北师大版（2019）必修二 第六章 立体几何初步 章节测试题(含答案)

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北师大版（2019）必修二 第六章 立体几何初步 章节测试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知m,n为异面直线,平面,平面,直线l满足,,则( )A.且 B.且C.与相交,且交线垂直于l D.与相交,且交线平行于l2．如图,长方体中,,,M为EF的中点,P为底面ABCD上一点,若直线HP与平面BMG没有交点,则面积的最小值为( )A. B. C. D.13．若m,n是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )A.若,,则 B.若,,则C.若,,则 D.若,,则4．已知是边长为3的等边三角形,三棱锥全部顶点都在表面积为的球O的球面上,则三棱锥的体积的最大值为( )A. B. C. D.5．正四面体的棱长为4，点M、N分别是棱、的中点，则点A到平面的距离为( )A. B. C.2 D.6．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥侧面积的一半，那么其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A. B. C. D.7．如图，正方体的棱长为a，E是棱AB的中点，F是侧面内一点，若平面，且EF长度的最大值为b，最小值为，则( )A.7 B.6 C.5 D.38．如图,棱长为2正方体,O为底面AC的中心,点P在侧面内运动且,则点P到底面AC的距离与它到点的距离之和最小是( )A. B. C. D.二、多项选择题9．已知a,b为空间中不同的两条直线,,为空间中不同的两个平面,下列命题错误的是( )A.若,,则B.若,,,则C.若,,则a和b异面直线D.若,,且,则10．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，，，则；④若，，，，，则.其中真命题的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.411．在平面凸四边形ABCD中，，，，现沿对角线BD折起，使点A到达点P，设二面角的平面角为，若，当则三棱锥的外接球的表面积可以是( )A. B. C. D.12．在棱长为2的正方体中，E为的中点，P为四边形内一点（包含边界），若平面AEC，则下列结论正确的是( )A. B.三棱锥的体积为定值C.线段长度的最小值为 D.的最小值是三、填空题13．在棱长为1的正方体中,E为的中点,则点到直线CE的距离为______.14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图,米堆为一个圆锥的四分之一）,米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有__________斛.（精确到个位）15．图1阴影部分是由长方体ABCD和抛物线围成,图2阴影部分是由半径为3半圆O和直径为3的圆P围成的,这两个阴影部分高度相同,利用祖暅原理,可得出图1阴影部分绕y轴旋转而成的几何体的体积为______.16．如图,在棱长为2的正方体中,E为BC的中点,点P在线段上,点P到直线的距离的最小值为____________.四、解答题17．如图,在四棱锥,底面正方形ABCD,E为侧棱PD的中点,F为AB的中点,.（1）求四棱锥体积; （2）证明：平面PFC;（3）证明：平面平面PCD.18．如图所示，已知ABCD为梯形，，，M为线段PC上一点.（1）设平面平面，证明：.（2）在棱PC上是否存在点M，使得平面MBD？若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由.19．如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,底面ABCD,,O为AC与BD的交点.（1）证明：平面PAC.（2）若M为PD的中点,求三棱锥的体积.20．在三棱柱中，侧面正方形的中心为点平面，且，点E满足.（1）若，求证平面；（2）求点C到平面的距离；（3）若平面ABC与平面的夹角的正弦值为，求的值.21．如图（1），已知边长为2的菱形ABCD中，，沿对角线BD将其翻折，使，设此时AC的中点为O，如图（2）．图（1） 图（2）（1）求证：平面ABC；（2）求点A到平面BCD的距离．22．如图，在直三棱柱中，，，D为AC的中点。请从条件①、②、③中选择合适的两个作为已知，并解答下面的问题：（1）求二面角所成角的正弦值；（2）点P是矩形（包含边界）内任一点，且，求CP与平面所成角的正弦值的取值范围.条件①：平面的面积为；条件②：；条件③：点到平面的距离为.参考答案1．答案：D解析：由平面,直线l满足,且,所以,又平面,,所以,由直线m,n为异面直线,且平面,平面,则与相交,否则,若则推出,与m,n异面矛盾,所以,相交,且交线平行于l,故选D．2．答案：A解析：直线HP与平面BMG没有交点,所以平面BMG,取CD中点N,连接HN,HA,因为,所以四边形ABGH是平行四边形,所以,平面BDG,平面BDG,故平面BDG;同理可得平面BDG,,AN,平面AHN,故平面平面BDG,故P在AN上运动,当时,DP最小,最小值为,此时的面积最小,求得.故选：A.3．答案：D解析：对于A中,若,,则,所以不正确;对于B中,若,,则m与n的关系不能确定,所以不正确;对于C中,若,,则m与n的关系不能确定,所以不正确;对于D中,若,可得,又由,可得,所以是正确的．故选：D．4．答案：C解析：球O的半径为R,则,解得：,由已知可得：,其中球心O到平面ABC的距离为,故三棱锥的高的最大值为3,体积最大值为.故选：C.5．答案：B解析：正四面体中，取的中心为H,则平面，故，，其中，由勾股定理得，故点N到平面的距离为，又，故，又，，取的中点T，连接，则，则，故，设点A到平面的距离为d，故，即，解得.故选：B.6．答案：D解析：设正四棱锥的高为h，底面边长为a，侧面三角形底边上的高为，则由题意可知因此有，即，解得，因为，所以.所以侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为.故选D.7．答案：B解析：如图，过点F作，交AD于点G，交于点H，则底面ABCD.连接EG，AF，则易得.平面，平面，，平面平面，又平面EFG，平面，又平面平面，平面，，为AB中点，为AD中点，则H为中点.在线段GH上，，，，，，得，则，，故选B.8．答案：A解析：取中点F,连接AC,FA,FC,BD,FO,由,,可知,则,由知,即.平面ABCD,⊥平面ABCD,,又,,平面,平面,,,平面ACF,,平面ACF,平面ACF,P在侧面内,平面平面,即P在CF上;平面⊥平面ABCD,且交线为BC,P到平面ABCD的距离即为P到BC的距离,将平面沿BC翻折到与平面ABCD共面,如图:将B关于CF对称到,过作与E,则即为点P到底面AC的距离与它到点的距离之和的最小值.以B为原点,建立如图所示坐标系,则,,,直线CF方程为,即,设,则,.故选:A.9．答案：ABC解析：对于A,由,,则或,故A错误；对于B,由,,,则或a与b异面,故B错误；对于C,由,,则无法确定直线a与b的位置关系,平行、相交、异面都有可能,故C错误；对于D,由,,则a与b一定不相交；假设a与b异面,由,,则,,,由a与b异面,则c,d与b相交,但这与平行公理矛盾,故D正确.故选：ABC.10．答案：C解析：①若，则，命题为真命题；②若，则或，所以命题为假命题；③若，所以，又因为，则，所以命题为真命题；④若，，，，，则，命题为真命题.故选：C.11．答案：BCD解析：平面凸四边形ABCD中，，，平面凸四边形ABCD中，四顶点共圆，令平面凸四边形ABCD所在圆的圆心为，沿对角线BD折起，使点到达点F，取BD中点E，连接EF，，过点F作平面FBD的垂线，过点作平面ABD的垂线，令两条垂线的交点为，在中由正弦定理可得的直径，由垂径定理可得，由翻折对称可知，平面ABCD，平面ABCD，同理，又，，，，又二面角的平面角，即，，，中，外接求得半径，三棱锥的外接球的表面积，12．答案：BCD解析：取中点G，连接,,，易知，平面AEC，平面AEC，平面AEC；同理可得：平面AEC，又，平面，平面平面AEC，又平面AEC，平面，又P为四边形内一点（包含边界），.对于A，当P在G处时，与不垂直，A错误；对于B，为定值，P到平面的距离等于平面的距离，即，，B正确；对于C，线段长度的最小值为点到线段的距离，在中，，，，设点到线段的距离为d，则，解得：，即线段长度的最小值为，C正确；对于D，设，，则，（当且仅当时等号成立），又，的最小值是，D正确.故选：BCD.13．答案：解析:正方体中,平面ABCD,,又,,则到直线CE的距离为.故答案为:14．答案：解析：根据可设四分之一圆锥的底面圆半径为r,即,可得尺；根据锥体的体积公式可得四分之一圆锥的体积为立方尺；又1斛米的体积约为1.6立方尺,所以共斛.故答案为：.15．答案：或解析：图一绕轴旋转一周可得一圆柱挖去中间的部分,将图二以小圆的直径为轴旋转一周可得一个半球挖去一个小球,将两个几何体放在同一水平面上,用与圆柱下底面距离为的平面截两个几何体,可得截面都为圆环,纵截面图如下,几何体一的截面面积为几何体二的截面面积为,又两几何体等高,由祖暅原理可得两几何体的体积相等,又几何体二的体积所以几何体一的体积,故答案为:16．答案：解析：点P到直线的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离,设点P在平面ABCD上的射影为,显然点P到直线的距离的最小值为的长度的最小值,当时,的长度最小,此时.17．答案：（1）（2）见解析（3）见解析解析：（1）设四棱锥体积为,正方形ABCD的面积为,则．（2）取PC中点G,连结EG,FG,因为E、F分别为PD、AB的中点,所以,,,所以,,所以四边形AEGF为平行四边形,所以．又平面PFC,平面PFC,所以平面PFC;（3）底面正方形ABCD,平面ABCD,,又,,平面PAD,平面PAD,所以平面PAD,平面PAD, 所以．又,,平面PCD,平面PCD,所以平面PCD．由（2）知,所以平面PCD,而平面PFC,所以平面平面PCD．18、（1）答案：见解析解析：因为，平面PDC，平面PDC，所以平面PDC.又因为平面平面，且平面PAB，所以.（2）答案：存在点M，使得平面MBD，此时，理由见解析解析：存在点M，使得PA∥平面MBD，此时.证明如下：连接AC交BD于点O，连接MO.因为，且，所以，又因为，，所以，因为平面，平面，所以平面.19．答案：(1)见解析(2)解析：（1）证明：底面ABCD,.底面ABCD是正方形,.PA,平面PAC.,平面PAC.（2）O为AC与BD的交点,O为AC与BD的中点,.M为PD的中点,点M到平面OCD的距离为.20．答案：（1）证明见解析（2）（3）或解析：（1）因为点是的中点，又是的中点所以，面，面，所以面.（2）在三棱柱中，面面，所以点E到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离.又因为正方形，所以，且平面，以M为原点，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，则，设平面的法向量为，则，令，可得法向量为，又，所以E到平面ABC的距离.（3）因为，所以，则，设面的法向量为，则，令，可得法向量为，所以，因为平面ABC与平面所成角的正弦值为，所以，可得，所以或.21．答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）连接BO，DO，四边形ABCD为菱形，，又O为AC中点，；在菱形ABCD中，，，，，，，又，，；，AC，平面ABC，平面ABC.（2）由（1）知：平面ABC，；设点A到平面BCD的距离为d，，，解得：，即点A到平面BCD的距离为.22．答案：(1)(2)解析：（1）因为直三棱柱，所以平面ABC，又CA，平面ABC，所以，，又.以为一组正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.设，，则，，，，，.选①②由①得平面的面积为，由②得，解得，.所以，，，设平面的一个法向量为，则，所以，取，则，设平面的一个法向量为，则，所以，取，则，设二面角所成角的平面角为，所以，因为，所以，所以二面角所成角的正弦值为.选①③由①得平面的面积为，由①利③得，即，解得，，所以，，设平面的一个法向量为，则，所以，取，则，设平面的一个法向量为，则，所以，取，则，设二面角所成角的平面角为，所以，因为，所以，所以二面角所成角的正弦值为.（2）取AB中点Q，连接PQ，CQ，因为平面，平面，所以，因为，，所以，所以点P的轨迹是以Q为圆心，半径为1的半圆，设点，所以，因为，，所以，所以，设CP与平面所成角为，由及平面的一个法向量为知，因为，所以，所以CP与平面所成角的正弦值的取值范围为.