备考2024届高考数学一轮复习强化训练第二章函数第2讲函数的单调性与最值

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x1f（x1）＋x2f（x2）≥x1f（x2）＋x2f（x1），则称f（x）为“H函数”.现给出下列函数，其中是“H函数”的有 ②④ .（填上所有正确答案的序号）
①f（x）＝x2－2x＋3；
②f（x）＝2x－1；
③f（x）＝lg（x－1）；
④f（x）＝1，x<0，2x+1，x≥0.
解析 根据题意，对任意x1≠x2，都有x1f（x1）＋x2f（x2）≥x1f（x2）＋x2f（x1）恒成立，则有f（x1）（x1－x2）－f（x2）（x1－x2）≥0，即[f（x1）－f（x2）]（x1－x2）≥0，当x1＜x2时，x1－x2＜0，则f（x1）－f（x2）≤0，即f（x1）≤f（x2），
所以若函数f（x）为“H函数”，则函数f（x）在R上为增函数或常数函数.
对于①，因为f（x）＝x2－2x＋3的图象开口向上，对称轴为x＝1，所以f（x）在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，故其不是“H函数”.
对于②，易得f（x）＝2x－1在R上单调递增，满足“H函数”的定义.
对于③，f（x）＝lg（x－1）的定义域为（1，＋∞），不满足“H函数”的定义.
对于④，因为f（x）＝1，x<0，2x+1，x≥0，所以当x＜0时，f（x）为常数函数；当x≥0时，
f（x）单调递增，且1＜20＋1.显然f（x）满足“H函数”的定义.故答案为②④.
2.[命题点2角度1/2023山东师大附中、长沙一中等校联考]设函数f（x）＝（32）｜x｜＋x2，若a＝f（ln 3），b＝f（－lg52），c＝f（1e），则（ D ）
A.a＞b＞cB.c＞b＞a
C.c＞a＞bD.a＞c＞b
解析 由题意知f（－x）＝f（x），所以f（x）是R上的偶函数.当x＞0时，f（x）＝
（32）x＋x2单调递增，则b＝f（－lg52）＝f（lg52），ln 3＞1，0＜lg52＜lg55＝12，
1＞1e＞12，即ln 3＞1e＞lg52，则f（ln 3）＞f（1e）＞f（lg52），即f（ln 3）＞f（1e）＞
f（－lg52），故a＞c＞b，故选D.
3.[命题点2角度2]已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＝f（－x），且f（x）在
（－∞，0]上单调递减，若不等式f（ax＋2）≤f（－1）对任意的x∈[1，2]恒成立，则a的最大值为 －1 .
解析 由f（x）满足f（x）＝f（－x），可知f（x）的图象关于y轴对称，因为f（x）在（－∞，0]上单调递减，所以f（x）在[0，＋∞）上单调递增.根据f（x）的图象特征可得当x∈[1，2]时，－1≤ax＋2≤1恒成立，即－3x≤a≤－1x恒成立，所以－32≤a≤－1，故a的最大值为－1.
4.[命题点2角度3]已知函数f（x）＝（1－2a）x，x<1，ax+4，x≥1，且对任意的x1，x2∈R，x1≠x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x2＞0，则a的取值范围是 [－1，0） .
解析 由于对任意的x1，x2∈R，x1≠x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x2＞0，所以函数f（x）在R上为增函数，所以1－2a>1，a<0，1－2a≤a+4，解得－1≤a＜0.
5.[命题点3/2023河北唐山联考]若函数f（x）与g（x）对任意的x1，x2∈[c，d]，都有
f（x1）·g（x2）≥k，则称函数f（x）与g（x）是区间[c，d]上的“k阶友好函数”.已知函数f（x）＝2 022x－1与g（x）＝x2－（a＋1）x＋2－a是区间[1，2]上的“3阶友好函数”，则实数a的取值范围是 （－∞，－12] .
解析 因为函数f（x）＝2 022x－1与g（x）＝x2－（a＋1）x＋2－a是区间[1，2]上的“3阶友好函数”，所以当x1，x2∈[1，2]时，f（x1）·g（x2）≥3恒成立.易知f（x1）＞
0，故g（x2）＞0.又f（x）＝2 022x－1在[1，2]上单调递增，所以当x∈[1，2]时，
f（x）min＝f（1）＝1，所以f（x1）·g（x2）≥f（1）·g（x2）＝g（x2），故当x∈[1，2]时，g（x）＝x2－（a＋1）x＋2－a≥3恒成立，即a≤x2－x－1x+1恒成立.x2－x－1x+1＝（x+1）2－3（x+1）+1x+1＝x＋1＋1x+1－3.设h（t）＝t＋1t－3，t∈[2，3]，由对勾函数性质可知，h（t）在[2，3]上单调递增，所以h（t）min＝h（2）＝－12，所以a≤－12.