中职数学高教版（2021）拓展模块一 上册第2章 平面向量2.2 向量的线性运算2.21 向量的加法运算图文课件ppt

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我们知道,数可以进行加法和减法运算.那么,向量之间是否也可以进行加法和减法运算呢？人们通过对位移等向量的研究发现,向量可以进行加法和减法及数乘等运算.
向量的加法运算、减法运算和数乘运算统称向量的线性运算.
求两个向量的和的运算称为向量的加法.
上述把两个非零向量表示成有向线段并借助于三角形作出其和向量的方法,称为向量加法的三角形法则.
规定： a+b=0+a=a； a+(−a)=0.
由上面的分析可知,表示各个向量的有向线段首尾相接,由起点指向终点的有向线段表示的向量就是这些向量的和向量,这是向量加法的几何意义,如右图所示 .
例1 如图所示,在⏥ABCD中,用向量 表示向量
可以验证，向量的加法满足以下运算律： a+b=b+a；(交换律) a+(b+c)= a+(b+c) .(结合律)
例2 已知向量a、b,如图(1)所示,试分别用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作向量a+b.
例3 一艘渡轮要从南岸到北岸,它在静水中速度的大小为12km/h,方向正北. 若水流速度的大小为 12km/h,方向正东,求渡轮实际航行的速度.
1. 如图所示,分别求作下列情形下的向量a+b.
2. 如图所示,已知向量a、b、c,则
4. 某同学从A地向东走2km到达B地,又向北走2km到达C地.试求该同学的位移 的大小和方向.
我们知道,实数x减去实数y相当于加上y的相反数,即 x−y= x +(−y),向量的减法如何定义呢？
向量a−b称为向量a与b的差.求两个向量差的运算称为向量的减法，也称a−b为差向量．
试说出向量减法的几何意义.
例1 如图(1)所示,已知向量a 、b ,求作向量a−b.
1.已知向量a、b,如图所示,分别画出向量a−b.
在2004年奥运会上,刘翔以12.91s的成绩获得男子 110m跨栏比赛冠军,成为第一个获得径赛直道项目冠军的亚洲人.男子110m跨栏,从第1栏到第9栏,每相邻两栏之间间隔9.14m.记第1栏到第2栏的位移为s1,第1栏到第3栏的位移为s2,……,从第1栏到第9栏的位移为s8,如图所示.试问,位移s1,s2,…,s8,具有怎样的关系？
一般地，实数λ与向量a的乘积仍是一个向量,记作λa. λa的模为|λa|= |λ||a|. 当λ>0时, λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时, λa的方向与a的方向相反； 当λ=0时,因为 λa=0,所以其方向是任意的.
求一个数λ与向量a的乘法运算称为数与向量的乘法运算,简称数乘运算.
上述定义表明,当 λ>0时,向量λa可以看作由向量a伸长或缩短λ倍得到；当 λ<0时,向量 λa可以看作由向量−a 伸长或缩短|λ|倍得到. 这是向量数乘运算的几何意义．
容易验证,对于任意向量a、b及任意实数 λ、μ,向量的数乘运算满足以下法则:
可以看出,向量λa与向量a平行.反之,若有一个向量b与向量a(a≠0)平行,则向量b与a的关系如下：
因此,当a≠0时,a∥b ⇔存在实数λ,使得b＝λa．
一般地，若向量c=λa+μb(λ、μ均为实数),则称向量c可以由向量a、b线性表示.