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备考2024届高考数学一轮复习强化训练第二章函数第5讲对数与对数函数指数对数幂值比较大小的策略
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这是一份备考2024届高考数学一轮复习强化训练第二章函数第5讲对数与对数函数指数对数幂值比较大小的策略，共4页。
例6 （1）[2023南京六校联考]若a＝0.40.5，b＝0.50.4，c＝lg324，则a，b，c的大小关系是（ D ）
A.a＜b＜cB.b＜c＜a
C.c＜b＜aD.c＜a＜b
解析 因为0.40.5＜0.50.5＜0.50.4，所以a＜b.因为c＝lg324＝lg2522＝25lg22＝0.4＜0.40.5＝a，所以c＜a＜b，故选D.
（2）[2022全国卷甲]已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则（ A ）
A.a＞0＞bB.a＞b＞0
C.b＞a＞0D.b＞0＞a
解析 因为9m＝10，所以m＝lg910，所以a＝10m－11＝10lg910－11＝10lg910－10lg1011，因为lg910－lg1011＝lg10lg9－lg11lg10＝（lg10）2－lg9·lg11lg9·lg10＞（lg10）2－（lg9+lg112）2lg9·lg10＝1－（lg992）2lg9＞0，所以a＞0.b＝8lg910－9＝8lg910－8lg89，因为lg910－lg89＝lg10lg9－lg9lg8＝lg10·lg8－（lg9）2lg9·lg8＜（lg10+lg82）2－（lg9）2lg9·lg8＝（lg802）2－（lg812）2lg9·lg8＜0，所以b＜0.综上，a＞0＞b.故选A.
策略2 图象法
例7 [2024山西大学附中模拟]若ea＝－ln a，e－b＝ln b，e－c＝－ln c，则（ B ）
A.a＜b＜cB.a＜c＜b
C.b＜c＜aD.b＜a＜c
解析 在同一直角坐标系中作出y＝ex，y＝e－x，y＝ln x，y＝－ln x的图象，如图所示，由图象可知a＜c＜b.故选B.
策略3 构造函数法
例8 [全国卷Ⅰ]设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则（ D ）
A.2x＜3y＜5zB.5z＜2x＜3y
C.3y＜5z＜2xD.3y＜2x＜5z
解析 令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k＞1.
解法一（作差法） 易知x＝lgklg2，y＝lgklg3，z＝lgklg5.
因为k＞1，所以lg k＞0，所以2x－3y＝2lgklg2－3lgklg3＝lgk×（2lg3－3lg2）lg2×lg3＝lgk×lg98lg2×lg3＞0，故2x＞3y，2x－5z＝2lgklg2－5lgklg5＝lgk×（2lg5－5lg2）lg2×lg5＝lgk×lg2532lg2×lg5＜0，故2x＜5z.所以3y＜2x＜5z.
解法二（作商法） 易知x＝lgklg2，y＝lgklg3，z＝lgklg5.
由2x3y＝23×lg3lg2＝lg9lg8＞1，得2x＞3y，
由5z2x＝52×lg2lg5＝lg25lg52＞1，得5z＞2x.
所以3y＜2x＜5z.
解法三（函数法） 易知x＝lnkln2，y＝lnkln3，z＝lnkln5.
设函数f（t）＝tlnklnt（t＞0，t≠1），则f（2）＝2lnkln2＝2x，f（3）＝3lnkln3＝3y，f（5）＝5lnkln5＝5z.
f'（t）＝lnk·lnt－1t·tlnk（lnt）2＝（lnt－1）lnk（lnt）2，
易得当t∈（e，＋∞）时，f'（t）＞0，函数f（t）单调递增.
因为e＜3＜4＜5，所以f（3）＜f（4）＜f（5）.
又f（2）＝2lnkln2＝2×2lnk2ln2＝4lnkln4＝f（4），
所以f（3）＜f（2）＜f（5），即3y＜2x＜5z.
方法技巧
指数、对数、幂值比较大小的策略
1.直接利用函数的性质，题目中出现的常数，特殊值（如0，1）等比较大小.
2.当待比较大小的代数式无法单独分离出来时，通常会考虑代数式的几何意义，通过图象，利用交点坐标比较大小.
3.式子结构比较麻烦，或呈现一定规律时，通常会构造新函数，利用新函数的单调性比较大小.
4.作差、作商也是比较大小常用的方法.
训练4 （1）[2024山东省枣庄市第三中学模拟]设x＝e0.03，y＝1.032，z＝ln（e0.6＋e0.4），则x，y，z的大小关系为（ A ）
A.z＞y＞xB.y＞x＞z
C.x＞z＞yD.z＞x＞y
解析 易得ln x＝0.03，ln y＝2ln 1.03＝2ln（1＋0.03），令f（x）＝x－2ln（1＋x）（0＜x＜110），则f'（x）＝1－2x+1＝x－1x+1＜0，∴f（x）在（0，110）上递减，∴f（x）＜0－2ln（1＋0）＝0，则x＜2ln（1＋x），∴0.03＜2ln（1＋0.03），故y＞x.y＝1.032＝1.060 9，z＝
ln（e0.6＋e0.4）＞ln 2e0.6+0.4＝ln 2＋ln e＝ln 2＋12，易得ln 2＞35，∴z＞1.1，∴y＜z.故z＞y＞x，故选A.
（2）[多选/2023黑龙江西北八校联考]已知实数x，y，z满足z·lnx＝z·ey＝1，则下列关系式可能成立的是（ ABC ）
A.x＞y＞zB.x＞z＞y
C.z＞x＞yD.z＞y＞x
解析 由题知实数x，y，z满足ln x＝ey＝1z，在同一直角坐标系中分别作出函数m＝ln n，m＝en，m＝1n的大致图象，如图所示，再分别作出与n轴平行且与三个函数图象均相交的直线，依次记为m＝m1，m＝m2，m＝m3，如图所示.
由直线m＝m1与三个函数图象的交点情况可得z＞x＞y，由直线m＝m2与三个函数图象的交点情况可得x＞z＞y，由直线m＝m3与三个函数图象的交点情况可得x＞y＞z.故选ABC.
（3）[多选/2024广东省汕头市金禧中学模拟]若0＜c＜b＜1＜a，则下列不等式正确的是（ ABC ）
A.lg2 024a＞lg2 024bB.lgca＞lgba
C.（c－b）ac＞（c－b）abD.（a－c）ac＞（a－c）ab
解析 对选项A：因为a＞1＞b＞0，且f（x）＝lg2 024x为增函数，所以f（a）＞f（b），即lg2 024a＞lg2 024b，故A正确.
对选项B：因为a＞1＞b＞c＞0，所以lgac＜lgab＜0，
所以1lgac＞1lgab，即lgca＞lgba，故B正确.
对选项C，D：由题意易知ac＜ab且c－b＜0，a－c＞0，
所以（c－b）ac＞（c－b）ab，（a－c）ac＜（a－c）ab，
所以C正确，D错误. 故选ABC.
例6 （1）[2023南京六校联考]若a＝0.40.5，b＝0.50.4，c＝lg324，则a，b，c的大小关系是（ D ）
A.a＜b＜cB.b＜c＜a
C.c＜b＜aD.c＜a＜b
解析 因为0.40.5＜0.50.5＜0.50.4，所以a＜b.因为c＝lg324＝lg2522＝25lg22＝0.4＜0.40.5＝a，所以c＜a＜b，故选D.
（2）[2022全国卷甲]已知9m＝10，a＝10m－11，b＝8m－9，则（ A ）
A.a＞0＞bB.a＞b＞0
C.b＞a＞0D.b＞0＞a
解析 因为9m＝10，所以m＝lg910，所以a＝10m－11＝10lg910－11＝10lg910－10lg1011，因为lg910－lg1011＝lg10lg9－lg11lg10＝（lg10）2－lg9·lg11lg9·lg10＞（lg10）2－（lg9+lg112）2lg9·lg10＝1－（lg992）2lg9＞0，所以a＞0.b＝8lg910－9＝8lg910－8lg89，因为lg910－lg89＝lg10lg9－lg9lg8＝lg10·lg8－（lg9）2lg9·lg8＜（lg10+lg82）2－（lg9）2lg9·lg8＝（lg802）2－（lg812）2lg9·lg8＜0，所以b＜0.综上，a＞0＞b.故选A.
策略2 图象法
例7 [2024山西大学附中模拟]若ea＝－ln a，e－b＝ln b，e－c＝－ln c，则（ B ）
A.a＜b＜cB.a＜c＜b
C.b＜c＜aD.b＜a＜c
解析 在同一直角坐标系中作出y＝ex，y＝e－x，y＝ln x，y＝－ln x的图象，如图所示，由图象可知a＜c＜b.故选B.
策略3 构造函数法
例8 [全国卷Ⅰ]设x，y，z为正数，且2x＝3y＝5z，则（ D ）
A.2x＜3y＜5zB.5z＜2x＜3y
C.3y＜5z＜2xD.3y＜2x＜5z
解析 令2x＝3y＝5z＝k，由x，y，z为正数，知k＞1.
解法一（作差法） 易知x＝lgklg2，y＝lgklg3，z＝lgklg5.
因为k＞1，所以lg k＞0，所以2x－3y＝2lgklg2－3lgklg3＝lgk×（2lg3－3lg2）lg2×lg3＝lgk×lg98lg2×lg3＞0，故2x＞3y，2x－5z＝2lgklg2－5lgklg5＝lgk×（2lg5－5lg2）lg2×lg5＝lgk×lg2532lg2×lg5＜0，故2x＜5z.所以3y＜2x＜5z.
解法二（作商法） 易知x＝lgklg2，y＝lgklg3，z＝lgklg5.
由2x3y＝23×lg3lg2＝lg9lg8＞1，得2x＞3y，
由5z2x＝52×lg2lg5＝lg25lg52＞1，得5z＞2x.
所以3y＜2x＜5z.
解法三（函数法） 易知x＝lnkln2，y＝lnkln3，z＝lnkln5.
设函数f（t）＝tlnklnt（t＞0，t≠1），则f（2）＝2lnkln2＝2x，f（3）＝3lnkln3＝3y，f（5）＝5lnkln5＝5z.
f'（t）＝lnk·lnt－1t·tlnk（lnt）2＝（lnt－1）lnk（lnt）2，
易得当t∈（e，＋∞）时，f'（t）＞0，函数f（t）单调递增.
因为e＜3＜4＜5，所以f（3）＜f（4）＜f（5）.
又f（2）＝2lnkln2＝2×2lnk2ln2＝4lnkln4＝f（4），
所以f（3）＜f（2）＜f（5），即3y＜2x＜5z.
方法技巧
指数、对数、幂值比较大小的策略
1.直接利用函数的性质，题目中出现的常数，特殊值（如0，1）等比较大小.
2.当待比较大小的代数式无法单独分离出来时，通常会考虑代数式的几何意义，通过图象，利用交点坐标比较大小.
3.式子结构比较麻烦，或呈现一定规律时，通常会构造新函数，利用新函数的单调性比较大小.
4.作差、作商也是比较大小常用的方法.
训练4 （1）[2024山东省枣庄市第三中学模拟]设x＝e0.03，y＝1.032，z＝ln（e0.6＋e0.4），则x，y，z的大小关系为（ A ）
A.z＞y＞xB.y＞x＞z
C.x＞z＞yD.z＞x＞y
解析 易得ln x＝0.03，ln y＝2ln 1.03＝2ln（1＋0.03），令f（x）＝x－2ln（1＋x）（0＜x＜110），则f'（x）＝1－2x+1＝x－1x+1＜0，∴f（x）在（0，110）上递减，∴f（x）＜0－2ln（1＋0）＝0，则x＜2ln（1＋x），∴0.03＜2ln（1＋0.03），故y＞x.y＝1.032＝1.060 9，z＝
ln（e0.6＋e0.4）＞ln 2e0.6+0.4＝ln 2＋ln e＝ln 2＋12，易得ln 2＞35，∴z＞1.1，∴y＜z.故z＞y＞x，故选A.
（2）[多选/2023黑龙江西北八校联考]已知实数x，y，z满足z·lnx＝z·ey＝1，则下列关系式可能成立的是（ ABC ）
A.x＞y＞zB.x＞z＞y
C.z＞x＞yD.z＞y＞x
解析 由题知实数x，y，z满足ln x＝ey＝1z，在同一直角坐标系中分别作出函数m＝ln n，m＝en，m＝1n的大致图象，如图所示，再分别作出与n轴平行且与三个函数图象均相交的直线，依次记为m＝m1，m＝m2，m＝m3，如图所示.
由直线m＝m1与三个函数图象的交点情况可得z＞x＞y，由直线m＝m2与三个函数图象的交点情况可得x＞z＞y，由直线m＝m3与三个函数图象的交点情况可得x＞y＞z.故选ABC.
（3）[多选/2024广东省汕头市金禧中学模拟]若0＜c＜b＜1＜a，则下列不等式正确的是（ ABC ）
A.lg2 024a＞lg2 024bB.lgca＞lgba
C.（c－b）ac＞（c－b）abD.（a－c）ac＞（a－c）ab
解析 对选项A：因为a＞1＞b＞0，且f（x）＝lg2 024x为增函数，所以f（a）＞f（b），即lg2 024a＞lg2 024b，故A正确.
对选项B：因为a＞1＞b＞c＞0，所以lgac＜lgab＜0，
所以1lgac＞1lgab，即lgca＞lgba，故B正确.
对选项C，D：由题意易知ac＜ab且c－b＜0，a－c＞0，
所以（c－b）ac＞（c－b）ab，（a－c）ac＜（a－c）ab，
所以C正确，D错误. 故选ABC.
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