备考2024届高考物理一轮复习讲义第十一章磁场第2讲磁场运动电荷的作用考点4带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题

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研透高考 明确方向
命题点1 带电粒子电性不确定形成多解
13.[多选]如图所示，左、右边界分别为PP'、QQ'的匀强磁场的宽度为d，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里.一个质量为m、电荷量绝对值为q的粒子，沿图示方向以速度v0垂直射入磁场.欲使粒子不能从边界QQ'射出，粒子入射速度v0的最大值可能是（ AC ）
A.（2+2）BqdmB.Bqdm
C.（2－2）BqdmD.2Bqd2m
解析 粒子射入磁场后做匀速圆周运动，由R＝mv0qB知，粒子的入射速度v0越大，R越大，当粒子的运动轨迹和边界QQ'相切时，粒子刚好不从QQ'射出，此时其入射速度v0应为最大.若粒子带正电，其运动轨迹如图（a）所示（此时圆心为O点），由几何关系得R1sin45°＋d＝R1，将R1＝mv0qB代入上式得v0＝（2+2）Bqdm，A正确.若粒子带负电，其运动轨迹如图（b）所示（此时圆心为O'点），由几何关系得R2＋R2cs45°＝d，将R2＝mv0qB代入上式得v0＝（2－2）Bqdm，C正确.
命题点2 磁场方向不确定形成多解
14.如图所示，在x轴上方有方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，在x轴下方也有垂直纸面的匀强磁场（图中未画出）.一个质量为m、电荷量为q的带负电粒子，在纸面内以大小为v的速度从O点与x轴负方向成θ＝60°角射入x轴上方磁场，粒子第1次经过x轴时的位置为P（图中未画出），第2次经过x轴时的位置为Q（图中未画出），且粒子从O点到P点的运动时间等于粒子从P点到Q点的运动时间，不计粒子受到的重力.求：
（1）从P点到O点的距离；
（2）x轴下方匀强磁场的磁感应强度大小和方向.
答案 （1）3mvBq （2）见解析
解析 （1）根据题意可知，粒子在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，如图甲所示.
根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝mv2r
根据几何关系有OP＝2rsinθ
联立解得OP＝3mvBq.
（2）根据圆周运动的周期T＝2πrv＝2πmBq
则带电粒子在磁场中的运动时间为t＝α2πT＝αmBq.
①若x轴下方的磁场方向垂直纸面向外，粒子的运动轨迹如图乙所示.
由于粒子从O点到P点的运动时间等于粒子从P点到Q点的运动时间，则根据几何知识可知圆心角α1＝α2＝240°
故有B下＝B；
②若x轴下方的磁场方向垂直纸面向里，粒子的运动轨迹如图丙所示.
由于粒子从O点到P点的运动时间等于粒子从P点到Q点的运动时间，则根据几何关系有α3＝12α1＝120°
故有B下'＝12B.
图甲 图乙 图丙
命题点3 临界状态（速度大小）不确定形成多解
15.[2022湖北/多选]在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直.离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角.已知离子比荷为k，不计重力.若离子从Р点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为（ BC ）
A.13kBL，0°B.12kBL，0°
C.kBL，60°D.2kBL，60°
解析 若离子的入射速度v＝13kBL，则轨迹半径r＝mvqB＝L3，则轨迹如图甲所示，由几何关系可以得出θ＝60°，选项A错误；若v＝12kBL，则轨迹半径r＝mvqB＝L2，则轨迹如图乙所示，由几何关系可以得出θ＝0°，选项B正确；若v＝kBL，则轨迹半径r＝mvqB＝L，则轨迹如图丙所示，由几何关系可以得出θ＝60°，选项C正确；若v＝2kBL，则轨迹半径r＝mvqB＝2L，则轨迹如图丁所示，从图中可以看出离子不从P点射出，选项D错误.

图甲 图乙

图丙 图丁
命题点4 运动的周期性形成多解
16.[2023全国甲/多选]光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图所示.一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞.假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变.不计重力.下列说法正确的是（ BD ）
A.粒子的运动轨迹可能通过圆心O
B.最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出
C.射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短
D.每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线
解析 假设粒子带负电，作出粒子在圆筒中的几种可能的运动情况.如图1所示，由几何关系可知△O1PO≌△O1QO，所以∠O1PO＝∠O1QO，又粒子沿直径射入，∠O1PO＝90°，则∠O1QO＝90°，O1Q⊥OQ，则每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线，D对；粒子在圆筒中先做圆周运动，与筒壁碰后速度反向，继续做圆周运动，粒子第一次与筒壁碰撞的运动过程中轨迹不过圆心，之后轨迹也不可能过圆心，A错；粒子最少与筒壁碰撞2次，就可能从小孔射出，如图2所示，B对；根据qvB＝mv2r可知r＝mvqB，则射入小孔时粒子的速度越大，粒子的轨迹半径越大，与筒壁碰撞次数可能会增多，在圆筒内运动的时间不一定越短，如图3所示，C错.

图1 图2
图3
多解分类
多解原因
示意图
带电粒子
电性不确定
带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子在磁场中的运动轨迹不同
磁场方向
不确定
题目只说明了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，必须考虑磁感应强度方向有两种情况
临界状态
（速度大小）
不确定
带电粒子在飞越有界磁场时，可能直接穿过去了，也可能从入射界面反向飞出
运动的
往复性
带电粒子在空间运动时，其运动轨迹可能具有往复性