北师大版（2019）选择性必修二第一章 数列 章节测试题(含答案)

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北师大版（2019）选择性必修二第一章 数列 章节测试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知数列的前n项和为,若,,则等于( )A. B. C. D.2．已知数列的前n项和,数列的首项为3,若,则( )A.23 B.22 C.21 D.203．已知数列满足:,,,则( )A. B. C. D.4．记是等差数列的前n项和,若,,则( )A.16 B.8 C.4 D.25．已知等差数列满足,则中一定为零的项是( )A. B. C. D.6．等比数列中，，，则( )A. B. C.5 D.17．已知数列满足,且,为其前n项的和,则( )A. B. C. D.8．在等差数列中,若,,则( )A.20 B.24 C.27 D.29二、多项选择题9．已知数列,都是等比数列,则下列数列中一定是等比数列的是( )A. B. C. D.10．已知数列,都是等比数列,则下列数列中一定是等比数列的是( )A. B. C. D.11．已知公差为d的等差数列的前n项和为，若，则下列选项正确的是( )A.B.当时，n的最小值为2022C.有最大值D.当时，n的最大值为404312．在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其意思是：“某人到某地需走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地.”则此人( )A.第二天走了96里路B.第三天走的路程占全程的C.第一天走的路程比后五天走的路程多6里D.第五天和第六天共走了30里路三、填空题13．设等差数列的前n项和为,且,则________.14．等比数列中,,,则________.15．小李向银行贷款14760元，并与银行约定：每年还一次款，分4次还清所有的欠款，且每年还款的钱数都相等，贷款的年利率为0.25，则小李每年所要还款的钱数是__________元.16．南宋数学家在《解析：九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,高阶等差数列中前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列,其前7项分别为1,2,4,7,11,16,22,则该数列的第20项为______.四、解答题17．（1）已知数列的前n项和是,且,求的通项公式.（2）已知正项数列的前n项和满足,求数列的通项公式.18．记为数列的前n项和，已知.（1）求数列的通项公式；（2）月数学归纳法证朋：.19．已知数列中，，.（1）求，，，的值；（2）根据（1）的计算结果，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明.20．已知数列的前n项和为，，.（1）证明：是等差数列；（2）设数列的前n项和为，从下面两个条件中任选一个作为已知条件，并证明：.①；②.21．已知数列，满足：，，且，是方程的两个实根，且.（1）求，，；（2）设，求证：数列是等差数列，并求的通项公式；（3）设，若不等式恒成立，求实数a的取值范围.22．已知数列是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式.（2）设数列的前n项和为，在①，；②，；③，这三个条件中任选一个，将序号补充在下面横线处，并根据题意解决问题.问题：若，且，求数列的前n项和.参考答案1．答案：A解析：因为,所以,两式相减得,,（）,由,得,故可知,而,所以,（）,故从第二项开始,为公比为4的等比数列,故,故选：A.2．答案：C解析：因为①当时,,②当时,,③将代入得,符合,所以.所以,所以.故选:C.3．答案：C解析：,,,,,又,故,所以,所以,,,故,则,所以.故选:C.4．答案：C解析：设等差数列的首项为,公差为d,根据题意可知,解得;所以可得.故选:C5．答案：A解析：设等差数列的公差为d.,可得,.则中一定为零的项是.6．答案：C解析：设公比为q，显然，则由题意得，两式相除得，所以，故选：C.7．答案：B解析：由题可知是首项为2,公比为3的等比数列,则.故选：B.8．答案：D解析：,所以,又,所以,所以,故选:D9．答案：AC解析：设等比数列、的公比分别为、,其中,,对任意的,,,对于A选项,,即数列为等比数列,A满足条件;对于B选项,不妨取,,则数列、都是等比数列,但对任意的,,故数列不是等比数列,不满足条件;对于C选项,,故为等比数列,C满足条件.对于选项,不妨取,,则数列、都是等比数列,但当时,,故数列不是等比数列,D不满足条件;故选：AC.10．答案：AC解析：设等比数列、的公比分别为、,其中,,对任意的,,,对于A选项,,即数列为等比数列,A满足条件;对于B选项,不妨取,,则数列、都是等比数列,但对任意的,,故数列不是等比数列,不满足条件;对于C选项,,故为等比数列,C满足条件.对于D选项,不妨取,,则数列、都是等比数列,但当时,,故数列不是等比数列,D不满足条件;故选：AC.11．答案：ACD解析：对于A，由可得，，，故等差数列的公差，故A正确；对于B，由A得数列为递减数列，且，，故当时，n的最小值为2023，故B错误；对于C，由A得，故，其图象是二次函数上的一些点，该二次函数的图象开口向下，所以有最大值，没有最小值，故C正确；对于D，因为数列的前2022项均为正数，且，，所以当时，n的最大值为4043，故D正确.12．答案：AC解析：设此人第n天走了里路，则数列是首项为，公比q为的等比数列.因为，所以，解得.对于A，由于，所以此人第二天走了96里路，所以A正确；对于B，由于，，所以B错误；对于C，由于，，所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里，所以C正确；对于D，由于，所以D错误.13．答案：解析：设等差数列的公差为d,,,化为:.则.故填12.14．答案：108解析：由题意等比数列中,,,设等比数列的公比为q,则,故,故答案为:10815．答案：6250解析：设每年还款的金额为x元，由题意可得，所以，所以.16．答案：191解析：高阶等差数列：1,2,4,7,11,16,22,,令,则数列：1,2,3,4,5,6,,则数列为等差数列,首项,公差,,则则,故答案为：19117．答案：（1）（2）解析：（1）由可得,当时,,当时,,经验证,当时也成立.所以.（2）①,得.②②－①得：,即,,,,…,,.经验证,当时也成立.所以.18．答案：（1）（2）证明见解析解析：（1）当时，，当时，，当时，上式也成立，所以.（2）当时，，，所以成立.假设当时，不等式成立，即，则当时，，又，所以，所以，即当时，不等式也成立.综上，.19．答案：（1），，，（2）见解析解析：（1）因为，，所以，，，.（2）根据（1）的就算结果，猜想数列的通项公式为.下面用数学归纳法证明：①当时，猜想显然成立.②假设当时，猜想成立，即有，则当时，由归纳假设及，得，即当时，猜想也成立.综上所述，.20．答案：（1）证明见解析（2）证明见解析解析：（1）因为，所以，两式相减得，即.因为，所以，所以，所以数列是公差为2的等差数列.（2）令中的，得，又，所以.若选①，则，所以.若选②，则，财，所以.21．答案：（1），，（2）（3）解析：（1）由，解得，，又，所以，.由，，得，将代入，得.（2）因为，所以，所以，即，又，所以数列是以-4为首项，-1为公差的等差数列.所以，所以.（3）由题意及（2），知，所以，所以.由恒成立，得恒成立.设，①当时，恒成立；②当时，由二次函数的性质可知不可能恒成立；③当时，因为，所以在上单调递减，令，得，所以时，恒成立.综上，实数a的取值范围是.22．答案：（1）（2）解析：（1）设等差数列的公差为，则，，.因为，，成等比数列，所以，解得或（舍去），所以.（2）方案一：选条件①.当时，，当时等式也成立，所以，则，所以，，两式相减得，所以.方案二：选条件②.当时，，所以，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以，则，所以，，两式相减得，所以.方案三：选条件③.由，，得，又，所以，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.当时，，当时等式也成立，所以，则，所以，，两式相减得，所以.