备考2024届高考数学一轮复习强化训练第三章一元函数的导数及其应用第3讲导数与函数的极值最值

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A.f（x）有两个极值点
B.f（x）有三个零点
C.点（0，1）是曲线y＝f（x）的对称中心
D.直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线
解析 因为f（x）＝x3－x＋1，所以f'（x）＝3x2－1，令f'（x）＝3x2－1＝0，得x＝±33.由f'（x）＝3x2－1＞0得x＞33或x＜－33；由f'（x）＝3x2－1＜0得－33＜x＜33.所以
f（x）＝x3－x＋1在（33，＋∞），（－∞，－33）上单调递增，在（－33，33）上单调递减，所以f（x）有两个极值点，故A正确.
因为f（x）的极小值f（33）＝（33）3－33＋1＝1－239＞0，f（－2）＝（－2）3－（－2）＋1＝－5＜0，所以函数f（x）在R上有且只有一个零点，故B错误.
因为函数g（x）＝x3－x的图象向上平移一个单位长度得函数f（x）＝x3－x＋1的图象，函数g（x）＝x3－x的图象关于原点（0，0）中心对称且g（0）＝0，所以点（0，1）
是曲线f（x）＝x3－x＋1的对称中心，故C正确.
假设直线y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，切点为（x0，y0），则f'（x0）＝3x02－1＝2，解得x0＝±1.若x0＝1，则切点坐标为（1，1），但点（1，1）不在直线y＝2x上，若x0＝
－1，则切点坐标为（－1，1），但点（－1，1）不在直线y＝2x上，所以假设不成立，故D错误.故选AC.
2.[命题点2/2021全国卷乙]设a≠0，若x＝a为函数f（x）＝a（x－a）2（x－b）的极大值点，则（ D ）
A.a＜bB.a＞bC.ab＜a2D.ab＞a2
解析 解法一（分类与整合法） 因为函数f（x）＝a（x－a）2（x－b），所以f'（x）＝2a（x－a）（x－b）＋a（x－a）2＝a（x－a）（3x－a－2b）.令f'（x）＝0，结合a≠0可得x＝a或x＝a+2b3.
（1）当a＞0时，
①若a+2b3＞a，即b＞a，此时易知函数f（x）在（－∞，a）上单调递增，在（a，a+2b3）上单调递减，所以x＝a为函数f（x）的极大值点，满足题意；
②若a+2b3＝a，即b＝a，此时函数f（x）＝a（x－a）3在R上单调递增，无极值点，不满足题意；
③若a+2b3＜a，即b＜a，此时易知函数f（x）在（a+2b3，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增，所以x＝a为函数f（x）的极小值点，不满足题意.
（2）当a＜0时，
①若a+2b3＞a，即b＞a，此时易知函数f（x）在（－∞，a）上单调递减，在（a，a+2b3）上单调递增，所以x＝a为函数f（x）的极小值点，不满足题意；
②若a+2b3＝a，即b＝a，此时函数f（x）＝a（x－a）3在R上单调递减，无极值点，不满足题意；
③若a+2b3＜a，即b＜a，此时易知函数f（x）在（a+2b3，a）上单调递增，在（a，＋∞）上单调递减，所以x＝a为函数f（x）的极大值点，满足题意.
综上，a＞0且b＞a满足题意，a＜0且b＜a也满足题意.据此，可知必有ab＞a2成立.故选D.（解题技巧：分类讨论之后，需要及时整合，有利于进一步分析、求解）
解法二（特值排除法） 当a＝1，b＝2时，函数f（x）＝（x－1）2（x－2），画出该函数的图象如图1所示，可知x＝1为函数f（x）的极大值点，满足题意.从而，根据a＝1，b＝2可判断选项B，C错误.当a＝－1，b＝－2时，函数f（x）＝－（x＋1）2（x＋2），画出该函数的图象如图2所示，可知x＝－1为函数f（x）的极大值点，满足题意.从而，根据a＝－1，b＝－2可判断选项A错误.综上，选D.
图1图2
解法三（数形结合法） 当a＞0时，根据题意画出函数f（x）的大致图象，如图3所示，观察可知b＞a.
图3图4
当a＜0时，根据题意画出函数f（x）的大致图象，如图4所示，观察可知a＞b.
综上，可知必有ab＞a2成立.故选D.
3.[命题点2角度2/2022全国卷乙]已知x＝x1和x＝x2分别是函数f（x）＝2ax－ex2（a＞0且a≠1）的极小值点和极大值点.若x1＜x2，则a的取值范围是 （1e，1） .
解析 由题意，f'（x）＝2axln a－2ex，根据f（x）有极小值点x＝x1和极大值点x＝x2可知，x＝x1，x＝x2为f'（x）＝0的两个不同的根，又x1＜x2，所以易知当x∈（－∞，x1），（x2，＋∞）时，f'（x）＜0；当x∈（x1，x2）时，f'（x）＞0.
由f'（x）＝0可得axlna＝ex.
解法一 因为a＞0且a≠1，所以显然x≠0，
所以e＝axlnax.
令g（x）＝axlnax，则g（x）的图象与直线y＝e有两个交点，g'（x）＝ax（lna）2x－axlnax2＝axlna[(lna）x－1]x2.
令g'（x）＝0，得x＝1lna.故当x＞1lna时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x＜1lna时，
g'（x）＜0，g（x）单调递减.
所以g（x）极小值＝g（1lna）＝a1lnalna1lna＝a1lna（ln a）2，也是最小值.
所以a1lna（ln a）2＜e，
因为a1lna＝algaelgaa＝algae＝e，
所以（ln a）2＜1，
若a＞1，则当x→＋∞时，f'（x）→＋∞，不符合题意，
所以0＜a＜1，则－1＜ln a＜0，1e＜a＜1.
所以a∈（1e，1）.
解法二 若a＞1，则当x→＋∞时，f'（x）→＋∞，不符合题意，舍去.
若0＜a＜1，令g（x）＝axlna，h（x）＝ex，
在同一平面直角坐标系中作出函数g（x）和h（x）的大致图象，如图所示.
因为f'（x）＝0有两个不同的根，所以g（x）与h（x）的图象需要有两个交点，
则过原点且与g（x）的图象相切的直线l的斜率k＜e.
设直线l与g（x）的图象的切点坐标为（x0，ax0ln a），因为g'（x）＝ax（ln a）2，
所以k＝ax0（ln a）2＝ax0lnax0，可得x0＝1lna，
从而k＝a1lna（ln a）2＜e，即e（ln a）2＜e，则（ln a）2＜1，又0＜a＜1，所以－1＜ln a＜0，所以a∈（1e，1）.
4.[命题点3角度1/江苏高考]若函数f（x）＝2x3－ax2＋1（a∈R）在（0，＋∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[－1，1]上的最大值与最小值的和为 －3 .
解析 f'（x）＝6x2－2ax＝2x（3x－a）（a∈R），当a≤0时，f'（x）＞0在（0，＋∞）上恒成立，则f（x）在（0，＋∞）上单调递增.又f（0）＝1，所以此时f（x）在（0，
＋∞）内无零点，不满足题意.当a＞0，x＞0时，由f'（x）＞0得x＞a3，由f'（x）＜0得0＜x＜a3，则f（x）在（0，a3）上单调递减，在（a3，＋∞）上单调递增.又f（x）在（0，
＋∞）内有且只有一个零点，所以f（a3）＝－a327＋1＝0，解得a＝3.所以f（x）＝2x3－3x2＋1，则f'（x）＝6x（x－1），当x∈（－1，0）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
则f（x）在[－1，1]上的最大值为f（0）＝1.又f（－1）＝－4，f（1）＝0，则f（x）在[－1，1]上的最小值为－4，所以f（x）在[－1，1]上的最大值与最小值的和为－3.