江苏省南通市2023-2024高三第一次调研测试数学试卷+答案

这是一份江苏省南通市2023-2024高三第一次调研测试数学试卷+答案，共21页。试卷主要包含了已知直线y＝x－1与抛物线C等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效。
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝
A．{－2，－1} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3}
2．已知z＋eq \\ac(\S\UP7(―),z)＝8，z－eq \\ac(\S\UP7(―),z)＝6i，则zeq \\ac(\S\UP7(―),z)＝
A．25 B．16 C．9 D．5
3．若向量a＝(λ，4)，b＝(2，μ)，则“λμ＝8”是“a∥b”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设{an}为等比数列，a2＝2a4＋3a6，则eq \f(a\s\d(4)－a\s\d(7),a\s\d(2)－a\s\d(5))＝
A．eq \f(1,9) B．eq \f(1,3) C．3 D．9
5．从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能
A．每个面都是等边三角形
B．每个面都是直角三角形
C．有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形
D．有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形
6．已知直线y＝x－1与抛物线C：x2＝2py(p＞0)相切于M点，则M到C的焦点距离为
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为(0，＋∞)，若xf′(x)＜2f(x)，则
A．4e2f(2)＜16f(e)＜e2f(4) B．e2f(4)＜4e2f(2)＜16f(e)
C．e2f(4)＜16f(e)＜4e2f(2) D．16f(e)＜e2f(4)＜4e2f(2)
8．某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10cm和20cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最小值为
A．20eq \r(,2)cm B．30eq \r(,5)cm C．40eq \r(,5)cm D．60eq \r(,2)cm
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次成绩(单位：环)，得到如下数据：
则
A．甲成绩的样本极差小于乙成绩的样本极差
B．甲成绩的样本平均值等于乙成绩的样本平均值
C．甲成绩的样本中位数等于乙成绩的样本中位数
D．甲成绩的样本标准差小于乙成绩的样本标准差
10．设函数f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，f(1＋x)＝f(1－x)，f(3)＝1，则
A．f(－1)＝1 B．f(x)＝f(4＋x)
C．f(x)＝f(4－x) D． eq \(∑,\s\up6(18),\s\d6(k＝1))f(k)＝－1
11．已知点M在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，点P(0，1)，Q(1，2)，则
A．存在点M，使得|MP|＝1 B．∠MQP≤eq \f(π,4)
C．存在点M，使得|MI|＝|MQ| D．|MQ|＝eq \r(,2)|MP|
12．我国古代数学家祖暅提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”，即两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．利用该原理可以证明：一个底面半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等．现有一个半径为R的球，被一个距离球心为d(d＞0)的平面截成两部分，记两部分的体积分别为V1，V2(V1＜V2)，则
A．V1＝eq \f(π,3)(R－d)2(2R＋d) B．V2＝eq \f(π,9)(R＋2d)(2R－d)(3R＋d)
C．当d＝eq \f(R,2)时，eq \f(V\s\d(1),V\s\d(2))＝eq \f(5,27) D．当d≤eq \f(R,3)时，eq \f(V\s\d(1),V\s\d(2))≥eq \f(7,20)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数f(x)＝EQ \B\lc\{(\a\al(lg\S\DO(2)(x＋2)，x≥－1，,2\S(x)－1， x＜－1，))则f(lg2eq \f(1,3))＝ ．
14．已知(x－1)(x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝ ，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝ ．(注：第一空2分，第二空3分)
15．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋eq \f(π,4))(ω＞0)，若f(x1)＝f(x2)＝－eq \r(,3)，|x1－x2|的最小值为eq \f(π,2)，则f(eq \f(π,8))＝ ．
16．已知椭圆E：EQ \F(x\S(2),a\S(2))＋\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，设P，Q是E上位于x轴上方的两点，且直线PF1与QF2平行．若4|PF1|＝|QF1|，2|PF2|＝5|QF2|，则E的离心率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(10分)
已知AB是圆锥PO的底面直径，C是底面圆周上的一点，PC＝AB＝2，AC＝eq \r(,2)，平面PAC和平面PBC将圆锥截去部分后的几何体如图所示．
(1)证明：OC⊥平面PAB；
(2)求二面角A－PB－C的余弦值．
18．(12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知tanB＝eq \f(3,5)，tanC＝eq \f(1,4)，b＝6．
(1)求A和c；
(2)若点D在AC边上，且BD2＝AD2＋CD2，求AD．
19．(12分)
记正项数列{an}的前n项和为Sn，满足1，EQ \R(,S\S\DO(n))，an成等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设集合A＝{k|ak＝eq \f(a\s\d(n＋1)a\s\d(n＋3),a\s\d(n))，k∈N*，n∈N*}，求集合A．
20．(12分)
已知双曲线C：EQ \F(x\S(2),a\S(2))－\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，离心率为eq \f(\r(,5),2)．过点(4，0)的直线l与C的右支交于M，N两点，设直线AM，BM，BN的斜率分别为k1，k2，k3．
(1)若k2＝eq \f(\r(,3),2)，求k3；
(2)证明：k2(k1＋k3)为定值．
21．(12分)
某商场在元旦期间举行摸球中奖活动，规则如下：一个箱中有大小和质地相同的3个红球和5个白球，每一位参与顾客从箱中随机摸出3个球，若摸出的3个球中至少有2个红球，则该顾客中奖．
(1)若有三位顾客依次参加活动，求仅有最后一位顾客中奖的概率；
(2)现有编号为1~n的n位顾客按编号顺序依次参加活动，记X是这n位顾客中第一个中奖者的编号，若无人中奖，则记X＝0．证明：E(X)＜eq \f(7,2)．
22．(12分)
已知函数f(x)＝lnx－eq \f(a,x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若a＞0，记x0为f(x)的零点，m＝eq \r(,2a＋1)，n＝a＋1．
①证明：m＜x0＜n；
②探究x0与eq \f(m＋n,2)的大小关系．
南通市2024届高三第一次调研测试
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效。
3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝
A．{－2，－1} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{0，1，2，3}
2．已知z＋eq \\ac(\S\UP7(―),z)＝8，z－eq \\ac(\S\UP7(―),z)＝6i，则zeq \\ac(\S\UP7(―),z)＝
A．25 B．16 C．9 D．5
3．若向量a＝(λ，4)，b＝(2，μ)，则“λμ＝8”是“a∥b”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设{an}为等比数列，a2＝2a4＋3a6，则eq \f(a\s\d(4)－a\s\d(7),a\s\d(2)－a\s\d(5))＝
A．eq \f(1,9) B．eq \f(1,3) C．3 D．9
5．从正方体的八个顶点中选择四个顶点构成空间四面体，则该四面体不可能
A．每个面都是等边三角形
B．每个面都是直角三角形
C．有一个面是等边三角形，另外三个面都是直角三角形
D．有两个面是等边三角形，另外两个面是直角三角形
6．已知直线y＝x－1与抛物线C：x2＝2py(p＞0)相切于M点，则M到C的焦点距离为
A．1 B．2 C．3 D．4
直线与抛物线相切，则4p2－8p＝0，
7．已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为(0，＋∞)，若xf′(x)＜2f(x)，则
A．4e2f(2)＜16f(e)＜e2f(4) B．e2f(4)＜4e2f(2)＜16f(e)
C．e2f(4)＜16f(e)＜4e2f(2) D．16f(e)＜e2f(4)＜4e2f(2)
8．某中学开展劳动实习，学生制作一个矩形框架的工艺品．要求将一个边长分别为10cm和20cm的矩形零件的四个顶点分别焊接在矩形框架的四条边上，则矩形框架周长的最小值为
A．20eq \r(,2)cm B．30eq \r(,5)cm C．40eq \r(,5)cm D．60eq \r(,2)cm
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次成绩(单位：环)，得到如下数据：
则
A．甲成绩的样本极差小于乙成绩的样本极差
B．甲成绩的样本平均值等于乙成绩的样本平均值
C．甲成绩的样本中位数等于乙成绩的样本中位数
D．甲成绩的样本标准差小于乙成绩的样本标准差
10．设函数f(x)的定义域为R，f(x)为奇函数，f(1＋x)＝f(1－x)，f(3)＝1，则
A．f(－1)＝1 B．f(x)＝f(4＋x)
C．f(x)＝f(4－x) D． eq \(∑,\s\up6(18),\s\d6(k＝1))f(k)＝－1
11．已知点M在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，点P(0，1)，Q(1，2)，则
A．存在点M，使得|MP|＝1 B．∠MQP≤eq \f(π,4)
C．存在点M，使得|MI|＝|MQ| D．|MQ|＝eq \r(,2)|MP|
12．我国古代数学家祖暅提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”，即两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．利用该原理可以证明：一个底面半径和高都等于R的圆柱，挖去一个以上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥后，所得的几何体的体积与一个半径为R的半球的体积相等．现有一个半径为R的球，被一个距离球心为d(d＞0)的平面截成两部分，记两部分的体积分别为V1，V2(V1＜V2)，则
A．V1＝eq \f(π,3)(R－d)2(2R＋d) B．V2＝eq \f(π,9)(R＋2d)(2R－d)(3R＋d)
C．当d＝eq \f(R,2)时，eq \f(V\s\d(1),V\s\d(2))＝eq \f(5,27) D．当d≤eq \f(R,3)时，eq \f(V\s\d(1),V\s\d(2))≥eq \f(7,20)
0＜x≤eq \f(1,3)，
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数f(x)＝EQ \B\lc\{(\a\al(lg\S\DO(2)(x＋2)，x≥－1，,2\S(x)－1， x＜－1，))则f(lg2eq \f(1,3))＝ ．
14．已知(x－1)(x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a2＝ ，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝ ．(注：第一空2分，第二空3分)
15．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋eq \f(π,4))(ω＞0)，若f(x1)＝f(x2)＝－eq \r(,3)，|x1－x2|的最小值为eq \f(π,2)，则f(eq \f(π,8))＝ ．
16．已知椭圆E：EQ \F(x\S(2),a\S(2))＋\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，设P，Q是E上位于x轴上方的两点，且直线PF1与QF2平行．若4|PF1|＝|QF1|，2|PF2|＝5|QF2|，则E的离心率为 ．
【解析】
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(10分)
已知AB是圆锥PO的底面直径，C是底面圆周上的一点，PC＝AB＝2，AC＝eq \r(,2)，平面PAC和平面PBC将圆锥截去部分后的几何体如图所示．
(1)证明：OC⊥平面PAB；
(2)求二面角A－PB－C的余弦值．
【解析】
18．(12分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知tanB＝eq \f(3,5)，tanC＝eq \f(1,4)，b＝6．
(1)求A和c；
(2)若点D在AC边上，且BD2＝AD2＋CD2，求AD．
【解析】
19．(12分)
记正项数列{an}的前n项和为Sn，满足1，EQ \R(,S\S\DO(n))，an成等差数列．
(1)求{an}的通项公式；
(2)设集合A＝{k|ak＝eq \f(a\s\d(n＋1)a\s\d(n＋3),a\s\d(n))，k∈N*，n∈N*}，求集合A．
【解析】
20．(12分)
已知双曲线C：EQ \F(x\S(2),a\S(2))－\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，离心率为eq \f(\r(,5),2)．过点(4，0)的直线l与C的右支交于M，N两点，设直线AM，BM，BN的斜率分别为k1，k2，k3．
(1)若k2＝eq \f(\r(,3),2)，求k3；
(2)证明：k2(k1＋k3)为定值．
【解析】
21．(12分)
某商场在元旦期间举行摸球中奖活动，规则如下：一个箱中有大小和质地相同的3个红球和5个白球，每一位参与顾客从箱中随机摸出3个球，若摸出的3个球中至少有2个红球，则该顾客中奖．
(1)若有三位顾客依次参加活动，求仅有最后一位顾客中奖的概率；
(2)现有编号为1~n的n位顾客按编号顺序依次参加活动，记X是这n位顾客中第一个中奖者的编号，若无人中奖，则记X＝0．证明：E(X)＜eq \f(7,2)．
【解析】
22．(12分)
已知函数f(x)＝lnx－eq \f(a,x)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若a＞0，记x0为f(x)的零点，m＝eq \r(,2a＋1)，n＝a＋1．
①证明：m＜x0＜n；
②探究x0与eq \f(m＋n,2)的大小关系．
【解析】
②
运动员
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
92
运动员
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲
87
91
90
89
93
乙
89
90
91
88
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