北京市石景山区2024届高三上学期期末数学试卷及答案

这是一份北京市石景山区2024届高三上学期期末数学试卷及答案，共13页。
本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，则（ ）
A. B. C. D.
3. 展开式中含的项的系数为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知为等差数列的前项和，若，则（ ）
A. B. C. D.
6. 直线与圆有两个不同交点的一个充分不必要条件是（ ）
A. B.
C. D.
7 设函数，则（ ）
A. B. C. D.
8. 在中，，则（ ）
A. B. C. D.
9. 设函数，则是（ ）
A. 偶函数，且在区间单调递增
B. 奇函数，且区间单调递减
C. 偶函数，且在区间单调递增
D. 奇函数，且在区间单调递减
10. 在正方体中，点在正方形内（不含边界），则在正方形内（不含边界）一定存在一点，使得（ ）

A. B.
C. 平面D. 平面平面
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域为___________．
12. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为___________．
13. 某学校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行数学知识测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并整理得到如右频率分布直方图，则图中的值为_______，若全校学生参加同样的测试，估计全校学生的平均成绩为__________（每组成绩用中间值代替）.
14. 已知命题：若，则．能说明为假命题的一组的值为______ ，_______．
15. 在数列中，，给出下列四个结论：
①若，则一定是递减数列；
②若，则一定是递增数列；
③若，，则对任意，都存在，使得；
④ 若，，且对任意，都有，则的最大值是．
其中所有正确结论的序号是___________．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，．
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值．
17. 设函数．
（1）若，求的值；
（2）已知在区间上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值．
条件①：函数的图象经过点；
条件②：时，的值域是；
条件③：是的一条对称轴．
18. 某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一球得2分，没有投进得0分；在区每投进一球得3分，没有投进得0分.学生甲在，两区的投篮练习情况统计如下表：
假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立．
（1）试分别估计甲在区，区投篮命中概率；
（2）若甲在区投个球，在区投个球，求甲在区投篮得分高于在区投篮得分概率；
（3）若甲在区，区一共投篮次，投篮得分的期望值不低于分，直接写出甲选择在区投篮的最多次数．（结论不要求证明）
19. 已知椭圆，离心率为，短轴长为.
（1）求椭圆方程；
（2）过坐标原点且不与坐标轴重合的直线交椭圆于，两点，过点作轴的垂线，垂足为，直线与椭圆的另一个交点为．求证：为直角三角形．
20. 已知函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求证：当时，；
（3）设实数使得对恒成立，求的取值范围．
21. 对于项数为的数列，若数列满足，，其中，表示数集中最大的数，则称数列是的数列.
（1）若各项均为正整数的数列的数列是，写出所有的数列；
（2）证明：若数列中存在使得，则存在使得成立；
（3）数列是的数列，数列是的数列，定义其中．求证：为单调递增数列的充要条件是为单调递增数列．
石景山区数学答案
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题
1. A
2. B
3. B
4. B
5. C
6. A
7. C
8. B
9. D
10. A
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题
11.
12.
13.① ②
14.①（答案不唯一） ②（答案不唯一）
15.②③④
三、解答题
16. （1）证明：取中点，连结
因为，所以
因为，所以
因为平面
所以平面
因为平面
所以
（2）由（Ⅰ）知，平面，因为平面平面，平面平面
所以平面，因为平面，所以
，，如图建立空间直角坐标系
由已知，易得
，
在中，
所以得，，
所以
设平面的法向量为，则
即
令，则，，于
又因为平面法向量为
所以
由题知二面角为锐角，所以其余弦值为
17. （1）因为，所以
因为，所以
（2）选①
∵，∴函数的图象不可能经过点，不合题意
选②
因为在区间上单调递减，且当时，的值域是
所以，
此时，由三角函数的性质可得，故
因为，所以
选③
因为在区间上单调递减
所以，即，解得
因为是的一条对称轴，所以
所以，即
解得
由，可知
18. （1）甲在区投篮次，投进次，所以估计甲在区投篮进球的概率为
甲在区投篮次，投进次，所以估计甲在区投篮进球的概率为
（2）甲在区进球的概率估计为，在区投篮进球的概率估计为
设事件为“甲在区投篮得分高于在区投篮得分”
甲在区投个球，得分可能是，在区投个球，得分可能是
则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的情况有：
区分区分，概率估计为
区分区分，概率估计为
区分区分，概率估计为
区分区分，概率估计为
区分区分，概率估计为
则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率估计为
（3）甲在区投篮一次得分的期望估计是
甲在区投篮一次得分的期望估计是
设甲在区投篮次，则甲在区投篮次
则总的期望值估计为，解得
则甲选择在区投篮的次数最多是次
19. （1）由题意知，解得
所以椭圆的方程为
（2）设直线的方程为，交椭圆于，
由题意知，所以
直线的方程为
联立 ，消去得
所以 ，设的中点为
则
所以
因为在中，，所以
所以，即
所以为直角三角形.
20. （1），故
又，故有
即，故切线方程为
（2）令
则
由，故，故在上单调递减
所以
即当时，
（3）当时，
由（2）知，当时，
所以当时，对恒成立
当时，令
当时，因为，所以，在上单调递增
，不合题意
当时，得
当时，，时，
所以在上单调递增，则时，，不合题意
综上，的取值范围是
21. （1）各项均为正整数的数列的数列是，写出所有的数列为：
，，，
（2）
假设不存在使得成立
根据数列定义可知，
所以，则
即
所以，所以，这与已知矛盾
故若此数列中存在使得
则存在使得成立
（3）
必要性：
，，
则
因为为单调递增数列
所以对所有的，或
否则
因此，所有的同号或为，即
所以为单调递增数列
充分性：
因为为单调递增数列，，且
所以只能，所以同号或为
所以对所有的，或
所以
所以，即为单调递增数列甲
区
区
投篮次数
得分