2023-2024学年广东省广州市番禺区高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省广州市番禺区高二（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若全集U=R，集合A={0,1,2,3,4,5}，B={x|x≥3}，则A∩B=( )
A. {0,1,2}B. {3,4,5}C. {0,1,2,3}D. {4,5}
2.若复数z=i(2+i)，则|z|=( )
A. 1B. 2C. 5D. 5
3.在下列条件中，一定能使空间中的四点M，A，B，C共面的是( )
A. OM=2OA−OB−OCB. OM=14OA+14OB+14OC
C. OM+OA+OB+OC=0D. OM=16OA+13OB+12OC
4.已知直线l经过点P(0,1)，且它的一个方向向量为(1,2)，则直线l的方程为( )
A. 2x−y−1=0B. x+2y−2=0C. 2x−y+1=0D. 2x+y+1=0
5.番禺图书馆新谊是一个集知识、信息、文化为一体的综合性阅读场所.在一段时间内，若甲同学前往图书馆新馆的概率为0.5，乙前往图书馆新馆的频率为0.8，且甲、乙两人各自行动，则在此段时间内，甲、乙两人至少有一人称往番禺图书馆新馆的概率是( )
A. 0.9B. 0.8C. 0.5D. 0.4
6.设点F为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的渐近线交于A，B两点(均异于点O).若|AB|=|OF|，则双曲线C的离心率为( )
A. 2B. 3C. 2D. 5
7.如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E在BD上，点F在CB1上，则EF的最小值为( )
A. 1
B. 22
C. 33
D. 12
8.蜜蜂是母系社会生物.蜂后产的卵若能受精则孵化为雌蜂，若不能受精则孵化为雄蜂，即雄蜂是“有母无父”，雌蜂是“有父有母”的.如图是某只雄蜂的家系图，规定：其“父母”为上溯第1代祖辈，其“祖父母”为上溯第2代祖辈，以此类推.记Fn表示该雄蜂上溯第n代的祖辈数量，例如F1=1.那么，下列结论中正确的是( )
A. F7+F9>F10B. F8+F10>2F9
C. F8+F9>F7+F10D. 4F5+F9>F10
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在等差数列{an}中，已知a4=8，a12=−8，Sn是其前n项和，则下列选项正确的是( )
A. d=−2B. a8=0C. S15=54D. S33>S44
10.已知函数f(x)= 32sin2x−cs2x+12(x∈R)，则下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)的图象关于y轴对称
B. 函数f(x)的最小正周期为π
C. 点(π6,0)为函数f(x)图象的一个对称中心
D. 函数f(x)的最大值为1
11.已知O为坐标原点，点A(2,0)，动点P满足OP⋅PA=0，Q是直线x− 3y+3=0上的点，下列结论正确的是( )
A. 点P的轨迹是圆B. |PQ|的最大值为3
C. |PQ|的最小值为1D. ∠OQA0且a≠1，试判断是否存在直线x=x0，使得函数g(x)的图象关于直线x=x0对称？若存在，求出x0的值(用a表示)；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：全集U=R，集合A={0,1,2,3,4,5}，B={x|x≥3}，
则A∩B={3,4,5}．
故选：B．
利用交集定义直接求解．
本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：z=i(2+i)=−1+2i，
则|z|= (−1)2+22= 5．
故选：D．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：空间中的四点M，A，B，C共面，只需满足OM=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=1即可，
对于A，OM=2OA−OB−OC，其中2−1−1=0，所以四点M，A，B，C不共面，故A错误；
对于B，OM=14OA+14OB+14OC，其中14+14+14=34，所以四点M，A，B，C不共面，故B错误；
对于C，OM=−OA−OB−OC，其中−1−1−1=−3，所以四点M，A，B，C不共面，故C错误；
对于D，OM=16OA+13OB+12OC，其中16+13+12=1，所以四点M，A，B，C共面，故D正确．
故选：D．
空间中的四点M，A，B，C共面，只需满足OM=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=1即可，逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了空间向量共面的判定定理，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：∵直线的一个方向向量为(1,2)，
∴直线l的斜率为k=2，
∴直线l的方程为y−1=2(x−0)，即y=2x+1，即2x−y+1=0．
故选：C．
根据方向向量可得直线的斜率，进而根据点斜式解方程即可．
本题考查直线方程、直线的方向向量、斜率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：设事件A表示“甲同学前往图书馆新馆”，设事件B表示“乙同学前往图书馆新馆”，
则P(A)=0.5，P(B)=0.8，
∴在此段时间内，甲、乙两人至少有一人称往番禺图书馆新馆的概率是：
P=1−P(A−B−)=1−(1−P(A))(1−P(B))
=1−(1−0.5)(1−0.8)
=0.9．
故选：A．
设事件A表示“甲同学前往图书馆新馆”，设事件B表示“乙同学前往图书馆新馆”，则P(A)=0.5，P(B)=0.8，利用相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式能求出在此段时间内，甲、乙两人至少有一人称往番禺图书馆新馆的概率．
本题考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.【答案】A
【解析】解：如下图所示：
连接AF、BF，设AB∩OF=M，
由对称性可知，M为AB的中点，AB⊥OF，
因为|AB|=|OF|，则线段AB是以OF为直径的圆的一条直径，则M为圆心，
故M为OF的中点，
又因为AB⊥OF，且AB、OF互相垂直且平分，
所以，四边形OAFB为正方形，
则∠AOF=π4，
所以ba=tanπ4=1，
所以，该双曲线的离心率为e=ca= a2+b2a2= 1+(ba)2= 2．
故选：A．
作出图形，分析可知，四边形OAFB为正方形，可得出∠AOF=π4，求出ba的值，进而可求得该双曲线的离心率的值．
本题考查双曲线的性质，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：以D为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系：
，
则可设E(a,a,0)，其中0≤a≤1，F(b,1,b)，其中0≤b≤1，
根据图中可知直线BD和直线B1C为异面直线，
若能取到两异面直线间的距离，则此时EF距离最小，
根据异面直线公垂线的定义知EF⊥BD，EF⊥B1C，
EF=(b−a,1−a,b)，DB=(1,1,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，
则B1C=(−1,0,−1)，则EF⋅BD=b−a+1−a=0，EF⋅B1C=−b+a−b=0，
解得a=23b=13，满足a，b范围，
则此时EF= (a−b)2+(a−1)2+b2= 19+19+19= 33，
则EFmin= 33．
故选：C．
以D为坐标原点建立合适的空间直角坐标系，设E(a,a,0)，0≤a≤1，F(b,1,b)，0≤b≤1，根据异面直线距离定义利用空间两点距离公式即可得到答案．
本题考查了空间向量在立体几何中的应用，考查异面直线距离定义以及空间两点距离公式，考查数形结合思想，是中档题．
8.【答案】B
【解析】解：由题意可得，F1=F2=1，
当n≥3时，Fn=Fn−1+Fn−2，
对于A，F10=F9+F8>F9+F7，故A错误；
对于B，F8+F10−2F9=F8+F8+F9−2F9=2F8−F9=2F8−(F8+F7)=F8−F7>0，
∴F8+F10>2F9，故B正确；
对于C，F8+F9=F100，
∴F10>4F5+F9，故D错误．
故选：B．
由题意可得，F1=F2=1，当n≥3时，Fn=Fn−1+Fn−2，从而利用次性质，结合作差法对选项一一进行判断即可．
本题考查数列的递推公式，涉及归纳推理的应用，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：设数列{an}的公差为d，
由a4=8，a12=−8，得a1+3d=8a1+11d=−8，解得d=−2a1=14，
∴a8=a1+7d=14−7×2=0，故选项A，B正确；
∴S15=15a1+15×142d=15×14+15×142×(−2)=0，故选项C错误；
∴S33=3×14+3×22×(−2)3=12，S44=4×14+4×32×(−2)4=11，
∴S33>S44，故选项D正确．
故选：ABD．
设数列{an}的公差为d，根据等差数列基本量的计算求出a1和d，再结合等差数列的通项公式与前n项和公式判断各个选项即可．
本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：函数f(x)= 32sin2x−cs2x+12= 32sin2x−1+cs2x2+12
= 32sin2x−12cs2x
=sin(2x−π6)(x∈R)，
因为f(x)不是偶函数，图象关于y轴不对称，A错误；
由ω=2知，f(x)的最小正周期为π，故B正确；
由f(π6)=sinπ6=12≠0，
∴点(π6,0)不是函数f(x)图象的一个对称中心，C错误；
由sin(2x−π6)∈[−1,1]，∴f(x)的最大值是1，D正确．
故选：BD．
化函数f(x)为正弦型函数，再依次判断选项中的命题是否正确．
本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：设P(x,y)，则OP⋅PA=(x,y)⋅(2−x,−y)=x(2−x)−y2=0，即(x−1)2+y2=1，
所以P点轨迹是圆，此圆圆心为C(1,0)，半径为r=1，OA是圆的一条直径．
因为C点到直线x− 3y+3=0的距离为d=|1−0+3| 12+(− 3)2=2>1，
所以直线与圆相离，所以|PQ|无最大值，最小值为2−1=1，
由于已知直线与以OA为直径的圆相离，∠OQAb，则A>B，
所以B=π6；
(2)由a= 3b，c=8，C=π6及余弦定理，
可得c2=a2+b2−2abcsC，
即64=3b2+b2−2 3b2× 32=b2，
解得b=8，a=8 3，
所以S△ABC=12absinC=12×8×8 3×12=16 3．
【解析】(1)由已知及正弦定理，可求得sinB，进而求得B；
(2)由已知及余弦定理，可求得b=8，a=8 3，进而求得△ABC面积．
本题考查应用正、余弦定理解三角形，属中档题．
18.【答案】解：(1)由题可知，0.2×(a+1.0+1.5+0.9+a+0.3)=1，
解得a=0.65，
由频率分布直方图可得x−=0.3×0.65×0.2+0.5×1.0×0.2+0.7×1.5×0.2+0.9×0.9×0.2+1.1×0.65×0.2+1.3×0.3×0.2=0.732，
因此，这100位客户最近一年到该超市消费金额的平均数为0.732万元；
(2)记“幸运客户中恰有1人来自区间(0.3,0.4]”为事件A，
因为区间(0.4,0.6]和(0.6,0.8]频率之比为2：3，采用分层抽样的方法抽取5人进行电话访谈，
故从分组区间(0.4,0.6]中抽取2人，分别记为A1，A2，从分组区间(0.6,0.8]中抽取3人，分别记为B1，B2B3，
从这5个人中随机选择2人作为“幸运客户”，
则样本空间Ω={(A1,A2)，(A1,B1)(A1,B2)，(A1,B3)，(A2,B1)(A2,B2)，(A2,B3)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B2,B3)}，共10个样本点，
A={(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)}，共6个样本点，
所以P(A)=610=35．
【解析】(1)由题得，0.2×(a+1.0+1.5+0.9+a+0.3)=1，求得a=0.65，再利用平均数公式求解；
(2)先利用分层抽样得到分组区间(0.4,0.6]中抽取2人，分组区间(0.6,0.8]中抽取3人，再由古典概型的概率公式求解．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了古典概型的概率公式，属于基础题．
19.【答案】解：(1)∵3a1，2a2，a3成等差数列，
∴2×2a2=3a1+a3，
∴4a1q=3a1+a1q2，
化为q2−4q+3=0，q≠1，
解得q=3．
∴an=3n．
(2)∵数列{bn}的前n项和Sn=n2，
∴n≥2时，bn=Sn−Sn−1=n2−(n−1)2=2n−1，
n=1时，b1=S1=1，满足上式，
∴bn=2n−1，
an⋅bn=(2n−1)⋅3n，
∴数列{an⋅bn}的前n项和Tn=3+3×32+5×33+…+(2n−1)⋅3n，
3Tn=32+3×33+…+(2n−3)⋅3n+(2n−1)⋅3n+1，
相减可得：−2Tn=3+2×(32+33+…+3n)−(2n−1)⋅3n+1=3+2×9×(3n−1−1)3−1−(2n−1)⋅3n+1，
化为：Tn=(n−1)⋅3n+1+3．
【解析】(1)由3a1，2a2，a3成等差数列，可得2×2a2=3a1+a3，利用通项公式即可得出结论．
(2)由数列{bn}的前n项和Sn=n2，n≥2时，bn=Sn−Sn−1，n=1时，b1=S1，可得bn，利用错位相减法即可得出数列{an⋅bn}的前n项和Tn．
本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)证明：因为三棱柱ABC−A1B1C1为直三棱柱，
所以AA1⊥平面ABC，
因为BC⊂平面ABC，
所以AA1⊥BC，
又因为AD⊥平面A1BC，BC⊂平面A1BC，
所以AD⊥BC，
又因为AA1∩AD=A，AA1⊂平面A1AB，AD⊂平面A1AB，
所以BC⊥平面A1AB，
又因为A1B⊂平面A1AB，
所以BC⊥A1B；
(2)由(1)知BC⊥平面A1AB，
因为AB⊂平面A1AB，所以BC⊥AB．
所以BA，BC，BB1两两互相垂直，
以B为坐标原点，BC，BA，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
则B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，B1(0,0,4)，P(1,1,0)，A1(0,2,2 3)，
所以BA1=(0,2,2 3)，BP=(1,1,0)，
设平面A1PB的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅BA1=2y+2 3z=0m⋅BP=x+y=0，
令z= 3，得y=−3，x=3，所以n=(3,−3, 3)，
由题知，平面PBC的一个法向量为n=(0,0,1)，
设平面A1PB与平面PBC的夹角为θ，
则csθ=|cs〈m,n〉|=|m⋅n||m||n|= 3 21= 77，
所以平面A1PB与平面PBC的夹角的余弦值为 77．
【解析】(1)由线面垂直的判定定理证明即可；
(2)建立空间直角坐标系，由向量法求平面与平面的夹角即可．
本题考查线线垂直的证明和平面与平面所成角，属于中档题．
21.【答案】解：(1)设动点M(x,y)，依题意有yx−2⋅yx+2=m4(m≠0)，
整理得x24−y2m=1,m≠0，
∴动点M的轨迹方程为x24−y2m=1，
当m>0时，轨迹是焦点在x轴上的双曲线，
当m∈(−4,0)时，轨迹是焦点在x轴上的椭圆，
当m=−4时，轨迹是圆，
当m∈(−∞,−4)时，轨迹是焦点在y轴上的椭圆，且点A1(−2,0)，A2(2,0)不在曲线上；
(2)设直线l的方程为y=kx+t，E(x1,y1)，F(x2,y2)，
由y=kx+tx24+y2=1，解得(1+4k2)x2+8ktx+4(t2−1)=0，
由韦达定理有x1+x2=−8kt1+4k2，x1x2=4t2−41+4k2且Δ=16(1+4k2−t2)>0，
∵k1，k，k2构成等比数列，
∴k2=k1k2=(kx1+t)(kx2+t)x1x2，即kt(x1+x2)+t2=0，
由韦达定理代入化简得k2=14，∵k>0，∴k=12．
【解析】(1)设动点M(x,y)，依题意有yx−2⋅yx+2=m4(m≠0)，由此能求出动点M的轨迹方程，并能指出随m变化时方程所表示的曲线的形状；
(2)设直线l的方程为y=kx+t，E(x1,y1)，F(x2,y2)，由y=kx+tx24+y2=1，得(1+4k2)x2+8ktx+4(t2−1)=0，由此利用韦达定理、等比数列的性质即可求解k的值．
本题主要考查轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)根据题意，当a=−1时，f(x)=2lg(10x−1)，
必有10x−1>0，解可得x>0，即f(x)的定义域为(0,+∞)；
(2)当a=1时，f(x)=2lg(10x+1)，则g(x)=2lg(10x+1)−x，其定义域为R，
g(−x)=2lg(10−x+1)+x=2lg(1+10x10x)+x=2lg(10x+1)−x=g(x)，
则函数g(x)为偶函数；
(3)根据题意，假设存在直线x=x0，使得函数g(x)的图象关于直线x=x0对称，
则有g(x0+x)=g(x0−x)，即2lg(10x0+x+a)−(x0+x)=2lg(10x0−x+a)−(x0−x)，
则有2lg(10x0+x+a)−2lg(10x0−x+a)=2x，
化简可得：lg(10x0+x+a10x0−x+a)=x，则有10x0+x+a10x0−x+a=10x，
进而可得10x0+x+a=(10x0−x+a)×10x，
变形可得(10x0−a)(10x+1)=0，必有10x0=a，即x0=lga，
故存在直线x=lga，使得函数g(x)的图象关于直线x=lga对称．
【解析】(1)根据题意，由对数函数的性质可得10x−1>0，解可得答案；
(2)根据题意，求出g(x)的解析式，进而分析可得答案；
(3)根据题意，先假设存在直线x=x0，使得函数g(x)的图象关于直线x=x0对称，由此可得g(x0+x)=g(x0−x)，即2lg(10x0+x+a)−(x0+x)=2lg(10x0−x+a)−(x0−x)，变形分析可得x0=lga，即可得结论．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，考查运算求解能力，属于中档题．