备考2024届高考数学一轮复习强化训练第三章一元函数的导数及其应用第2讲导数与函数的单调性

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A.f（x）＝5－xB.f（x）＝2－x
C.f（x）＝34x2＋1D.f（x）＝x3
解析 对于A选项，exf（x）＝ex·5－x＝（e5）x，在R上单调递减，故f（x）＝5－x不具有M性质；
对于B选项，exf（x）＝ex·2－x＝（e2）x，e2＞1，在R上单调递增，故f（x）＝2－x具有M性质；
对于C选项，exf（x）＝ex（34x2＋1），则[exf（x）]'＝ex（34x2＋1）＋ex·32x＝ex（34x2＋32x＋1）＝34ex[（x＋1）2＋13]＞0，所以exf（x）＝ex（34x2＋1）在R上单调递增，故f（x）＝34x2＋1具有M性质；
对于D选项，f（x）＝x3的定义域为R，则exf（x）＝exx3，[exf（x）]'＝exx3＋3x2ex＝
x2ex（x＋3），令ex·x2（x＋3）＜0，解得x＜－3，所以exf（x）在（－∞，－3）上单调递减，故f（x）＝x3不具有M性质.故选BC.
2.[命题点2/2023绵阳市一诊]已知函数f（x）＝x2＋12ln x－mx＋m－1（m∈R）.
（1）讨论函数f（x）在（0，＋∞）上的单调性；
（2）当x∈[12，＋∞）时，f（x）≥0，求m的值.
解析 （1）由题意得f'（x）＝2x＋12x－m，∵x＞0，∴2x＋12x≥22x·12x＝2（当且仅当x＝12时等号成立）.
①当m≤2时，不等式f'（x）≥0恒成立（当且仅当x＝12，且m＝2时“＝”成立），
∴函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增.
②当m＞2时，由f'（x）＞0，得0＜x＜m－m2－44或x＞m＋m2－44；由f'（x）＜0，得m－m2－44＜x＜m＋m2－44.
∴函数f（x）在（0，m－m2－44）和（m＋m2－44，＋∞）上单调递增，在（m－m2－44，m＋m2－44）上
单调递减.
综上，当m≤2时，函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，无单调递减区间；
当m＞2时，函数f（x）在（0，m－m2－44）和（m＋m2－44，＋∞）上单调递增，在（m－m2－44，m＋m2－44）上单调递减.
（2）当x∈[12，＋∞）时，由f（1）＝0知，要使得f（x）≥0恒成立，则f'（1）＝0.
又f'（x）＝2x＋12x－m，
∴f'（1）＝2＋12－m＝0，解得m＝52.
下证：当m＝52时，f（x）≥0恒成立，
此时f（x）＝x2＋12ln x－52x＋32.
f'（x）＝2x＋12x－52＝4x2－5x+12x＝（4x－1)(x－1）2x.
∵x∈[12，＋∞），
∴由f'（x）＞0，解得x＞1，
由f'（x）＜0，解得12≤x＜1.
∴f（x）在[12，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.∴f（x）≥f（1）＝0.
综上，m＝52.
3.[命题点3角度2/2021全国卷乙]设a＝2ln 1.01，b＝ln 1.02，c＝1.04－1，则（ B ）
A.a＜b＜cB.b＜c＜a
C.b＜a＜cD.c＜a＜b
解析 b－c＝ln 1.02－1.04＋1，设f（x）＝ln （x＋1）－1+2x＋1，则b－c＝
f（0.02），f'（x）＝1x+1－221+2x＝1+2x－（x+1）1+2x·（x+1）.
当x≥0时，x＋1＝（x+1）2≥1+2x，故当x≥0时，f'（x）＝1+2x－（x+1）1+2x·（x+1）≤0（当且仅当x＝0时“＝”成立），
所以f（x）在[0，＋∞）上单调递减，
所以f（0.02）＜f（0）＝0，
即b＜c.
a－c＝2ln 1.01－1.04＋1，设g（x）＝2ln （x＋1）－1+4x＋1，则a－c＝g（0.01），g'（x）＝2x+1－421+4x＝2[1+4x－（x+1)]（x+1）1+4x，
当0≤x＜2时，4x+1≥（x+1）2＝x＋1，
故当0≤x＜2时，g'（x）≥0（当且仅当x＝0时“＝”成立），
所以g（x）在[0，2）上单调递增，
所以g（0.01）＞g（0）＝0，故c＜a，从而有b＜c＜a，故选B.
4.[命题点3角度3/2023广州二模]已知偶函数f（x）与其导函数f'（x）的定义域均为R，且f'（x）＋e－x＋x也是偶函数，若f（2a－1）＜f（a＋1），则实数a的取值范围是（ B ）
A.（－∞，2）B.（0，2）
C.（2，＋∞）D.（－∞，0）∪（2，＋∞）
解析 因为f（x）为偶函数，所以f（x）＝f（－x），等式两边求导可得f'（x）＝
－f'（－x） ①，（易错：对等式f（x）＝f（－x）两边同时求导的时候，要注意等式右边是一个复合函数，不要把负号漏掉了）
因为函数f'（x）＋e－x＋x为偶函数，所以f'（x）＋e－x＋x＝f'（－x）＋ex－x ②，
联立①②可得f'（x）＝ex－e－x2－x.
令g（x）＝f'（x），则g'（x）＝ex+e－x2－1≥ex·e－x－1＝0，
当且仅当x＝0时取等号，
所以函数g（x）在R上单调递增，
即函数f'（x）在R上单调递增，故当x＞0时，f'（x）＞f'（0）＝0，
所以函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，由f（2a－1）＜f（a＋1）可得f（｜2a－1｜）＜f（｜a＋1｜），
所以｜2a－1｜＜｜a＋1｜，整理可得a2－2a＜0，解得0＜a＜2.故选B.