2023-2024学年重庆市西南大学附中高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年重庆市西南大学附中高二（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在等比数列{an}中，若a5a7a9a11=81，则a1a15=( )
A. 6B. 9C. ±6D. ±9
2.以椭圆x28+y24=1的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为( )
A. x24−y24=1B. x28−y24=1C. x24−y2=1D. x28−y2=1
3.已知函数f(x)在x=x0处可导，若Δx→0limf(x0+Δx)−f(x0−2Δx)Δx=3，则f′(x0)=( )
A. 1B. 12C. 2D. 8
4.已知数列{an}满足a1=2，an+1=1+an1−an，则数列{an}前2025项的积为( )
A. 2B. 3C. −12D. 6
5.已知数列{an}满足a1=1，且an+1=an+2，数列{bn}满足b1=1，且bn+1−bn=an+1，则bn+6n的最小值为( )
A. 133B. 5C. 2 6D. 173
6.椭圆E：x24+y2=1的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆E上的点，过P作圆Q：x2+(y−2)2=1的一条切线，切点为B，则|PB|的最大值为( )
A. 2 2B. 7C. 2 5D. 53 3
7.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4=−5，S6=3S2，则S8=( )
A. −10B. 25C. −10或−25D. −10或0
8.已知直线l1：mx−y−2m+4=0(m∈R)与直线l2：x+my−2m−4=0(m∈R)相交于点P，则P到直线x+y=0的距离d的取值范围是( )
A. [2 2,4 2]B. [2 3,4 3)C. (2 2,4 2]D. [2 2,3 2]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列求导运算正确的有( )
A. [ln(1−2x)]′=22x−1B. lg2x=12lnx
C. (x2sinx+1)′=2xcsxD. (xex)′=1−xex
10.下列说法不正确的有( )
A. 点P(x,y)满足 (x+2)2+y2+ (x−2)2+y2=6，则点P的轨迹是一个椭圆
B. 经过点(0,1)与抛物线y2=4x有且只有一个公共点的直线有两条
C. 过双曲线x2a2−y2b2=1右焦点的直线交双曲线于A、B两点，则|AB|min=2b2a
D. 直线xcsα+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是[0,π4]∪[3π4,π]
11.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若(n+1)Sn>nSn+1，a2024S2023A. {an}是递减数列B. |a2023|>|a2024|
C. Sn≤S2023D. 使Sn<0成立的n的最小值为4046
12.如图，椭圆x24+y2b2=1(0A. a2，a3，a4成等差数列
B. 若d=1，则b2=3
C. y1=−3y2
D. x2=3x1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.双曲线y22−x28=1的离心率为______ ．
14.若5是a与b的等差中项，3是a与b的等比中项，则a2+b2= ______ ．
15.设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)=f′(π6)csx+sinx，则f(π6)= ______ ．
16.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，P点为抛物线上任意一点，M为圆E：(x−6)2+y2=4上任意一点，则2|PM|+|MF|的最小值为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=x3−x．
(1)求f(x)在点(1,0)处的切线方程；
(2)过点(0,2)作曲线y=f(x)的切线l，求l的方程．
18.(本小题12分)
已知等差数列{an}的公差与等比数列{bn}的公比相同，a1=b1=1，Sn为数列{an}的前n项和，S5=45．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)记数列{cn}是将数列{an}和{bn}中的项从小到大依次排列而成的新数列(相同的数排列两次)，求数列{cn}前50项的和T50．
19.(本小题12分)
已知数列{an}满足a1+2a2+22a3+…+2n−1an=n⋅2n−1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bn=1anan+1，Sn为数列{bn}的前n项和，若Sn<λ2+λ对任意的正整数n都成立，求实数λ的取值范围．
20.(本小题12分)
已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点F到双曲线y2−x23=1的渐近线的距离是12．
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知过点F的直线与E交于A，B两点，线段AB的中垂线与E的准线l交于点P，且线段AB的中点为M，求|PM||AB|的最小值．
21.(本小题12分)
已知数列{an}满足：a1=1，且an=an−1+1,n为偶数2an−1,n为奇数(n≥2).设bn=a2n．
(1)证明：数列{bn+1}为等比数列，并求出{bn}的通项公式；
(2)令f(x)=b1x+b2x2+…+bnxn，求函数f(x)在x=1处的导数f′(1)．
22.(本小题12分)
已知点P(2,1)在椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，椭圆的离心率e= 32．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若不过点P的直线l：y=kx+m交椭圆于A，B两点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2且k1+k2=1，求△OAB面积的取值范围(O为坐标原点)．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：∵在等比数列{an}中，a5a7a9a11=81，
∴(a5a11)2=81，
又∵a5a11=a12q14>0，
∴a5a11=9，
∴a1a15=a5a11=9．
故选：B．
由等比数列的性质可知a5a11=±9，再由a1a15=a5a11求解即可．
本题主要考查了等比数列的性质，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：椭圆x28+y24=1的焦点坐标为(±2,0)，两个长轴端点为(±2 2,0)，
∴双曲线的顶点为(±2,0)，焦点坐标为(±2 2,0)，
即a=2，c=2 2，
则b= c2−a2=2，
∴双曲线的方程为x24−y24=1．
故选：A．
借助题目条件，将双曲线的a、b求出即可．
本题考查椭圆的几何性质，属基础题．
3.【答案】A
【解析】解：Δx→0limf(x0+Δx)−f(x0−2Δx)Δx
=Δx→0limf(x0+Δx)−f(x0)Δx+2Δx→0limf(x0−2Δx)−f(x0)−2Δx=f′(x0)+2f′(x0)=3f′(x0)=3，解得f′(x0)=1．
故选：A．
根据已知条件，结合极限的几何意义，即可求解．
本题主要考查极限的几何意义，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：∵数列{an}满足a1=2，an+1=1+an1−an，
∴a2=1+a11−a1=1+21−2=−3，
a3=1+a21−a2=1−31+3=−12，
a4=1−121+12=13，
a5=1+131−13=2，
故数列{an}是周期为4的数列，且前四项为：2，−3，−12，13；
∴数列{an}前2025项的积为：[2×(−3)×(−12)×13]506×2=2．
故选：A．
根据数列的递推关系式求得数列的周期，进而求解结论．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】解：∵数列{an}满足a1=1，且an+1=an+2，
即数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴an=1+2(n−1)=2n−1，
又数列{bn}满足b1=1，且bn+1−bn=an+1，
故b2−b1=a2=2×2−1，
b3−b2=a3=2×3−1，
b4−b3=a4=2×4−1，
bn−bn−1=an=2n−1，
∴bn−b1=2×(2+3+...+n)−(n−1)=2×(2+n)(n−1)2−(n−1)=n2−1，
∴bn=n2，
∴bn+6n=n2+6n=n+6n≥2 n⋅6n=2 6，n= 6时，等号成立；
又n为正整数，n=2时，bn+6n=5，
n=3时，bn+6n=5．
∴bn+6n的最小值为5．
故选：B．
先根据等差数列的性质求得an=2n−1，再结合累加法求得数列{bn}的通项公式，结合不等式的性质即可求解结论．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查等差数列的性质以及计算能力，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：因为椭圆E：x24+y2=1的左、右焦点分别是F1，F2，P是椭圆E上的点，过P作圆Q：x2+(y−2)2=1的一条切线，切点为B，
所以PB2=PQ2−BQ2=PQ2−1，
设P(2csθ,sinθ)，θ∈[0,2π]，
又Q(0,2)，
则PB2=PQ2−1=(2csθ)2+(sinθ−2)2−1=4cs2θ+sin2θ−4sinθ+4−1=3(1−sin2θ)−4sinθ+5−1=−3sin2θ−4sinθ+7，
故当sinθ=−23时，PQ2取最大值：−3×(−23)2−4×(−23)+7=253，
故|PB|的最大值为5 33．
故选：D．
根据切线段的性质得到PB2=PQ2−1，再结合椭圆的参数方程即可求解结论．
本题主要考查圆的切线性质以及椭圆的参数方程，考查计算能力，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：因为等比数列{an}中，S4=−5，S6=3S2，
当q=1时，显然符合题意，此时S8=2S4=−10，
当q≠1时，
则a1(1−q4)1−q=−5a(1−q6)1−q=3×a(1−q2)1−1，解得，q2=2，a11−q=53，
S8=a1(1−q8)1−q=53×(1−24)=−25．
故选：C．
由已知结合等比数列的求和公式对q是否为1进行分类讨论即可求解．
本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：联立mx−y−2m+4=0x+my−2m−4=0，解得x=2m2−2m+41+m2，y=2m2+2m+41+m2，
即P(2m2−2m+41+m2,2m2+2m+41+m2)，
所以P点到直线x+y=0的距离d=|2m2−2m+41+m2+2m2+2m+41+m2| 2=2 2⋅m2+2m2+1=2 2(1+11+m2)，
因为1+m2≥1，所以0<11+m2≤1，
所以d∈(2 2,4 2].
故选：C．
两条直线联立，可得P点的坐标，可得P到直线的距离d的表达式，由m的范围，可得d的范围．
本题考查点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
9.【答案】AD
【解析】解：[ln(1−2x)]′=−21−2x=22x−1，故A正确；
(lg2x)′=1xln2，故B错误；
(x2sinx+1)′=2xsinx+x2csx，故C错误；
(xex)′=ex−xex(ex)2=1−xex，故D正确．
故选：AD．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：点P(x,y)满足 (x+2)2+y2+ (x−2)2+y2=6，
其几何意义为P到两定点A(−2,0)、B(2,0)距离和为6的P的轨迹，
则点P的轨迹是一个椭圆，故A正确；
经过点(0,1)与抛物线y2=4x有且只有一个公共点的直线有3条，一条是x=0，一条是y=1，另一条斜率存在与抛物线相切，故B错误；
过双曲线x2a2−y2b2=1右焦点的直线交双曲线于A、B两点，不一定是通径长最短，如x2−y29=1，实轴长最短，故C错误；
直线xcsα+y+2=0的倾斜角θ，则tanθ=−csα∈[−1,1]，则倾斜角θ的取值范围是[0,π4]∪[3π4,π)，故D错误．
故选：BCD．
由椭圆的定义判断A；分析经过点(0,1)与抛物线y2=4x相切的直线条数判断B；由双曲线的性质判断C；求出直线倾斜角的范围判断D．
本题考查圆锥曲线的定义及性质，考查直线的倾斜角与斜率的关系，是中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：等差数列{an}中，若(n+1)Sn>nSn+1，
则(n+1)n(a1+an)2>n(n+1)(a1+an+1)2，
即an>an+1，
所以{an}是递减数列，A正确；
由a2024S2023又a2023>a2024，
所以a2023>0，a2024<0，
因为S2024所以a2023+a2024=S2024−S2022<0，
所以|a2023|<|a2024|，B错误；
因为a2023>0，a2024<0，a2023+a2024<0，
所以n=2023时，Sn取得最大值，C正确；
因为S4046=2023(a1+a4046)=2023(a2023+a2024)<0，
S4045=4045(a1+a4045)2=4045a2023>0，即Sn<0成立的n的最小值为4046，D正确．
故选：ACD．
由已知结合等差数列的单调性，求和公式及性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了等差数列的性质，求和公式及单调性的应用，属于中档题．
12.【答案】AD
【解析】解：A选项，由椭圆定义可知：a1+a4=4，a2+a3=4，
又a1，a2，a3成等差数列，故a2=a1+d，a3=a1+2d，
则a2+a3=2a1+3d=4，则a1=2−32d，则a2=2−12d，a3=2+12d，
又a4=4−a1=2+32d，
故a2+a4=2−12d+2+32d=4+d=2a3，故A正确；
B选项，若d=1，此时|BF2|=a1=12，|AF2|=a2=32，故|AB|=12+32=2，且y1=−3y2，
设F2(c,0)，因为直线AB斜率一定不为0，
设直线AB为x=c+my，与x24+y2b2=1(0(b2m2+4)y2+2cmb2y+b2(c2−4)=0，即(b2m2+4)y2+2cmb2y−b4=0，
则y1+y2=−2cmb2b2m2+4，y1y2=−b4b2m2+4，
因为y1=−3y2，所以y2=cmb2b2m2+4，3y22=b4b2m2+4，
联立解得3c2m2=b2m2+4，故y1+y2=−2b23cm，y1y2=−b43c2m2，
由弦长公式可得：|AB|= 1+m2⋅ 4b49c2m2+4b43c2m2=4b2 1+m23cm=2，
所以2b2⋅ 1+m2=3cm，平方得：4b4(1+m2)=9c2m2，
其中c2=4−b2，
故3(4−b2)m2=b2m2+4，解得：b2m2+1=3m2，即m2=13−b2，
由4b4(1+m2)=9(4−b2)m2可得：4b4(1+13−b2)=9(4−b2)⋅13−b2，
整理得：4b6−16b4−9b2+36=0，即4b4(b2−4)−9(b2−4)=0，
故(4b4−9)(b2−4)=0，解得：b2=32或b2=4，
因为a>b，所以b2=4舍去，b2=32，B不正确；
D选项，设椭圆x24+y2b2=1(0其中椭圆左右焦点分别为F1(−c,0)，F2(c,0)，
下面证明|MF1|=a+ex0，|MF2|=a−ex0，
过点M作MA上椭圆的左准线于点A，作MB⊥椭圆右准线于点B，
则由椭圆的第二定义可知：|MF1||MA|=|MF2||MB|=e，
其中|MA|=x0+a2c，|MB|=a2c−x0，
则|MF1|=e(x0+a2c)=a+ex0，|MF2|=e(a2c−x0)=a−ex0，
故|AF2|=a−ex1=2−ex1=2−12d，故ex1=12d，
|BF2|=a−ex2=2−ex2=2−32d，ex2=32d，
所以x2=3x1，D正确．
C选项，设直线AB为x=c+my，由x2=3x1得：c+my2=3c+3my1，故y2=3y1+2cm，C错误．
故选：AD．
A选项，由椭圆定义及a1，a2，a3成等差数列，得到a1=2−32d，则a2=2−12d，a3=2+12d，又a4=4−a1=2+32d，故a2+a4=2a3，A正确；B选项，在A选项基础上得到|BF2|=a1=12，|AF2|=a2=32，故|AB|=12+32=2，且y1=−3y2，设出直线AB的方程，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，由y1=−3y2得到m2=13−b2，由弦长公式得到4b4(1+m2)=9(4−b2)m2，联立得b2；由焦半径公式推导出x2=3x1，判断D选项；在x2=3x1的基础上，得到y2=3y1+2cm，判断C．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质，数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13.【答案】 5
【解析】解：∵双曲线方程为y22−x28=1，
∴a= 2，b=2 2，c= 10，
∴该双曲线的离心率为ca= 10 2= 5．
故答案为： 5．
根据双曲线的几何性质直接求解．
本题考查双曲线的几何性，属基础题．
14.【答案】82
【解析】解：∵5是a与b的等差中项，
∴a+b2=5，即a+b=10，
又∵3是a与b的等比中项，
则ab=32=9，
∵(a+b)2=100，
∴a2+b2+2ab=100，即a2+b2=82．
故答案为：82．
根据等差中项与等比中项的性质得到a+b，ab的值，再结合完全平方公式即可得到结果．
本题主要考查等差数列与等比数列的综合，考查转化能力，属于基础题．
15.【答案】1
【解析】解：f(x)=f′(π6)csx+sinx，
则f′(x)=−f′(π6)sinx+csx，
所以f′(π6)=−f′(π6)sinπ6+csπ6，即32f′(π6)= 32，解得f′(π6)= 33，
故f(x)= 33csx+sinx，
f(π6)= 33× 32+12=1．
故答案为：1．
根据已知条件，结合导数的运算法则，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
16.【答案】4 6
【解析】解：由题意知，焦点F(2,0)，
设存在定点C(t,0)，使得点M在圆E上运动时，均有|MC|=12|MF|，
设M(x,y)，则(x−6)2+y2=4，
由|MC|=12|MF|，知 (x−t)2+y2=12 (x−2)2+y2，
联立两式，消去y可得(40−8t)x+4t2−100=0，
令40−8t=0，则t=5，满足上式，
所以C(5,0)，
所以2|PM|+|MF|=2|PM|+2|MC|=2(|PM|+|MC|)≥2|PC|，当且仅当P，M，C三点共线时，等号成立，
设P(a,b)，则b2=8a，
所以|PC|= (a−5)2+b2= a2−10a+25+8a= a2−2a+25= (a−1)2+24≥2 6，当且仅当a=1时，等号成立，
所以2|PM|+|MF|≥2|PC|≥4 6，
即2|PM|+|MF|的最小值为4 6．
故答案为：4 6．
设存在定点C(t,0)，使得点M在圆E上运动时，均有|MC|=12|MF|，结合两点间距离公式，可确定t的值，从而有2|PM|+|MF|=2(|PM|+|MC|)≥2|PC|，再利用抛物线的方程，根据二次函数的性质，求得|PC|的最小值，即可得解．
本题考查抛物线中的取值范围问题，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
17.【答案】解：由f(x)=x3−x，得f′(x)=3x2−1，
(1)∵f′(1)=2，
∴f(x)在点(1,0)处的切线方程为y=2(x−1)，即2x−y−2=0；
(2)设切点坐标为(x03−x0)，
则过切点的切线方程为y−x03+x0=(3x02−1)(x−x0)，
把(0,2)代入，可得2−x03+x0=−x0(3x02−1)，
整理得：x03=−1，即x0=−1．
∴直线l的方程为：2x−y+2=0．
【解析】求出原函数的导函数．
(1)直接求出函数在x=1处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案；
(2)设切点坐标，写出过切点的切线方程，代入已知点的坐标，求出切点横坐标，进一步得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，明确在某点处与过某点是解决问题的关键，是中档题．
18.【答案】解：(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，
因为a1=1，S5=45，
所以S5=45=5×1+5×42d，解得q=d=4，
所以an=1+(n−1)×4=4n−3，bn=1⋅4n−1=4n−1．
(2)由(1)知an=4n−3，bn=4n−1，
所以数列{an}和{bn}均为增数列，
而a1=b1=1，a46=181，b4=64a46，
所以数列{cn}的前50项中包含数列{an}的46项，数列{bn}的4项，
所以T50=S46+(b1+b2+b3+b4)=46×1+46×452×4+(1+4+16+64)=4271．
【解析】(1)利用等差数列的求和公式，求得公差(即公比)，再由等差、等比数列的通项公式，即可得解；
(2)结合数列的单调性，可得数列{cn}的前50项中包含数列{an}的46项，数列{bn}的4项，再求和即可．
本题考查数列的通项公式与前n项和求法，熟练掌握等差、等比数列的通项公式与求和公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)已知数列{an}满足a1+2a2+22a3+…+2n−1an=n⋅2n−1(n∈N*)，
则当n≥2时，a1+2a2+22a3+…+2n−2an−1=(n−1)⋅2n−2(n∈N*)，
即当n≥2时，2n−1an=n⋅2n−1−(n−1)⋅2n−2，
即an=n+12，(n≥2)，
又a1=1×20=1满足上式，
即an=n+12(n∈N*)；
(2)由(1)可得bn=1anan+1=4(n+1)(n+2)=4(1n+1−1n+2)，
则Sn=4(12−13+13−14+...+1n+1−1n+2)=2−4n+2<2，
又Sn<λ2+λ对任意的正整数n都成立，
则λ2+λ≥2对任意的正整数n都成立，
即λ2+λ−2≥0，
即λ≤−2或λ≥1，
即实数λ的取值范围为(−∞,−2]∪[1,+∞)．
【解析】(1)由已知可得当n≥2时，2n−1an=n⋅2n−1−(n−1)⋅2n−2，即an=n+12，(n≥2)，又a1=1×20=1满足上式，得解；
(2)由(1)可得bn=1anan+1=4(n+1)(n+2)=4(1n+1−1n+2)，则Sn=4(12−13+13−14+...+1n+1−1n+2)=2−4n+2<2，然后解不等式λ2+λ−2≥0即可．
本题考查了等差数列通项公式的求法，重点考查了裂项求和法，属中档题．
20.【答案】解：(1)易知抛物线E的焦点F(p2,0)，双曲线y2−x23=1的渐近线方程为y=± 33x，
不妨取y= 33x，
此时x− 3y=0，
而点F到直线x− 3y=0的距离d=|p2−0| 1+3=12，
解得p=2，
则抛物线E的方程为y2=4x；
(2)由(1)知F(1,0)，直线l的方程为x=−1，
易知直线AB斜率存在且不为0，
不妨设直线AB的方程为x=my+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x=my+1y2=4x，消去x并整理得y2−4my−4=0，
此时Δ=16m2+16>0，
由韦达定理得y1+y2=4m，y1y2=−4，
所以x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2，
此时|AB|= 1+m2|y1−y2|= 1+m2 (y1+y2)2−4y1y2=4(1+m2)，
因为点M为线段AB的中点，
所以M(x1+x22,y1+y22)，
即M(2m2+1,2m)，
此时AB的中垂线的方程为y−2m=−m(x−2m2−1)，
令x=−1，
解得y=2m3+4m，
即P(−1,2m3+4m)，
所以|PM|= (2m2+2)2+(−2m3−2m)2=2(1+m2) 1+m2，
此时|PM||AB|= 1+m22≥12，
故当且仅当m=0时，|PM||AB|取得最小值，最小值为12．
【解析】(1)由题意，先得到抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，结合点到直线的距离公式再进行求解即可；
(2)设出直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理以及弦长公式列出等式进行求解即可．
本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)证明：∵a1=1，且an=an−1+1,n为偶数2an−1,n为奇数(n≥2)，bn=a2n，
∴a2=a1+1=2，∴b1+1=a2+1=3，
∴bn+1bn−1+1=a2n+1a2(n−1)+1=a2n−1+1+1a2n−2+1=2a2n−2+2a2n−2+1=2，n≥2，
∴数列{bn+1}是以3为首项，公比为2的等比数列，
∴bn+1=3⋅2n−1，∴bn=3⋅2n−1−1；
(2)∵f(x)=b1x+b2x2+…+bnxn，
∴f′(x)=b1+2b2x+…+nbnxn−1，
∴f′(1)=b1+2b2+…+nbn，
即f′(1)=(1×3×20−1)+(2×3×21−2)+…+(n⋅3⋅2n−1−n)，
=3(1×20+2×21+…n⋅2n−1)−(1+2+…+n)
设Sn=1×20+2×21+…n⋅2n−1，∴2Sn=1×21+2×22+…+(n−1)⋅2n−1+n⋅2n，
两式相减可得−Sn=20+21+…+2n−1−n⋅2n=1−2n1−2−n⋅2n=(1−n)⋅2n−1，
∴Sn=(n−1)⋅2n+1，
∴f′(1)=3Sn+(1+2+…+n)
=3(n−2)⋅2n+3+(1+n)n2=(3n−6)⋅2n+n2+n2．
【解析】(1)根据递推公式及等比数列的定义与通项公式，即可证明与求解；
(2)根据错位相减法，等差数列与等比数列的求和公式，即可求解．
本题考查根据数列递推公式求数列通项公式，错位相减法求和，属中档题．
22.【答案】解：(1)因为点P(2,1)在椭圆C且椭圆的离心率e= 32，
所以4a2+1b2=1ca= 32a2=b2+c2，
解得a=2 2b= 2c= 6，
则椭圆C的方程为x28+y22=1；
(2)联立x28+y22=1y=kx+m，消去y并整理得(1+4k2)x2+8kmx+4m2−8=0，
此时Δ=64k2m2−4(4k2+1)(4m2−8)=16(8k2−m2+2)>0，
不妨设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由韦达定理得x1+x2=−8mn1+4k2，x1x2=4m2−81+4k2，
因为k1+k2=y1−1x1−2+y2−1x2−2
=(kx1+m−1)(x2−2)+(kx2+m−1)(x1−2)(x1−2)(x2−2)=1，
所以(kx1+m−1)(x2−2)+(kx2+m−1)(x1−2)=(x1−2)(x2−2)，
即(2k−1)x1x2+(−2k+m+1)(x1+x2)−4m=0，
因为x1+x2=−8mn1+4k2，x1x2=4m2−81+4k2，
所以(2k−1)(4m2−8)1+4k2−8m(−2k+m+1)1+4k2−4m=0，
整理得m2+2km+m+4k−2=0，
即(m+2)(2k+m−1)=0，
解得m=−2或m=1−2k，
当m=1−2k时，直线l的方程为y=kx+1−2k，
此时直线l过点P(2,1)，不符合题意；
所以m=−2，
此时直线l的方程为y=kx−2，
而Δ=32(4k2−1)>0，
所以k2>14，
则|AB|= 1+k2|x1−x2|= 1+k2⋅ (x1+x2)2−4x1x2= 1+k2⋅ 32(4k2−1)1+4k2，
而点O到直线AB的距离d=2 1+k2，
则△OAB面积S=12|AB|⋅d=12⋅ 1+k2⋅ 32(4k2−1)1+4k2⋅2 1+k2
=4 2⋅ 4k2−11+4k2=4 2⋅1 4k2−1+2 4k2−1≤2，
当且仅当k2=34时，SΔOAB=2，
当k2→+∞时，SΔOAB→0，
故△OAB面积的取值范围为(0,2]．
【解析】(1)由题意，根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系，列出等式求出a和b的值，进而可得椭圆C的方程；
(2)将直线l的方程与椭圆方程联立，结合韦达定理、斜率公式以及题目所给信息列出等式求出m的取值，再分类讨论即可推出直线l的方程，根据弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式再进行求解即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．