2023-2024学年山东省淄博市高青县九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

这是一份2023-2024学年山东省淄博市高青县九年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.“对于二次函数y=(x−1)2+1，当x≥1时，y随x的增大而增大”，这一事件为( )
A. 必然事件B. 随机事件C. 不确定事件D. 不可能事件
2.如图所示的钢块零件的主视图为( )
A. B. C. D.
3.某路灯示意图如图所示，它是轴对称图形.若∠ACB=130°，AC=BC=1.2m，CD与地面垂直且CD=3m，则灯顶A到地面的高度为( )
A. 3+1.2cs25°
B. 3+1.2sin25°
C. 3+1.2cs25∘
D. 3+1.2sin25∘
4.已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)在反比例函数y=3x的图象上，当x1>x2>0时，下列结论正确的是( )
A. y25.对二次函数y=12x2+2x+3的性质描述正确的是( )
A. 函数图象开口朝下B. 当x<0时，y随x的增大而减小
C. 该函数图象的对称轴在y轴左侧D. 该函数图象与y轴的交点位于y轴负半轴
6.如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC=115°，则∠BAC的度数是( )
A. 25°
B. 30°
C. 35°
D. 40°
7.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点P，且AC过原点O，AB/​/x轴，点C的坐标为(6,3)，反比例函数y=kx的图象经过A，P两点，则k的值是( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
8.如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则sin(α+β)=( )
A. 2 77B. 77C. 22D. 32
9.如图，△ABC的顶点均在⊙O上，且AB=AC，∠BAC=120°，D为弦BC的中点，弦EF经过点D，且EF/​/AB.若⊙O的半径为4，则弦EF的长是( )
A. 3 5
B. 2 13
C. 2 15
D. 2 17
10.如图是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，其对称轴为x=−1，且该图象与x轴的一个交点在点(−3,0)和(−4,0)之间，并经过点(−2.3,y1)与点(1.5,y2)，则下列结论：①abc>0；②3a+c>0；③y1>y2；④对于任意实数m，都有am2+bmA. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.如图，一段长管中放置着三根同样的绳子，小明从左边随机选一根，张华从右边随机选一根，两人恰好选中同一根绳子的概率是 ．
12.小华沿着坡度i=1：3的斜坡向上行走了5 10米，那么他距离地面的垂直高度上升了______ 米.
13.若函数y=(m+1)x2−3x+2的图象与x轴只有一个交点，则m的值为______ ．
14.如图，在△ABC中，BA=BC，顶点C，B分别在x轴的正、负半轴上，点A在第一象限，经过点A的反比例函数y=kx(x>0)的图象交AC于点E，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，若点E为AC的中点，BD=2AD，BF−CF=3，则k的值为______ ．
15.如图，抛物线y=x2−4x+3与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，点C关于抛物线对称轴的对称点为点D，动点E在y轴上，点F在以点B为圆心，半径为1的圆上，则DE+EF的最小值是______ ．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
求下列各式的值．
(1)12cs30°+ 22cs45°+sin60°cs60°；
(2)计算：38+(13)−1−2cs30°+|1− 3|．
17.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+6x+(2m+1)=0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2−x1−x2≥8，求m的取值范围．
18.(本小题8分)
在四张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为1、2、−1.−2，现将四张卡片放入一只不透明的盒子中搅匀．
(1)任意抽出一张，抽到写有负数的卡片的概率是______ ；
(2)若任意同时抽出两张，用画树状图或列表的方法求两张卡片上数字之和为非负数的概率．
19.(本小题8分)
如图，幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑梯的倾角由45°降为30°，已知原滑滑梯AB的长为5m，点D，B，C在同一水平地面上．
(1)改善后滑滑梯会加长多少？(精确到0.01m)
(2)若滑滑梯的正前方能有3m长的空地就能保证安全，原滑滑梯的前方有6m长的空地，像这样改造是否可行？说明理由(参考数据： 2=1.414， 3=1.732， 6=2.449)
20.(本小题8分)
如图，一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=k2x的图象交于A(−4,1)，B(m,4)两点.(k1,k2,b为常数)
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式k1x+b>k1x的解集；
(3)P为y轴上一点，若△PAB的面积为3，求P点的坐标．
21.(本小题8分)
某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如下表：
注：周销售利润=周销售量×(售价−进价)
(1)求y关于x的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)；
(2)求该商品的进价和周销售的最大利润；
(3)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件(m>0)，物价部门规定该商品售价不得超过60元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系．若周销售最大利润是1080元，求m的值．
22.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．
(1)求证：直线CP是⊙O的切线．
(2)若BC=2 5，sin∠BCP= 55，求点B到AC的距离．
(3)在第(2)的条件下，求△ACP的周长．
23.(本小题8分)
已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(−1,0)、B(3,0)，与y轴交于点C，连接BC．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线BC上方抛物线上取一点P，过点P作PQ⊥x轴交BC边于点Q，求PQ的最大值；
(3)在直线BC上方抛物线上取一点D，连接OD，CD.OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF=3：2时，求点D的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：“对于二次函数y=(x−1)2+1，当x≥1时，y随x的增大而增大”，
这一事件为必然事件，
故选：A．
根据二次函数的性质、随机事件的概念判断即可．
本题主要考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，也考查了二次函数的性质．
2.【答案】A
【解析】解：从正面看是一个“凹”字形，
故选：A．
根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．
3.【答案】B
【解析】解：连接AB，延长DC交AB于点E，
由题意可知：∠ACE=12∠ACB=65°，
在Rt△ACD中，
cs∠ACE=cs65°=CEAC，
∴CE=1.2cs65°(m)，
∴点A到地面的高度为：CE+CD=(1.2cs65°+3)m，
∵cs65°=sin25°，
∴CE+CD=(1.2sin25°+3)m，
故选：B．
连接AB，延长CD交AB于点E，由题意可知：∠ACE=12∠ACB=65°，然后利用锐角三角函数的定义可求出CE的长度．
本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是正确理解锐角三角函数的定义，本题属于基础题型．
4.【答案】C
【解析】解：∵k=3>0，
∴当x1>x2>0时，y随x的增大而减小，
∴0故选：C．
根据反比例函数的性质判断即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，掌握反比例函数的性质、反比例函数的增减性只指在同一象限内是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：二次函数y=12x2+2x+3=12(x+2)2+1，对称轴为直线x=−2．
A、a=12>0，开口向上，本选项不符合题意；
B、当−2C、该函数图象的对称轴在y轴左侧，本选项符合题意；
D、该函数图象与y轴的交点为(0,3)，位于y轴，正半轴，本选项不符合题意；
故选：C．
根据二次函数的解析式结合二次函数的性质逐一分析即可作答．
本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴以及二次函数的增减性．
6.【答案】A
【解析】解：如图，连接OC，
∵∠ADC=115°，
∴优弧ABC所对的圆心角为2×115°=230°，
∴∠BOC=230°−180°=50°，
∴∠BAC=12∠BOC=25°，
故选：A．
连接OC，利用圆周角定理及角的和差求得∠BOC的度数，进而求得∠BAC的度数．
本题考查圆周角定理，结合已知条件求得∠BOC的度数是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵在菱形ABCD中，对角线BD与AC互相垂直且平分，
∴PA=PC，
∵AC经过原点O，且反比例函数y=kx的图象恰好经过A，P两点，
∴由反比例函数y=kx图象的对称性知：
OA=OP=12AP=12CP，
∴OP=13OC．
过点P和点C作x轴的垂线，垂足为E和F，
∴△OPE∽△OCF，
∴OP：OC=OE：OF=PE：CF=1：3，
∵点C的坐标为(6,3)，
∴OF=6，CF=3，
∴OE=2，PE=1，
∴点P的坐标为(2,1)，
∴k=2×1=2．
故选：C．
根据菱形的性质可得对角线BD与AC互相垂直且平分，再根据反比例函数的对称性可得点P坐标，进而求得k的值，再利用一次函数性质即可求解．
本题考查了反比例函数与几何综合，解决本题的关键是综合利用相似三角形的判定和性质、反比例函数的图象和性质、菱形的性质等．
8.【答案】A
【解析】解：如图，连接DE，
在三角形ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，
∴∠α=30°，
同理得，∠CDE=∠CED=30°=∠α，
又∵∠AEC=60°，
∴∠AED=∠AEC+∠CED=60°+30°=90°，
设等边三角形的边长为a，则AE=2a，
DE=2×sin60°⋅a= 3a，
∴AD= AE2+DE2= (2a)2+( 3a)2= 7a，
∴sin(α+β)=sin∠ADE=AEAD=2a 7a=2 77．
故选：A．
连接DE，利用等腰三角形的性质及内角和定理得到∠α=30°，同理得∠CDE=∠CED=30°=∠α，又∠AEC=60°，求出∠AED=90°，设等边三角形的边长为a，表示出AE，DE，利用勾股定理求出AD，sin(α+β)=sin∠ADE即可求出结果．
本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形等知识，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：连接OA、OB、OF，作OH⊥EF于点H，则∠OHD=∠OHF=90°，
∵AB=AC，
∴AB=AC，
∴OA垂直平分BC，
∵D为弦BC的中点，
∴BD=CD，OA经过点D，
∵∠BAC=120°，OA=OB=4，
∴∠OAB=∠OBA=12∠BAC=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵OA⊥BC于点D，
∴OD=AD=12OA=2，
∵EF//AB，
∴∠ODH=∠OAB=60°，
∴∠DOH=30°，
∴DH=12OD=1，
∴OH= OD2−DH2= 22−12= 3，
∵OF=4，
∴EH=FH= OF2−OH2= 42−( 3)2= 13，
∴EF=2 13，
故选：B．
连接OA、OB、OF，作OH⊥EF于点H，先根据垂径定理证明OA垂直平分BC，则OA经过点D，再根据等腰三角形的“三线合一”证明∠OAB=∠OBA=60°，则△AOB是等边三角形，由EF/​/AB，得∠ODH=∠OAB=60°，则∠DOH=30°，所以DH=12OD=1，OH= 3，即可根据勾股定理求得EH=FH= 13，则EF=2 13．
此题重点考查垂径定理、平行线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理的应用等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线对称轴为直线x=−b2a=−1，
∴b=2a<0，
∵抛物线与y轴交点在y轴上半轴，
所以c>0，
∴abc>0，①正确，符合题意．
∵图象与x轴的一个交点在点(−3,0)和(−4,0)之间，对称轴为直线x=−1，
∴图象与x轴的另一个交点在点(1,0)和(2,0)之间，
∴x=1时，y=a+b+c=3a+c>0，②正确，符合题意．
∵1.5−(−1)>−1−(−2.3)，
∴点(−2.3,y1)到对称轴的距离小于点(1.5,y2)到对称轴的距离，
∴y1>y2，③正确，符合题意．
∵x=−1时y=a−b+c为函数最大值，
由am2+bm当m=−1时，am2+bm+c>a+b+c，即am2+bm≥a+b
故④错误，不符合题意．
故选：C．
根据抛物线开口方向，对称轴为直线x=−1，抛物线与y轴交点位置可判断①，根据图象与x轴的一个交点在点(−3,0)和(−4,0)之间可得图象与x轴另一交点位置，从而判断②，根据点(−2.3,y1)与点(1.5,y2)与对称轴的距离大小可判断③，由x=−1时函数值最大可判断④．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
11.【答案】13
【解析】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两人恰好选中同一根绳子的结果有3种，
∴两人恰好选中同一根绳子的概率为39=13．
故答案为：13．
画树状图得出所有等可能的结果数和两人恰好选中同一根绳子的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
12.【答案】5
【解析】解：设他距离地面的垂直高度上升了x米，
∵斜坡的坡度i=1：3，
∴他行走的水平距离为3x米，
由勾股定理得：x2+(3x)2=(5 10)2，
解得：x=5(负值舍去)，
则他距离地面的垂直高度上升了5米，
故答案为：5．
设他距离地面的垂直高度上升了x米，根据坡度的概念用x表示出他行走的水平距离，根据勾股定理列方程，解方程得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比．
13.【答案】−1或18
【解析】解：有两种情况：
①若函数是一次函数，与x轴只有一个交点，
则m+1=0，m=−1；
②若函数是二次函数，与x轴只有一个交点，
则Δ=0，
∴(−3)2−4×(m+1)×2=0，
解得m=18．
故答案为−1或18．
本题要分类讨论：①若函数是一次函数，与x轴只有一个交点，则m+1=0，m=−1；②若函数是二次函数，与x轴只有一个交点，则Δ=0，即可解出m=18．
本题综合考查了函数的性质，解题过程中容易忽略一次函数的情况．
14.【答案】4
【解析】解：过点A作AH⊥x轴于H，如图：
∵EF⊥x轴，
∴EF/​/AH，
又点E为AF的中点，
∴EF为△AHF的中位线，
∴AH=2EF，CF=HF，
∵BF−CF=3，
∴BF−HF=3，即：BH=3，
∵AH⊥x轴，
∴AH//OB，
∴BD：AD=OB：OH，
∵BD=2AD，
∴OB=2OH，
∴BH=OB+OH=3OH=3，
∴OH=1，OB=2，BH=3，
设CF=HF=a，EF=b，则AH=2EF=2b，CH=2a，
∴点A的坐标为(1,2b)，点E的坐标为(1+a,b)，
∵点A，E在反比例函数y=k/x(x>0)的图象上，
∴k=1×2b=(1+a)×b，
解得：a=1，
∴CH=2a=2，
∴BA=BC=BH+CH=3+2=5，
在Rt△ABH中，BH=3，BA=5，
由勾股定理得：AH=√BA2−BH2=4，
∴点A的坐标为(1,4)，
∴k=1×4=4．
故答案为：4．
过点A作AH⊥x轴于H，先证EF为△AHF的中位线得AH=2EF，CF=HF，再根据BF−CF=3得出BH=3，然后根据AH⊥x轴，BD=2AD得OB=2OH，进而可求出OH=1，OB=2，BH=3，设CF=HF=a，EF=b，则AH=2EF=2b，CH=2a，点A(1,2b)，点E(1+a,b)，进而可得k=1×2b=(1+a)×b，由此可得a=1，则CH=2a=2，BA=BC=5，最后在Rt△ABH中由勾股定理得AH=4，由此得点A(1,4)，进而可求出k的值．
此题主要考查了反比例函数的图象，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的中位线定理，理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上．
15.【答案】 58−1
【解析】解：对于y=x2−4x+3，令x=0，则y=3，令y=0，解得x=1或3，
故点A、B、C的坐标分别为(0,3)、(1,0)、(3,0)，
函数的对称轴为直线x=−−42=2，则点D(4,3)，
过点D作y轴的对称点H(−4,3)，连接BH交y轴于点E，交圆B于点F，则点E、F为所求点，
理由：∵点H、D关于y轴对称，则EH=ED，
则DE+EF=HE+EF=HF为最小，
则DE+EF最小=HF=HB−1= (−4−3)2+(3−0)2−1= 58−1．
故答案为： 58−1．
依据题意，过点D作y轴的对称点H(−4,3)，连接CH交y轴于点E，交圆C于点F，则点E、F为所求点，即可求解．
本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征、点的对称性等，利用轴对称确定最短路线是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=12× 32+ 22× 22+ 32×12
= 34+12+ 34
= 3+12；
(2)原式=2+3−2× 32+ 3−1
=2+3− 3+ 3−1
=4．
【解析】(1)直接利用特殊角的三角函数值代入，进而得出答案；
(2)直接利用立方根的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
17.【答案】解：(1)∵方程有实数根，
∴Δ=36−4(2m+1)=36−8m−4=32−8m≥0，
解得：m≤4．
故m的取值范围是m≤4；
(2)∵x1，x2是方程x2+6x+(2m+1)=0的两个实数根，
∴x1+x2=−6，x1⋅x2=2m+1，
∵2x1x2−x1−x2≥8，
∴2(2m+1)+6≥8，
解得m≥0，
由(1)可得m≤4，
∴m的取值范围是0≤m≤4．
【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
(2)根据根与系数的关系可得出x1+x2=−6、x1x2=2m+1，由2x1x2−x1−x2≥8结合(1)结论可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．
本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：(1)牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；(2)根据根与系数的关系结合2x1x2−x1−x2≥8及m≤4，求出m的取值范围．
18.【答案】12
【解析】解：(1)∵一共有4张卡片，其中2张写有负数，
∴P(抽到写有负数的卡片)=24=12，
故答案为：12；
(2)画树状图如下：
∵一共有12种等可能的结果，其中两张卡片上数字之和为非负数的结果数有8种，
∴P(两张卡片上数字之和为非负数)=812=23．
(1)根据概率的意义求出即可；
(2)用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出两张卡片上数字之和为非负数的结果数，再用等可能事件概率公式求出即可．
本题考查列表法和树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和树状图法求等可能事件概率的方法是解题的关键．
19.【答案】解：(1)Rt△ABC中，AC=AB×sin45°=5 22(m)，
Rt△ADC中，BC=AB×cs45°=5 22(m)，
AD=ACsin30∘=5 2，
∴AD−AB≈2.07(m).
改善后滑滑梯会加长2.07 m；

(2)这样改造能行．
在直角△ACD=ACtan30∘=5 62，
因为CD−BC≈2.59(m)，而6−3>2.59．
因此，像这样改造是不可行的．
【解析】本题中两个直角三角形有公共的边，那么可利用这条公共直角边进行求解．
(1)求AD长的时候，可在直角三角形ADC内，根据∠D的度数和AC的长，运用正弦函数求出AD的长．
(2)本题实际要求的是BD的长是否超过3m，如果超过了那么这样修改滑板的坡度就不可行，反之，则可行．就要先求出BD的长．根据BD=CD−BC即可求解．
本题主要考查了解直角三角形的应用，利用这两个直角三角形有公共的直角边求解是解决此类题目的基本出发点．
20.【答案】解：(1)将点A(−4,1)代入y=k2x之中，得：k2=−4，
∴反比例函数的解析式为：y=−4x，
将B(m,4)代入反比例函数y=−4x之中，得：m=−1，
∴点B的坐标为(−1,4)，
将点A(−4,1)，B(−1,4)代入y=k1x+b之中，得：−4k1+b=1−k1+b=4，
解得：k1=1b=5，
∴一次函数的解析式为：y=x+5．
(2)观察函数的图象可知：当−40时，一次函数的图象均在反比例函数的上方，
∴k1x+b>k2x的解集为：−40．
(3)过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，
∵A(−4,1)，B(−1,4)，
∴AC=4，OC=1，BD=1，OD=4，
∴CD=OD−OC=4−1=3，
∵AC⊥y轴，BD⊥y轴，
∴四边形ACDB为直角梯形，
∴S四边形ACDB=12(BD+AC)⋅CD=152，
设点P的坐标为(0,t)，
∵△PAB的面积为3，
∴有以下两种情况：
①点P在线段CD上，
∴OP=t，
∴DP=OD−OP=4−t，PC=OP−OC=t−1，
∴S△PBD=12PD⋅BD=4−t2，S△PAC=12PC⋅AC=2t−2，
∴152−4−t2−(2t−2)=3，
解得：t=3，
∴此时点P的坐标为(0,3)；
②当P在CD延长线上时，记作P′
DP′=t−4，P′C=t−1，
S△P′AC=12AC⋅P′C=2(t−1)，S△P′BD=12BD⋅P′D=12(t−4)，
又∵S△P′AB=S△P′AC−S△P′BD−S梯形ACDB，
∴2(t−1)−12(t−4)−152=3，
解得：t=7，
此时点P的坐标为(0,7)．
综上所述：点P的坐标为(0,3)或(0,7)．
【解析】(1)将点A(−4,1)代入y=k2x之中即可求出反比例函数的解析式，再将点B(m,4)代入已求出的反比例函数解析式求出m的值，进而得点B的坐标，然后将点A，B的坐标代入y=k1x+b之中即可求出一次函数的解析式；
(2)观察函数的图象，找出一次函数的图象在反比例函数的上方所对应的x的取值范围即可；
(3)过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，根据点A，B的坐标可求出梯形ACDB的面积，再分成两种情况：①点P在线段CD上，根据S△PAB=S梯形ACDB−S△PBD−S△PAC即可求出点P的坐标;②当P在CD延长线上时，记作P′，根据S△P′AB=S△P′AC−S△P′BD−S梯形ACDB即可求出点P的坐标．
此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求函数的解析式等，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式的方法与技巧，难点是解答(3)时，根据相关点的坐标向坐标轴作垂线把不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差．
21.【答案】解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b，将(50,80)，(60,60)分别代入得，
50k+b=8060k+b=60，
解得：k=−2b=180，
∴y与x的函数关系式是y=−2x+180；
(2)设进价为a元，由售价50元时，周销售量为80件，周销售利润为800元，
可得：80(50−a)=800，
解得：a=40，
即该商品的进价为40元/件；
依题意有w=(−2x+180)(x−40)
=−2x2+260x−7200
=−2(x−65)2+1250，
∵−2<0，
∴抛物线开口向下，
∴当x=65时，w有最大值为1250，
即售价为65元/件时，周销售利润最大，为1250元；
(3)依题意有w=(−2x+180)(x−40−m)
=−2x2+(260+2m)x−7200−180m，
∵m>0，
∴对称轴x=130+m2>65，
∵−2<0，
∴抛物线开口向下，
∵x≤60，
∴w随x的增大而增大，
∴当x=60时，w有最大值
即：(−2×60+180)(60−40−m)=1080，
解得：m=2，
∴当m=2时，周销售最大利润是1080元．
【解析】(1)依题意设y=kx+b，解方程组即可得到结论；
(2)根据利润=售价−进价，周销售利润=周销售量×(售价−进价)列出函数关系式，根据性质解答即可；
(3)利用二次函数的性质解答即可．
本题考查了二次函数在实际生活中的应用，熟练掌握题目中的等量关系是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)∵∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°
∴2∠BCP+2∠BCA=180°，
∴∠BCP+∠BCA=90°，
又C点在直径上，
∴直线CP是⊙O的切线．
(2)如右图，作BD⊥AC于点D，
∵PC⊥AC
∴BD//PC
∴∠PCB=∠DBC
∵BC=2 5，sin∠BCP= 55，
∴sin∠BCP=sin∠DBC=DCBC=DC2 5= 55，
解得：DC=2，
∴由勾股定理得：BD=4，
∴点B到AC的距离为4．
(3)如右图，连接AN，
∵AC为直径，
∴∠ANC=90°，
∴Rt△ACN中，AC=CNcs∠ACN=CNsin∠BCP= 5 55=5，
又CD=2，
∴AD=AC−CD=5−2=3．
∵BD/​/CP，
∴BDCP=ADAC，
∴CP=203．
在Rt△ACP中，AP= AC2+CP2=253，
AC+CP+AP=5+203+253=20，
∴△ACP的周长为20．
【解析】(1)根据∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，得到2∠BCP+2∠BCA=180°，从而得到∠BCP+∠BCA=90°，证得直线CP是⊙O的切线．
(2)作BD⊥AC于点D，得到BD//PC，从而利用sin∠BCP=sin∠DBC=DCBC=DC2 5= 55，求得DC=2，再根据勾股定理求得点B到AC的距离为4．
(3)先求出AC的长度，然后利用BD//PC的比例线段关系求得CP的长度，再由勾股定理求出AP的长度，从而求得△ACP的周长．
本题考查了切线的判定与性质等知识，考查的知识点比较多，难度较大．
23.【答案】解：(1)把点A(−1,0)、B(3,0)代入y=ax2+bx+3中可得：
a−b+3=09a+3b+3=0，
解得：a=−1b=2，
∴抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3；
(2)当x=0时，y=3，
∴C(0,3)，
设直线BC的解析式为：y=kx+m，
把B(3,0)，C(0,3)代入y=kx+m中可得：
3k+m=0m=3，
解得：k=−1m=3，
∴直线BC的解析式为：y=−x+3，
过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，

设P点坐标为(x,−x2+2x+3)，
则Q点坐标为(x,−x+3)，
∴PQ=−x2+2x+3−(−x+3)
=−x2+2x+3+x−3
=−x2+3x
=−(x−32)2+94，
∴PQ的最大值是94；
(3)∵S△COF：S△CDF=3：2，
∴OF：DF=3：2，
过点D作DG/​/y轴交BC于点G，

∴∠OCF=∠CGD，∠COF=∠ODG，
∴△COF∽△GDF，
∴OFFD=OCDG=32，
∵OC=3，
∴DG=2，
设点D坐标为(m,−m2+2m+3)，则点G坐标为(m,−m+3)，
∴DG=−m2+2m+3−(−m+3)
=−m2+3m，
∴−m2+3m=2，
解得：m1=1，m2=2，
∴点D的坐标为(1,4)或(2,3)．
【解析】(1)把点A(−1,0)、B(3,0)代入y=ax2+bx+3中，进行计算即可解答；
(2)先求出C点坐标，再求出直线BC的解析式，过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q，然后设P点坐标为(x,−x2+2x+3)，则Q点坐标为(x,−x+3)，从而求出PQ的长度，利用配方法求出PQ的最大值即可；
(3)根据题意可得OF：DF=3：2，过点D作DG/​/y轴交BC于点G，然后利用8字模型相似三角形证明△COF∽△GDF，从而可得DG=2，再利用(2)的思路求出DG=−m2+3m，然后进行计算即可解答．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，以及8字模型相似三角形是解题的关键．售价x(元/件)
50
60
70
周销售量y(件)
80
60
40
周销售利润w(元)
800
1200
1200