人教B版(2019)必修二 第六章 平面向量初步 章节测试题(含答案)
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人教B版(2019)必修二 第六章 平面向量初步 章节测试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、选择题1.在中,过重心E任作一直线分别交AB,AC于M,N两点,设,,(,),则的最小值是( )A. B. C.3 D.22.已知向量,,若与共线,则实数( )A. B.5 C. D.13.如图,在平行四边形ABCD中,,,若,则( )A. B. C. D.04.已知两个向量,,若,则x的值为( )A. B. C. D.5.已知,,,则( )A.A,B,C三点共线 B.A,C,D三点共线C.A,B,D三点共线 D.B,C,D三点共线6.在中,,,的平分线交BC于点D.若,则( )A. B. C.2 D.37.已知中,AC的中点为M,点O是线段BM三等分点(靠近点M),则向量( )A. B. C. D.8.如图,在平行四边形中,M是边的中点,N是的一个三等分点(),若存在实数和,使得,则( )A. B. C. D.二、多项选择题9.已知O为的外心,且.若向量在向量上的投影向量为,则的值可能为( )A. B. C. D.10.下列说法正确的是( )A.长度相等的向量是相等向量 B.单位向量的模为1C.零向量的模为0 D.共线向量是在同一条直线上的向量11.如果,是平面内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( )A.可以表示平面内的所有向量B.对于平面内任一向量,使的实数对有无穷个C.若向量与共线,则有且只有一个实数,使得D.若存在实数,使得,则12.已知向量,,,在下列各组向量中,可以作为平面内所有向量的一个基底的是( )A., B., C., D.,三、填空题13.已知平面向量,,若与平行,则________.14.平面上三个力,,作用于同一点,且处于平衡状态,已知,,与的夹角为,则的大小为_____N.15.已知向量,,若与方向相反,则___________.16.在中,D是BC边上的点且,若则________.四、解答题17.一个人在静水中游泳时,速度的大小为.当他在水流速度的大小为的河中游泳时.(1)如果他垂直游向河对岸,那么他实际沿什么方向前进(角度精确到1°)?实际前进速度的大小为多少?(2)他必须朝哪个方向游,才能沿与水流垂直的方向前进(角度精确到1°)?实际前进速度的大小为多少?18.在平面内给定三个向量,,.(1)求满足的实数m,n的值;(2)若向量d满足,且,求向量d的坐标.19.已知向量,不共线,,,.(1)若,求x,y;(2)若A,B,C三点共线,求xy的最大值.20.已知,,是同一平面内的三个向量,其中.(1)若,且,求的坐标;(2)若,与的夹角为锐角,求实数的取值范围.21.设,是两个不共线的非零向量,(1)如果,,,求证:A、B、D三点共线.(2)欲使和共线,试确定实数k QUOTE k k的值.22.一条河的两岸平行,河的宽度,一艘船从河岸边的A处出发到河对岸.已知船在静水中的速度的大小为,水流速度的大小为如果要使船行驶的时间最短,那么船行驶的距离与合速度的大小的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论:(1)当船逆流行驶,与水流成钝角时;(2)当船顺流行驶,与水流成锐角时;(3)当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时.请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间,判断是否当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时所用时间最短.参考答案1.答案:C解析:在中,E为重心,所以,设,,(,)所以,,所以.因为M、E、N三点共线,所以,所以(当且仅当,即,时取等号).故的最小值是3.故选:C.2.答案:B解析:由题意,解得.故选:B.3.答案:D解析:平行四边形ABCD中,,,所以,若,则,则.故选:D.4.答案:A解析:若,则,解得.故选:A.5.答案:C解析:6.答案:B解析:设,因为,,所以,又AD是的平分线,所以,,,又,所以,,所以.故选B.7.答案:C解析:因为点O是线段三等分点(靠近点M),所以,因为的中点为,所以,即.故选:C8.答案:C解析:因为N是的一个三等分点(),所以.因为M是边的中点,所以.,所以.故选:C.9.答案:BCD解析:因为,所以,即,又因为为的外心,则,所以,,,则,即,且O为斜边BC的中点,过A作BC的垂线AQ,垂足为Q.因为在上的投影向量为,所以在上的投影向量为.当时,点Q与点O重合,则,,;当时,如图1,;当时,如图2,.所以,因为,所以当时,取得最小值,且最小值为.当时,,当时,.故的取值范围是.故选:BCD10.答案:BC解析:对于A,长度相等、方向相同的向量叫相等向量,故A错误;对于B,单位向量的模为1,故B正确;对于C,零向量的模为,故C正确;对于D,方向相同或相反的向量叫共线向量,它们不一定在同一条直线上,故D错误.故选:BC11.答案:AD解析:,是平面内两个不共线的向量,,可以作为平面的一组基底;对于A,由平面向量基本定理可知:可以表示平面内的所有向量,A正确;对于B,对于平面内任意向量,有且仅有一个实数对,使得,B错误;对于C,当时,与均为零向量,满足两向量共线,此时使得成立的有无数个,C错误;对于D,由得:,又,不共线,,即,D正确.故选:AD.12.答案:AD解析:A:假设,则有,显然不成立,故向量,不是共线向量,所以符合题意;B:,因为,所以,是共线向量,因此不符合题意;C:,因为,所以,是共线向量,因此不符合题意;D:,,假设是共线向量,则有显然不成立,故向量,不是共线向量,所以符合题意,故选:AD13.答案:解析:,由题意得,解得.故答案为:14.答案:解析:15.答案:-2 解析:由,共线,则,得,即,又与方向相反,故,故答案为:-2.16.答案:解析:由题可知,,又,所以17.答案:(1)沿与水流方向成的方向前进,实际前进速度为(2)沿与河岸夹角的余弦值为的方向逆着水流方向前进,实际前进速度为解析:(1)如图(1),设人游泳的速度为,水流的速度为,以OA,OB为邻边作,则此人的实际速度为.在中,,所以.实际前进的速度,故此人沿与水流方向成的方向前进,实际前进速度为.(2)如图(2),设此人的实际速度为,水流速度为,则游速为.在中,,,所以.,故此人应沿与河岸夹角的余弦值为的方向逆着水流方向前进,实际前进速度为.18、(1)答案:,解析:由已知条件以及,可得.解得,.(2)答案:或解析:,设向量,则.,,解得或向量d的坐标为或.19.答案:(1),(2)解析:(1)由题意可得:,且,所以,.(2)若A,B,C三点共线,则,则,可得,则,当时,xy取到最大值.20.答案:(1)或(2)解析:(1)因为,且,则,又,所以,即,故或;(2)由,则,由,解得,又与不共线,则,解得,故与的夹角为锐角时,实数的取值范围为:.21.答案:(1) A、B、D三点共线(2)解析:(1),,又,有共同点B,A、B、D三点共线.(2)设,化为, QUOTE ∴k-λ=01-λk=0 ∴k-λ=01-λk=0,解得.22.答案:当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时,所用时间最短解析:没与的夹角为,船行驶的时间为t,.(1)当为钝角时,;(2)当为锐角时,;(3)当为直角时,;当为钝角时,,,当为锐角时,.所以当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时,所用时间最短.