备考2024届高考数学一轮复习强化训练第二章函数第7讲函数的零点与方程的解复合函数的零点问题

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例6 已知函数f（x）＝ex，x<0，6x3－9x2+1，x≥0，则g（x）＝2[f（x）]2－3f（x）－2的零点个数为（ B ）
A.2B.3C.4D.5
解析 由2[f（x）]2－3f（x）－2＝0，解得f（x）＝－12或f（x）＝2.
当x≥0时，f（x）＝6x3－9x2＋1，则f'（x）＝18x2－18x＝18x（x－1）.
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0；当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0.
因此函数f（x）＝6x3－9x2＋1在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，且f（0）＝1，f（1）＝－2，当x→＋∞时，f（x）→
＋∞，作出函数f（x）的图象，如图中的实线所示.结合图象可知，直线y＝－12，直线y＝2与f（x）的图象共有3个不同的交点.
所以g（x）的零点个数为3，故选B.
方法技巧
复合函数的零点个数问题的求解关键：一是注意观察图象特征；二是将外层函数的定义域和内层函数的值域准确对接.
训练4 [多选/2024云南省下关第一中学模拟]函数y＝f（x）和y＝g（x）在[－2，2]上的图象分别如图1，2所示.
则以下四个说法正确的是（ ACD ）
A.方程f（g（x））＝0有且仅有6个根
B.方程g（f（x））＝0有且仅有3个根
C.方程f（f（x））＝0有且仅有5个根
D.方程g（g（x））＝0有且仅有4个根
解析 易得函数f（x）有3个零点，分别设为m1，m2，m3，令m1＜m2＜m3，则有m1∈（－2，－1），m2＝0，m3∈（1，2）.函数g（x）有2个零点，分别设为n1，n2，令n1＜n2，则有n1∈（－2，－1），n2∈（0，1）.
对于A，方程f（g（x））＝0的根的个数即g（x）的图象与直线y＝m1，y＝0，y＝m3的交点个数之和，如图1，易得总共有6个交点，故A正确.
对于B，方程g（f（x））＝0的根的个数即f（x）的图象与直线y＝n1，y＝n2的交点个数之和，如图2，易得总共有4个交点，故B错误.
图1图2
对于C，方程f（f（x））＝0的根的个数即f（x）的图象与直线y＝m1，y＝0，y＝m3的交点的个数之和，如图3，易得总共有5个交点，故C正确.
对于D，方程g（g（x））＝0的根的个数即g（x）的图象与直线y＝n1，y＝n2的交点个数之和，如图4，易得总共有4个交点，故D正确.故选ACD.
图3图4
角度2 已知复合函数零点个数求参数
例7 [2023广西示范性高中联考]已知函数f（x）＝2x－1，x<1，x2－6x+6，x≥1，若函数F（x）＝[f（x）]2－2af（x）＋3a－1有5个零点，则实数a的取值范围为 （0，13] .
解析 作出f（x）图象如图所示，F（x）有5个零点等价于[f（x）]2－
2af（x）＋3a－1＝0有5个不等实根.设f（x）＝t，则t2－2at＋3a－1＝0有两个不等实根，∴Δ＝4a2－4（3a－1）＞0，即a＜3－52或a＞3+52.记t2－2at＋3a－1＝0的两根为t1，t2，则t1=1，00，3a－1≤0，1－2a+3a－1>0，解得0＜a≤13.综上所述，实数a的取值范围为（0，13].
方法技巧
已知复合函数零点个数求参数问题的解题关键：一是会转化，会把函数的零点转化为方程的根；二是会构造，通过换元法，把复合方程的根的问题转化为更简单的方程根的问题；三是会作图，明晰“草图不草”；四是会用图，通过观察图象特征，求得参数的取值范围.
训练5 [2023云南大理模拟]若函数F（x）＝｜（12）｜x｜－12｜＋b|(12）｜x｜－12｜＋c有5个零点，则实数b的取值范围是 （0，14） ，实数c的取值范围是 （－1，－12） .
解析 函数F（x）＝｜（12）｜x｜－12｜＋b|(12）｜x｜－12｜＋c有5个零点，等价于关于x的方程｜（12）｜x｜－12｜＋b|(12）｜x｜－12｜＋c＝0有5个不同的实根.
令f（x）＝｜（12）｜x｜－12｜＝t（t＞0），则有t＋bt＋c＝0，即t2＋ct＋b＝0（t＞0）.
画出f（x）＝｜（12）｜x｜－12｜的图象，如图所示，
数形结合可知，若｜（12）｜x｜－12｜＋b|(12）｜x｜－12｜＋c＝0有5个不同的根，则t2＋ct＋b＝0（t＞0）的一个根是12，另一个根的取值范围为（0，12）.
则14＋12c＋b＝0，且－c2＜12，02＋c×0＋b＞0，解得b＞0，c＞－1，
由14＋12c＋b＝0，得c＝－2b－12＞－1，解得b＜14；
由14＋12c＋b＝0，得b＝－12c－14＞0，解得c＜－12.
综上所述，b∈（0，14），c∈（－1，－12）.