人教B版（2019）必修四 第九章 解三角形 章节测试题(含答案)

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人教B版（2019）必修四 第九章 解三角形 章节测试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．已知在中,角A,B,C对边分别为a,b,c,且,,则能将全部覆盖的所有圆中,最小的圆的面积为( )A. B. C. D.2．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则角( )A. B. C. D.3．学校兴趣小组为了测量市民活动中心广场一圆柱状建筑物的高度,在地面上选取相距120米的两点M,N,若在M,N处分别测得圆柱状建筑物的最大仰角为和,则该圆柱状建筑物的高度约为( ) A.60 B. C.30 D.4．如图,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,延长BA至D,是是以BC为底边的等腰三角形,,当时,边( )A. B. C. D.5．外轮除特许外，不得进入离我国海岸线以内的区域，如果进入则对其发出警告，令其退出此区域.如图，设A，B是相距的两个观察站，一外轮在P点，测得，，，满足下列选项中的什么关系时就该向外轮发出警告( )A. B. C. D.6．如图，某建筑物的高度，一架无人机Q上的仪器观测到建筑物顶部C的仰角为，地面某处A的俯角为，且，则此无人机距离地面的高度PQ为( )A. B. C. D.7．如图，某人开车在水平公路AB上自东向西行驶，在A处测得山顶P处的仰角，该小车在公路上匀速行驶6分钟后，到达B处，此时测得仰角.已知小车的速度是，且，则下列结论正确的是( )①此山的高；②；③；④小车从A到B的行驶过程中观测P点的最大仰角的正切值为.A.①③ B.②③ C.②④ D.①②④8．如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为，向山顶前进到达B处，又测得C对于山坡的斜度为.若，山坡对于地平面的坡度为，则( )A. B. C. D.二、多项选择题9．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,则下列四个选项中哪些值可以作为三角形的面积( )A. B. C. D.10．在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足，则( )A.B.若，则周长的最大值为C.若D为AC的中点，且，则的面积的最大值为D.若角B的平分线BD与边AC相交于点D，且，则的最小值为911．如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔（A为塔顶，B为塔底）的高度，选取与B在同一水平面内的两点C与D（B，C，D不在同一直线上），测得.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有，，，，，，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是( )A.s，，， B.s，，，C.s，，， D.s，，，12．如图,的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,且,D是外一点,,,则下列说法正确的是( )A.是等边三角形B.若,则A,B,C,D四点共圆C.四边形ABCD面积最小值为D.四边形ABCD面积最大值为三、填空题13．记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为,,,则________.14．若a,b,c为的三边,且a,b,c成等差数列,则的最小值是___________.15．如图，在中，，，O是外一点，，，则平面四边形OACB面积的最大值是__________.16．某同学为了测量学校天文台CD的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台A，A到地面的距离AB为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得阳台A，天文台顶C的仰角分别是和，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为.假设AB，CD和点M在同一铅垂面内，则该同学可测得学校天文台CD的高度为__________m.四、解答题17．从①;②条件中任选一个,补充到下面横线处,并解答在中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,___________.（1）求角A;（2）若外接圆的圆心为O,,求BC的长.18．已知在中,A,B,C为三个内角,a,b,c为三边,,.（1）求角B的大小;（2）在下列两个条件中选择一个作为已知,求出BC边上的中线的长度.①的面积为;②的周长为.19．2022年2月4日,冬奥会在北京与张家口开幕,如图,四边形ABCD是主办方为运动员精心设计的休闲区域的大致形状,区域四周是步道,中间是花卉种植区域,为减少拥堵,中间穿插了氢能源环保电动步道AC,,,,.(1)求氢能源环保电动步道AC的长;(2)若,求花卉种植区域总面积.20．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量,,且.(1)求A;(2)若,的面积为,求的周长.21．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且.（1）求A；（2）若D为的中点，且，求的面积.22．如图,游客从某旅游景区的景点A处下上至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从A乘缆车到B,在B处停留后,再从B匀速步行到C,假设缆车匀速直线运动的速度为,山路AC长为,经测量,.（1）求索道AB的长;（2）问：乙出发多少后,乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过,乙步行的速度应控制在什么范围内？参考答案1．答案：B解析：由,则,又,由正弦定理得,由余弦定理得,又,则设的外接圆半径为R,由正弦定理得,故,所以能将全部覆盖的所有圆中,最小的圆即的外接圆,其面积为.故选:B.2．答案：B解析：依题意,,即,所以,所以B为锐角,所以.故选：B.3．答案：B解析：设圆柱状建筑物的高度为h,则有,即,所以.故选：B.4．答案：A解析：已知且,则由余弦定理代入,化简得：,,又由,,所以,,,根据等腰三角形的性质,设,,所以有整理得,故,故选A.5．答案：C解析：作PD垂直于AB于点D，如图所示.在中，.在中，.所以，所以，故当时，就该向外轮发出警告，令其退出此区域.故选C.6．答案：B解析：根据题意，在中，，，.在中，，，.由正弦定理得，解得.在中，.故选B.7．答案：C解析：对于①，设，由题意可得，在中，，所以.在中，，所以.又，所以在中，由余弦定理可得，解得（负舍），即，故①错误；对于②，由①得，，则，故，故②正确；对于③，因为，所以，所以，故③错误；对于④，由等面积法可以得到点O到AB的距离，则最大仰角的正切值为，故④正确.故选C.8．答案：C解析：由题意得，在中，由正弦定理得，.在中，，.故选C.9．答案：AB解析：因为,,所以,即,因为,两式平方相加可得,由基本不等式可得,所以,所以,所以,即,当且仅当时等号成立.故选：AB.10．答案：ACD解析：由及正弦定理可得，又，所以，，则，因为，所以，故A正确；若，则的外接圆直径，，，，所以，所以周长的最大值为9，故B错误；若D为AC的中点，且，则，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以，故C正确；由题意得，即，即，即.所以，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选ACD.11．答案：ACD解析：对于A，已知s，，，，在中，利用三角形内角和为可求得，利用正弦定理，可求得BC.在中，，由，即可求得AB，因此A符合；对于B，在中，已知一边CD，一角，无法求解三角形.在中，已知两角，，无法求解三角形.在中，已知一边CD，一角，无法求解三角形，因此B不符合；对于C，在中，已知一边CD，两角，，由三角形内角和定理可求得，由正弦定理可求得AC.在中，已知两角，及一边AC，利用，可求得AB，因此C符合；对于D，在中，已知两角，，由，可用AB表示BC，在中，由，可用AB表示BD，在中，已知，CD，用AB表示的BD，用AB表示的BC，然后利用余弦定理可建立关于AB的方程，即可求解AB，因此D符合.故选ACD.12．答案：AD解析：由得,,即,因为,所以,又,所以.因为,所以是等边三角形,A正确;在中,由余弦定理得,,则,即,A,B,C,D四点不共圆,B错误;设,,由余弦定理得:,所以四边形ABCD面积,即,因为,所以,所以当,即时,S取得最大值,无最小值,故C不正确,D正确,选AD.13．答案：解析：由题意,,所以,,所以,解得(负值舍去).故答案为:.14．答案：解析：, 则的最小值是.故答案为：.15．答案：解析：由题意可知为等腰直角三角形，设，则.设，则在中，由，及余弦定理可知，.，.记平面四边形OACB的面积为S，则.，.当，即时，平面四边形OACB的面积最大，为.16．答案：30解析：在中，有，在中，，，，由正弦定理得，故.在中，，又，则.17．答案：（1）（2）解析：（1）选择条件①：因为,由正弦定理,可得,即,所以.因为,所以.选择条件②：因为所以,即.因为所以所以,.（2）由题意,O是外接圆的圆心,所以,所以故此.在中,由正弦定理,,即,解得.18．答案：（1）（2）答案见解析解析： ,则由正弦定理可得,,∵,,, ,解得.（2）若选择（1）,由（1）可得,即则,解得,则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：.若选择（2）：由（1）可得,设的外接圆半径为R,则由正弦定理可得,,则周长,解得,则,,由余弦定理可得BC边上的中线的长度为：.19．答案：(1)(2)解析：（1）,, ,在中,由余弦定理可知,即.（2）在中,由余弦定理可得,即,解得或（舍去）,即,即,,所以花卉种植区域总面积为.20．答案：(1);(2).解析：（1）由,则,由正弦定理得：,在中,故,即,因为,所以;（2）由余弦定理得,即,可得,又,得,则,即,所以的周长为21．答案：（1）（2）解析：（1）因为，所以，由正弦定理得，化简得.因为，，所以.因为，所以.（2）方法一：因为D为的中点，所以，等式两边平方得，即①.在中，由余弦定理得②，联立①②解得，所以.方法二：在中，由余弦定理得；在中，由余弦定理得.由，得，整理得.在中，由余弦定理得，代入得.故.22．答案：（1）（2）（3）（单位：m/min）解析：（1）在中,因为,,所以,,从而.由正弦定理,得.（2）假设乙出发后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了,乙距离A处,所以由余弦定理得,由于,即,故当时,甲、乙两游客距离最短.（3）由正弦定理,得.乙从B出发时,甲已走了,还需走才能到达C.设乙步行的速度为,由题意得,解得,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过,乙步行的速度应控制在（单位：）范围内.