北京市丰台区2023-2024高三上学期期末数学试卷及答案

这是一份北京市丰台区2023-2024高三上学期期末数学试卷及答案，共14页。试卷主要包含了01， 已知集合，，，则， 若，则， 在的展开式中，的系数为，4B，2D等内容，欢迎下载使用。
2024.01
本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第一部分 选择题（共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合，，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 若，则（ ）
A. B. 1
C. D. 2
3. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. B. 120
C. D. 60
4. 在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质．竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了．竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等．现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积（单位：L）依次成等差数列，若，，则（ ）
A. 5.4B. 6.3
C. 7.2D. 13.5
5. 已知直线与圆相切，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
7. 在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板折起，使得二面角为直二面角，得图2所示四面体．小明对四面体中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①平面；②平面；③平面平面；④平面平面．其中判断正确的个数是（ ）
A. 1B. 2
C. 3D. 4
8. 已知是两个不共线的单位向量，向量（）．“，且”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 在八张亚运会纪念卡中，四张印有吉祥物宸宸，另外四张印有莲莲．现将这八张纪念卡平均分配给4个人，则不同的分配方案种数为（ ）
A. 18B. 19
C. 31D. 37
10. 已知函数，当时，记函数的最大值为，则的最小值为（ ）
A. 3.5B. 4
C. 4.5D. 5
第二部分 非选择题（共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 双曲线的渐近线方程________．
12. 已知，则___．
13. 矩形中，，，且分为的中点，则___．
14. 如图，在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆交于点，过点作轴的垂线，垂足为．若记点到直线的距离为，则的极大值点为___，最大值为___．
15. 在平面直角坐标系内，动点与定点的距离和到定直线的距离的和为4．记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论：
①曲线过原点；
②曲线是轴对称图形，也是中心对称图形；
③曲线恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）；
④曲线围成区域的面积大于．
则所有正确结论的序号是___．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. △中，，．
（1）求的大小；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上中线的长度．
条件①：；条件②：△的周长为；条件③：△的面积为．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17. 如图，四棱锥的底面为正方形，底面，，点为中点．
（1）求证：// 平面；
（2）点为棱上一点，直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
18. 2023年冬，甲型流感病毒来势汹汹．某科研小组经过研究发现，患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异．在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值，将该指标小于人判定为阳性，大于或等于的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，用频率估计概率．
（1）当临界值时，求漏诊率和误诊率；
（2）从指标在区间样本中随机抽取2人，记随机变量为未患病者的人数，求的分布列和数学期望；
（3）在该地患病者占全部人口5%的情况下，记为该地诊断结果不符合真实情况的概率．当时，直接写出使得取最小值时的的值．
19. 已知函数．
（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求实数的值；
（2）求函数的单调区间．
20 已知椭圆．
（1）求椭圆的离心率和焦点坐标；
（2）设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值．
21. 对于数列，如果存在正整数，使得对任意，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期．若周期数列，满足：存在正整数，对每一个，都有，我们称数列和为“同根数列”．
（1）判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；
①；②
（2）若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：；
（3）若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值．
高三数学答案
2024.01
第一部分 选择题（共40分）
一、选择题
1. A
2. B
3. D
4. B
5. B
6. C
7. C
8. A
9. B
10. C
第二部分 非选择题（共110分）
二、填空题
11.
12. 0
13.
14.①或 ②
15.①③④
三、解答题
16. （1）
（2）选择条件②或③，
17. （1）因为正方形中，
因为平面，平面
所以平面
（2）因为底面，正方形中
分别以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图
不妨设
因为，点为的中点，点为棱上一点
则，，，，，
所以，，
设为平面的法向量，则，
所以，令，得，所以
设直线与平面所成角为
则
解得，因为，所以
所以
18. （1）由频率分布直方图可知，
（2），，总人数为5人
可能取值为0，1，2．
，，
随机变量的分布列为
随机变量的期望为
（3）由题，
时，令
所以，关于的一次函数系数为，故单调递增，
则即时取最小值
19. （1）由题可得
因为在点处的切线平行于轴，所以
即，解得，经检验符合题意
（2）因为
令，得或
当时，随的变化，，的变化情况如下表所示：
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增
当时，因为，当且仅当时，
所以在区间上单调递增
当时，随的变化，，的变化情况如下表所示
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增
综上所述
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为
20. （1）由题意得，解得
所以椭圆E的离心率为，焦点坐标分别为，
（2）由消去y并整理得： ①
其判别式得，化简为
此时方程①可化为，解得， (由条件知异号)
记，则，所以，即点
所以OP的斜率
法一：因为，所以可设直线的方程为
由消去y并整理得：
当其判别式大于零时，有两个不相等的实根
设，则
因为C是A关于原点O的对称点，所以点C的坐标为
所以直线BC的斜率
所以
法二：记
因为点C与点A关于原点对称，所以
因为，所以直线AB的斜率为，所以
因为点在椭圆上，所以，
两式相减得：
所以，即，所以
21. （1）、均是周期数列，理由如下：
因为
所以数列是周期数列，其周期为1（或任意正整数）
因
所以
所以数列是周期数列，其周期为6（或6的正整数倍）
（2）假设不成立，则有，即对于，都有
因为，，所以
又因为，，所以
所以
所以，与的最小值是3矛盾
所以
（3）当是奇数时，首先证明不存在数列满足条件
假设，即对于，都有
因为
所以
即，及
又时，
所以，与的最小值是矛盾
其次证明存在数列满足条件
取
及，
对于，都有
当是偶数时，首先证明时不存在数列满足条件
假设，即对于，都有
因为
所以
即，及
又时，
所以，与的最小值是矛盾
其次证明时存在数列满足条件
取
及，
对于，都有
综上，当是奇数时，的最大值为
当是偶数时，的最大值为0
1
2
单调递增
单调递减
单调递增
单调递增
单调递减
单调递增