1B1E、Rt△BEC中，BE＝EB1，
易证得△A1B1E≌△CBE，
∴A1B1＝BC．∵AB＝A1B1，∴AB＝BC，
又AB⊥BC，，∴AB＝1；
（2）以点B1为原点，建系如图，
则根据题意可得，
∴，
设平面CA1E的法向量为，
则，取，
又B1C1⊥面A1B1BA，
∴是平面A1B1BA的一个法向量．
设α为二面角C﹣A1E﹣A所成平面角，由图可知α为锐角，
∴，
∴二面角C﹣A1E﹣A的余弦值为．
【点评】本题考查几何体中线段长度的求解，向量法求解二面角问题，向量夹角公式的应用，化归转化思想，属中档题．
20．（12分）校园师生安全重于泰山，越来越多的学校纷纷引进各类急救设备．某学校引进M，N两种类型的自动体外除颤器（简称AED）若干，并组织全校师生学习AED的使用规则及方法．经过短期的强化培训，在单位时间内，选择M，N两种类型AED操作成功的概率分别为和，假设每次操作能否成功相互独立．
（1）现有某受训学生进行急救演练，假定他每次随机等可能选择M或N型AED进行操作，求他恰好在第二次操作成功的概率；
（2）为激发师生学习并正确操作AED的热情，学校选择一名教师代表进行连续两次设备操作展示，下面是两种方案：
方案甲：在第一次操作时，随机等可能的选择M或N型AED中的一种，若第一次对某类型AED操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若第一次对某类型AED操作不成功，则第二次使用另一类型AED进行操作．
方案乙：在第一次操作时，随机等可能的选择M或N型AED中的一种，无论第一次操作是否成功，第二次均使用第一次所选择的设备．
假定方案选择及操作不相互影响，以成功操作累积次数的期望值为决策依据，分析哪种方案更好？
【分析】（1）设“操作成功”为事件S，“选择设备M”为事件A，“选择设备N”为事件B，结合题意和独立事件的概率计算公式即可求解；
（2）设方案甲和方案乙成功操作累计次数分别为X，Y，分别求出每一个次数对应的概率，然后求出每种方案对应的均值，进行比较即可得出结论．
【解答】解：（1）设“操作成功”为事件S，“选择设备M”为事件A，“选择设备N”为事件B，
由题意，，
，，
所以恰在第二次操作才成功的概率为＝．
（2）设方案甲和方案乙成功操作累计次数分别为X，Y，则X，Y可能取值均为0，1，2，
＝；
＝；
P（X＝2）＝P（A）P（S|A）P（S|A）+P（B）P（S|B）P（S|B）＝；
所以．
方法一：＝；
＝，
P（Y＝2）＝P（A）P（S|A）P（S|A）+P（B）P（S|B）P（S|B）＝；
所以．
【点评】本题主要考查概率的求法，离散型随机变量的数学期望，考查运算求解能力，属于难题．
21．（12分）已知椭圆的离心率为，其左焦点为F1（﹣2，0）．
（1）求Γ的方程；
（2）如图，过Γ的上顶点P作动圆F1的切线分别交Γ于M，N两点，是否存在圆F1使得△PMN是以PN为斜边的直角三角形？若存在，求出圆F1的半径；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据待定系数法求椭圆标准方程即可；
（2）假设存在圆F1满足题意，当圆F1过原点O时，直线PN与y轴重合，直线PM的斜率为0，不合题意；不妨设为PM：y＝k1x+2（k1≠0），PN：y＝k2x+2（k2≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），圆F1的半径为r，得圆心到直线PN的距离为，得k1k2＝1，联立直线PM与椭圆方程得，进而得，由得，即可解决．
【解答】解：（1）由题意设焦距为2c，则c＝2，
由e＝＝，得，
则b2＝a2﹣c2＝4，Γ的方程为．
（2）不存在，
证明如下：假设存在圆F1满足题意，当圆F1过原点O时，直线PN与y轴重合，
直线PM的斜率为0，不合题意．
依题意不妨设为PM：y＝k1x+2（k1≠0），PN：y＝k2x+2（k2≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），圆F1的半径为r，
则圆心到直线PN的距离为，
即k1，k2是关于k的方程（r2﹣4）k2+8k+r2﹣4＝0的两异根，
此时k1k2＝1，
再联立直线PM与椭圆方程得，
所以，即，得，
所以，同理，
由，得，
由题意，PM⊥MN，即，此时＝，
所以，
因为k1≠0，所以方程无解，命题得证．
【点评】本题主要考查椭圆的性质与椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．
22．（12分）已知函数．
（1）讨论f（x）的极值点个数；
（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，且x1＜x2，当时，证明：．
【分析】（1）求函数f（x）的导函数，分析函数的单调性，结合极值的定义求其极值点的个数；
（2）由题意可得x1，x2是方程ex﹣ax＝0的两根，先利用作差法结合导函数证明x1+x2＞2，再证明，则f（x1）+2f（x2）可转化为，再利用导函数求解即可．
【解答】解：（1）已知，则f'（x）＝ex﹣ax，
令g（x）＝ex﹣ax，则g'（x）＝ex﹣a，
当x＝lna时，g'（x）＝0，
所以g（x）在（﹣∞，lna]上单调增减，在[lna，+∞）上单调递增，
则g（x）≥g（lna）＝a﹣alna＝a（1﹣lna），
①当0＜a≤e时，g（x）≥0恒成立，故f（x）在R上无极值点；
②当a＞e时，g（lna）＜0，显然，
则f（x）在上有一个极值点，
又g（2lna）＝a2﹣2alna＝a（a﹣2lna），
令，
故h（x）在（e，+∞）上单调递增，又h（e）＝e﹣2＞0，则g（2lna）＞0，则f（x）在（lna，2lna）上有一个极值点，
综上，当a≤e时，函数f（x）没有极值点；当a＞e时，函数f（x）有两个极值点．
（2）证明：由（1）中知f'（x）＝ex﹣ax，则x1，x2是方程ex﹣ax＝0的两根，
不妨令，则，
令F'（x）＝0解得x＝1，
所以F（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，大致图像如图所示，
由图像可知当时，0＜x1＜1，1＜x2＜2，
下先证x1+x2＞2（*）：
由，两边取对数得，
作差得x1﹣x2＝lnx1﹣lnx2，
（*）等价于证明，
令，
则，
故φ（t）在（0，1）上单调递增，从而φ（t）＜φ（1）＝0，即证得x1+x2＞2，
所以＝，
再证明，
令S（x）＝（2﹣x）ex，x∈（1，2），S'（x）＝（1﹣x）ex＜0，
故S（x）在（1，2）上单调递减，则S（x2）＜S（2﹣x1），
所以，
令，则，
则M（x）在（0，1）上单调递增，
故，
即证得．
【点评】本题主要考查了判断函数极值点的个数问题，既是判断其导数有无变号零点的问题，解答时要注意判断导数的正负时，要进行分类讨论，并能结合零点存在定理，判断导函数的零点个数，从而判断函数的极值点问题；本题第2问的关键点在于借助x1，x2是方程ex﹣ax＝0的两根得到x1+x2＞2，将转化为，再利用导函数求解即可．
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