2023-2024学年新疆阿克苏地区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年新疆阿克苏地区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.汉字是世界上最美的文字，形美如画、有的汉字是轴对称图形，下面四个汉字中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.KN95型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮助人们预防传染病.“KN95”表示此类型的口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003m的非油性颗粒.其中，0.0000003用科学记数法表示为( )
A. 3×10−6B. 3×10−7C. 0.3×10−6D. 0.3×10−7
3.下列计算正确的是( )
A. (a2)3=a6B. a2⋅a3=a6C. (2a)3=2a3D. a10÷a2=a5
4.下列长度的三条线段，不能构成三角形的是( )
A. 5，10，7B. 3，5，2C. 16，21，9D. 10，16，9
5.如图，AC与BD相交于点O，∠D=∠C.添加下列哪个条件后，仍不能使△ADO≌△BCO的是( )
A. AD=BC
B. AC=BD
C. OD=OC
D. ∠ABD=∠BAC
6.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB=( )
A. 40°B. 30°C. 20°D. 10°
7.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是( )
A. 3(x−1)=6210xB. 6210x−1=3C. 3x−1=6210xD. 6210x=3
8.如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼，形成新的图形，给出下列3种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是( )
A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.使式子3x−2有意义的x取值范围是 ．
10.计算：(3a2+2a)÷a= ．
11.分解因式：2a3−32a= ______ ．
12.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，BD⊥AC，垂足为D.若AB=6，则BD的长为 ．
13.如图，在x、y轴上分别截取OA、OB，使OA=OB，再分别以点A、B为圆心，以大于12AB的长度为半径画弧，两弧交于点C.若C的坐标为(3a,a+10)，则a=______．
14.如图，在Rt△ABC中，AC⊥BC，若AC=5，BC=12，AB=13，将Rt△ABC折叠，使得点C恰好落在AB边上的点E处，折痕为AD，点P为AD上一动点，则△PEB的周长最小值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
15.解分式方程：xx−2−1=1x2−4．
四、解答题：本题共7小题，共45分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：
(1)ab(4b2−2ab)÷2ab；
(2)(2a+3b)(2a−3b)−(a−3b)2．
17.(本小题6分)
先化简，再求值：(1−x+1x2−2x+1)÷x−3x−1，其中x=12．
18.(本小题6分)
如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中，点A，B，C的坐标分别为A(−2,1)，B(−4,5)，C(−5,2)．
(1)作△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
(2)画出将△A1B1C1向下平移5个单位长度得到的△A2B2C2，并求△A2B2C2的面积．
19.(本小题6分)
已知：如图，△ABC和△DBE均为等腰直角三角形.求证：AD=CE．
20.(本小题6分)
如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，垂足为D，与AC交于点E，连接BE．
(1)若∠BAC=42°，求∠EBC的度数；
(2)若AB=10，△BEC的周长为16，求△ABC的周长．
21.(本小题7分)
列方程解应用题：
中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因．为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍，求每套《水浒传》连环画的价格．
22.(本小题6分)
观察下列各式：
(x−1)(x+1)=x2−1；
(x−1)(x2+x+1)=x3−1；
(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1；
…
(1)(x−1)(x4+x3+x2+x+1)=______；
(2)根据规律可得：(x−1)(xn−1+…+x+1)=______(其中n为正整数)；
(3)计算：(3−1)(350+349+348+…+32+3+1)；
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|21，故C不符合题意；
D、10+9>16，故C不符合题意．
故选：B．
在运用三角形三边关系，判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断．
本题考查三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系定理．
5.【答案】B
【解析】解：添加AD=CB，根据AAS判定△ADO≌△BCO，
添加OD=OC，根据ASA判定△ADO≌△BCO，
添加∠ABD=∠CAB得OA=OB，可根据AAS判定△ADO≌△BCO，
故选B．
三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有两组对应角相等．在△ADO和△BCO中，已知了∠AOD=∠AOC，∠D=∠C，因此只需添加一组对应边相等即可判定两三角形全等．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
6.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查了直角三角形的性质，三角形的内角和定理，邻补角的定义，以及折叠的性质，熟练掌握性质是解本题的关键．在直角三角形ABC中，由∠ACB与∠A的度数，利用三角形的内角和定理求出∠B的度数，再由折叠的性质得到∠CA′D=∠A，再由∠CA′D+∠BA′D=180°，∠B+∠A′DB+∠BA′D=180°，得出∠CA′D=∠B+∠A′DB，即可求出∠A′DB的度数．
【解答】
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=55°，
所以∠B=180°−90°−55°=35°，
由折叠可得：∠CA′D=∠A=55°，
又因为∠CA′D+∠BA′D=180°，∠B+∠A′DB+∠BA′D=180°，
所以∠CA′D=∠B+∠A′DB，
则∠A′DB=55°−35°=20°．
故选C．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
根据单价=总价÷数量，结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】
解：依题意，得：3(x−1)=6210x．
故选：A．
8.【答案】D
【解析】分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，继而可得出验证公式．
解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积=a2−b2，右边图形中阴影部分的面积=(a+b)(a−b)，故可得：a2−b2=(a+b)(a−b)，可以验证平方差公式；
在图②中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积=a2−b2，右边阴影部分面积=12(2b+2a)(a−b)=(a+b)(a−b)，可得：a2−b2=(a+b)(a−b)，可以验证平方差公式；
在图③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积=a2−b2，右边阴影部分面积=(a+b)(a−b)，可得：a2−b2=(a+b)(a−b)，可以验证平方差公式．
故选：D．
本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．本题主要利用面积公式证明平方差公式．
9.【答案】x≠2
【解析】解：要使式子3x−2有意义，得
x−2≠0．
解得x≠2，
故答案为：x≠2．
根据分式的分母不等于零分式有意义，可得答案．
本题考查了分式有意义的条件，利用了分式的分母为零分式无意义．
10.【答案】3a+2
【解析】【分析】
此题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
【解答】
解：(3a2+2a)÷a
=3a2÷a+2a÷a
=3a+2．
故答案为：3a+2．
11.【答案】2a(a+4)(a−4)
【解析】解：2a3−32a
=2a(a2−16)
=2a(a+4)(a−4)．
故答案为：2a(a+4)(a−4)．
先提取公因式2a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12.【答案】3
【解析】解：在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，
∴∠BAC=90°−∠ACB=90°−60°=30°，
即∠BAD=30°，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∵AB=6，
∴BD=12AB=12×6=3，
故答案为：3．
利用含30°的直角三角形的性质解答即可．
此题考查含30°的直角三角形的性质，关键是根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
13.【答案】5
【解析】【分析】
本题考查了角平分线的作法和角平分线的性质，结合直角坐标系象限符号，求解坐标，比较容易求解．根据题目中尺规作图可知，点C在第一象限的角平分线上，所以C点的横坐标和纵坐标相等，即可以求出a的值．
【解答】
解：由题可知，交点C是∠AOB角平分线上的一点，即点C在第一象限的角平分线上，
所以点C的横坐标和纵坐标相等，即3a=a+10，
得a=5，
故答案为：5．
14.【答案】20
【解析】解：连接CP，
∵沿AD折叠C和E重合，
∴∠CAD=∠EAD，AC=AE=5，
∴BE=AB−AE=13−5=8，
在△CAP和△EAP中，
AC=AE∠CAP=∠EAPAP=AP,
∴△CAP≌△EAP(SAS)，
∴CP=EP，
∴PE+PB=CP+PB⩾CB，
∴当P和D重合时，CP+PB的值最小，即PE+PB的值最小，此时△BPE的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE=12+8=20，
故答案为：20．
连接CP，通过证明△CAP≌△EAP(SAS)得到CP=EP，再有两点之间线段最短可得到△PEB最小周长为BC+BE。
15.【答案】解：去分母得：x(x+2)−x2+4=1，
解得：x=−1.5，
经检验x=−1.5是分式方程的解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
16.【答案】解：(1)原式=(4b2−2ab)÷2
=2b2−ab；
(2)原式=4a2−9b2−(a2−6ab+9b2)
=4a2−9b2−a2+6ab−9b2
=3a2−18b2+6ab．
【解析】(1)先计算除法，再去括号；
(2)首先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并同类项求解．
本题考查了完全平方公式和平方差公式，理解公式的结构是本题的关键．
17.【答案】解：原式=x2−2x+1−x−1x2−2x+1⋅x−1x−3
=x(x−3)(x−1)2⋅x−1x−3
=xx−1，
当x=12时，原式=1212−1=−1．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
点C1的坐标为(5,2)．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．

△A2B2C2的面积为12×(1+3)×4−12×1×3−12×3×1=8−32−32=5．
【解析】(1)根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
(2)根据平移的性质作图即可；利用割补法求三角形的面积即可．
本题考查作图−轴对称变换、平移变换，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质是解答本题的关键．
19.【答案】证明：∵△ABC和△DBE是等腰直角三角形，
∴AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，
∴∠ABC−∠DBC=∠DBE−∠DBC，
即∠ABD=CBE，
在△ABD和△CBE中，
AB=BC ∠ABD=∠CBE BD=BE ，
∴△ABD≌△CBE(SAS)，
∴AD=CE．
【解析】由等腰直角三角形的性质得出AB=BC，BD=BE，∠ABC=∠DBE=90°，得出∠ABD=CBE，证出△ABD≌△CBE(SAS)，得出AD=CE
本题考查了等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
20.【答案】解：(1)∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵DE⊥AB AD=DB，
∴AE=EB，
∴∠A=∠EBA，
∵∠A=42°，
∴∠EBA=42°，∠C=∠ABC=69°，
∴∠EBC=∠ABC−∠ABE=27°；
(2)由(1)得BE=AE AB=AC，
∴AC=AE+EC=BE+EC，
∵△BEC的周长=BE+EC+BC=16，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=AB+BE+EC+BC=10+16=26．
【解析】(1)先根据等边对等角，求∠ABC=∠C=69°，由线段垂直平分线的性质得：AE=BE，再由等边对等角得：∠EBA=∠A=42°，所以∠EBC=∠ABC−∠ABE=27°；
(2)根据△BEC的周长为16，得BE+EC+BC=16，所以可以表示△ABC的周长．
此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意运用线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
21.【答案】解：设每套《水浒传》连环画的价格为x元，则每套《三国演义》连环画的价格为(x+60)元．
由题意，得4800x=2×3600x+60
解得x=120
经检验，x=120是原分式方程的根，且符合题意
答：每套《水浒传》连环画的价格为120元．
【解析】设每套《水浒传》连环画的价格是x元．则《三国演义》连环画的价格是(x+60)元．根据“用4800元购买《水浒传》连环画的套数是用3600元购买《三国演义》连环画套数的2倍”列出方程并解答，注意要验根．
本题考查分式方程的应用，利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．
22.【答案】(1)x5−1；(2)xn−1；
(3)因为由(2)知，(x−1)(xn−1+…+x+1)=xn−1，
所以(3−1)(350+349+348+…+32+3+1)=351−1
【解析】解：(1)根据题意，得，(x−1)(x4+x3+x2+x+1)=x5−1；
故答案为：x5−1；
(2)(x−1)(xn−1+…+x+1)=xn−1(其中n为正整数)，
故答案为：xn−1；
(3)因为由(2)知，(x−1)(xn−1+…+x+1)=xn−1，
所以(3−1)(350+349+348+…+32+3+1)=351−1．
(1)观察一系列等式得到一般性规律，即可确定出所求式子的结果；
(2)根据规律，即可确定出所求式子的结果；
(3)利用得出的规律计算即可得到结果．