北师大版（2019）选择性必修一第二章 圆锥曲线 章节测试题(含答案)

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北师大版（2019）选择性必修一第二章 圆锥曲线 章节测试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知椭圆C的焦点为,过F2的直线与C交于A,B两点.若,,则C的方程为( )A. B. C. D.2．设抛物线的焦点为F,直线,P为抛物线上一点,,M为垂足,如果直线MF的斜率为,那么等于( )A. B. C. D.3．已知椭圆,,过点P的直线与椭圆交于A,B,过点Q的直线与椭圆交于C,D,且满足,设AB和CD的中点分别为M,N,若四边形PMQN为矩形,且面积为,则该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.4．已知抛物线的焦点为F,M,N是抛物线上两个不同的点,若,则线段MN的中点到y轴的距离为( )A.3 B. C.5 D.5．已知双曲线的左顶点为A,右焦点为F,以F为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线相切于第一象限内的一点B.若直线AB的斜率为,则双曲线C的离心率为( )A. B. C. D.6．若抛物线上的一点到它的焦点的距离为8,则( )A.6 B.8 C.12 D.167．双曲线C的两焦点分别为,,且经过点,则双曲线的标准方程为( )A. B. C. D.8．不过原点的直线与双曲线交于A,B两点,M为AB的中点,O为坐标原点,若直线OM的斜率小于,则E的离心率的取值范围为( )A. B. C. D.二、多项选择题9．已知椭圆的离心率为,则m的值可能为( )A. B. C.5 D.2510．已知椭圆()的左､右焦点分别为,,若椭圆M与坐标轴分别交于A,B,C,D四点,且从,,A,B,C,D这六点中,可以找到三点构成一个等边三角形,则下列选项中可以是椭圆M的离心率的有( )A. B. C. D.11．平面上,动点M满足以下条件,其中M的轨迹为椭圆的是( )A.M到两定点,的距离之和为4B.M到两定点,的距离之和为6C.M到两定点,的距离之和为6D.M到两定点,的距离之和为812．过抛物线的焦点F的直线l交C于A,B两点，若直线l过点，且，则抛物线C的准线方程是( )A. B. C. D.三、填空题13．过双曲线上的任意一点P,作双曲线渐近线的平行线,分别交渐近线于点M,N,若,则双曲线离心率的取值范围是___________.14．已知双曲线C的左顶点为A,右焦点为F,离心率为e,动点B在双曲线C的右支上且不与右顶点重合,若恒成立,则双曲线C的渐近线方程为__________.15．已知F为抛物线的焦点,M,N都是抛物线上的点,O为坐标原点,若的外接圆与抛物线C的准线l相切,且该圆的面积为,点,则的最小值为______________.16．已知抛物线光学性质:从焦点出发的光线,经过抛物线上的一点反射后,反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线,一条光线从点沿平行于x轴的方向射出,与拋物线相交于点M,经点M反射后与C交于另一点N.若,则M,N两点到y轴的距离之比为__________.四、解答题17．已知焦点在x轴的抛物线C经过点.（1）求抛物线C的标准方程.（2）过焦点F作直线l,交抛物线C于A,B两点,若线段AB中点的纵坐标为-1,求直线l的方程.18．已知椭圆的左焦点为,离心率为．（1）求椭圆C的标准方程;（2）设O为坐标原点,T为直线上一点,过F作TF的垂线交椭圆于P,Q．当四边形OPTQ是平行四边形时,求四边形OPTQ的面积．19．已知抛物线的焦点为F,点M为抛物线C上一点,且线段FM的中点为,该抛物线的焦点到准线的距离不大于3.（1）求抛物线C的方程;（2）设点A,B为抛物线上的动点,若,当AB的中点到抛物线的准线距离最短时,求AB所在直线方程.20．如图，设P是圆上的动点，点D是点P在x轴上的投影，M为PD上的一点，且.（1）当点P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（2）求过点且斜率为的直线被曲线C截得的线段的长度.21．已知抛物线C的准线方程为,过点作斜率为k的直线l与抛物线C交于不同的两点M,N.（1）求k的取值范围;（2）若为直角三角形,且,求k的值.22．1911年5月,欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇文章中,他描述了用粒子轰击0.00004cm厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前,卢瑟福希望粒子能够通过金箔,就像子弹穿过雪一样.事实上,有极小部分粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径.（1）结合图象,求出该双曲线的渐近线方程.（2）如果粒子路径的顶点距双曲线的中心10cm,试求出该粒子路径的模型.参考答案1．答案：B解析：如图,由已知可设,则,由椭圆的定义有,．在中,由余弦定理推论得．在中,由余弦定理得,解得．,,,所求椭圆方程为,故选B．2．答案：C解析：抛物线的焦点为,设,,由MF的斜率为得:,解得,由于且P为抛物线上,所以,,解得,即,所以,故选:C.3．答案：D解析：如图,不妨设,两条直线的斜率大于零,连结OM,由题意知,解得,,或,（舍）,所以,,在中,因为,所以,故此时,,设,,则,两式相减得,即,即,因此离心率,所以,故选：D．4．答案：B解析：由抛物线方程,得其准线方程为.设,,由抛物线的定义,得,即,所以线段MN中点的横坐标为,线段MN的中点到y轴的距离为．故选：B.5．答案：C解析：双曲线C的渐近线方程为,则直线OB的斜率为（O为坐标原点）,所以,直线BF的斜率为,易知点、,所以,直线BF的方程为,联立,解得,即点,由题意可得,即,所以,,则,故.故选：C.6．答案：D解析：由题意,抛物线上的一点到它的焦点的距离为8,根据抛物线的定义,可得,解得.故选：D.7．答案：B解析：所以,又,所以.所以双曲线的标准方程为故选：B.8．答案：B解析：设点,则有,两式作差解得：,即,设,因为,,,,代入整理得：,即,由题意知,因为,,又因为,解得：,即,故选：B.9．答案：BC解析：可化为.当时,,椭圆的离心率为,解得;当时,,椭圆的离心率为,解得.故选：BC.10．答案：AB解析：不妨设A,B为长轴端点,C,D为短轴端点,已知A,B关于原点对称,,关于原点对称,C,D关于原点对称,相应的三角形只取其中一个即可;首先可能是等边三角形,因为,所以,此时不可能是等边三角形,不合题意;若为等边三角形,则,所以选项B有可能;若为等边三角形,则,,所以选项A有可能;若为等边三角形,则,;综上可知,可以是椭圆M的离心率的有选项A和B.故选:AB.11．答案：BD解析：因为两定点,的距离为,所以选项A不符合椭圆定义,选项B符合椭圆定义；因为两定点,的距离为,所以选项C不符合椭圆定义,选项D符合,故选：BD12．答案：D解析：因为直线l过点，所以直线l的方程为.由得,.设，则,.因为，整理得，解得，所以抛物线C的准线方程是.故选D.13．答案：解析：因为双曲线的渐近线方程为:,即,设点,可得:,联立方程组,解得:,同理可得:,所以,因为,所以,所以,由题意可得:,所以,故离心率,又因为双曲线的离心率,所以双曲线离心率的取值范围为,故答案为:.14．答案：解析：如图：因为恒成立,取特殊位置轴时,此时,所以,在中,,双曲线中,,将代入双曲线方程得,整理可得：,取点位于第一象限,所以,则,所以,当时,,,此时不符合题意,故不成立,当时,,,此时不符合题意,故不成立,当时,,所以,即,可得,所以,所以,,所以双曲线的渐近线方程为,故答案为：.15．答案：或解析：依题意作下图:外接圆半径,的外接圆与抛物线C的准线l相切,外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径,又圆心在OF的中垂线上,中垂线的方程为,准线方程为,,,并且点Q是准线与x轴的交点;抛物线C的方程为:,过M作得,,最小即最大,显然当与抛物线相切时最大,设直线的方程为,联立得:,令,解得,即,,故的最小值为;故答案为:.16．答案：或解析：依题意,由抛物线性质知直线MN过焦点,设,,,,直线MN的方程为,由,得:,所以,,则,又,所以,故抛物线方程为而,故,所以,所以M,N两点到y轴的距离之比为.故答案为:.17．答案：（1）;（2）.解析：（1）由题意可设抛物线方程为：,抛物线过点, ,;（2）设l的方程为,,,则由,,所以,由题意,,故,即直线l的方程为.18．答案：(1);（2）解析：（1）由已知得：,,所以又由,解得,所以椭圆的标准方程为：.（2）椭圆方程化为.设T点的坐标为,则直线TF的斜率.当时,直线PQ的斜率,直线PQ的方程是当时,直线PQ的方程是,也符合的形式.将代入椭圆方程得：.其判别式.设,则,,.因为四边形OPTQ是平行四边形,所以,即.所以,解得.此时四边形OPTQ的面积.19．答案：（1）（2）或解析：（1）依题意得,焦点到准线的距离不大于3,所以,设,由FM的中点坐标为,得,解得,因为在抛物线,所以即,解得或（舍）,所以抛物线C的方程为.（2）如图所示,根据题意直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为,设,,AB,中点,由,,,所以,则所以,又因为AB的中点到准线的距离等于,所以当最小时,的中点到准线的距离最短.因为,当且仅当时,解得,则.所以直线AB的方程为或.20、（1）答案：解析：设点M的坐标是，点P的坐标是，因为P是圆上的动点，所以，所以点M的轨迹C的方程是.（2）答案：解析：过点且斜率的直线，设直线l与曲线C交于点，，将直线l与曲线C的方程联立，消去y得，化简得，解得，，所以，即截得的线段的长度是.21．答案：（1）或（2）解析：（1）由题意可知:抛物线C的方程为,直线l的斜率存在,设直线l方程为,联立方程组,消去y得,要使直线l与抛物线交于不同的两点M,N,则,即,解得或,所以们取值范围为或.（2）设,,由（1）可知,是的两个根,则,,解法一:因为,则,即,可得,解得或,结合（1）中k的取值范围可知:.解法二:因为,所以,即,因为,所以,因为,所以,即,解得,此时满足（1）中k的取值范围,所以.22．答案：（1）（2）解析：（1）由图可知一条渐近线的倾斜角为,故一条渐近线斜率,由渐进线的对称性知,双曲线的两条渐近线方程为.（2）由图知,双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的方程为,因为双曲线的顶点到中心的距离为10cm,所以,又由（1）知,,所以,所以该粒子路径模型为.