备考2024届高考数学一轮复习强化训练第四章三角函数第5讲三角函数的图象与性质

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解析 易知f（sin x）＝2sin2x－1＋1－sin2x＋2sin x－3＝sin2x＋2sin x－3，所以f（x）＝x2＋2x－3（－1≤x≤1），曲线y＝x2＋2x－3的对称轴为直线x＝－1，所以函数f（x）在区间[－1，1]上单调递增，所以f（－1）≤f（x）≤f（1），即－4≤f（x）≤0，所以f（x）的值域为[－4，0].
2.[命题点2/2023潍坊市高三统考]已知函数f（x）＝3sin x＋4cs x，且f（x）≤f（θ）对任意x∈R恒成立，若角θ的终边经过点P（4，m），则m＝ 3 .
解析 因为f（x）＝3sin x＋4cs x＝5sin（x＋φ），其中cs φ＝35，sin φ＝45，则sin（θ＋φ）＝1，所以θ＋φ＝π2＋2kπ（k∈Z），所以θ＝π2－φ＋2kπ（k∈Z），所以sin θ＝sin（π2－φ）＝cs φ＝35，同理cs θ＝45，所以tan θ＝m4＝sinθcsθ＝34，所以m＝3.
3.[命题点3角度1/多选/2023福建省福州市联考]如图所示，一个质点在半径为2的圆O上以点P为起始点，沿逆时针方向运动，每3 s转一圈.该质点到x轴的距离关于时间t的函数记为f（t）.下列说法正确的是（ AC ）
A.f（t）＝｜2sin（2π3t－π4）｜
B.f（t）＝2sin（2π3t－π4）
C.f（t）的最小正周期为32
D.f（t）的最小正周期为3
解析 由题可知，质点的角速度为2π3 rad/s，因为点P为起始点，沿逆时针方向运动，设经过t s之后所成角为φ，则φ＝2πt3－π4，根据任意角的三角函数定义有yP＝2sin（2πt3－π4），所以该质点到x轴的距离为f（t）＝｜2sin（2π3t－π4）｜，故A正确，B错误；因为f（t）＝｜2sin（2π3t－π4）｜，所以f（t）的最小正周期为π2π3＝32，故C正确，D错误.故选AC.
4.[命题点3/多选/2023河北名校联考]已知函数f（x）＝2sin（ωx＋π4）＋b（ω＞0）的最小正周期T满足π2＜T＜3π2，且P（－π8，1）是f（x）图象的一个对称中心，则（ AC ）
A.ω＝2
B.f（x）的值域是[－2，2]
C.直线x＝π8是f（x）图象的一条对称轴
D.f（x＋π4）是偶函数
解析 对于A，因为P（－π8，1）是函数f（x）图象的一个对称中心，所以－π8ω＋π4＝kπ（k∈Z），且b＝1，得ω＝2－8k（k∈Z）.又π2＜T＜3π2，且ω＞0，即π2＜2πω＜3π2，所以43＜ω＜4，所以ω＝2，故A正确.
对于B，由对A的分析得f（x）＝2sin（2x＋π4）＋1，因为－1≤sin（2x＋π4）≤1，所以
f（x）∈[－1，3]，故B不正确.
对于C，解法一 由2x＋π4＝kπ＋π2（k∈Z），得x＝kπ2＋π8（k∈Z），当k＝0时，x＝π8，所以直线x＝π8是函数f（x）图象的一条对称轴，故C正确.
解法二 将x＝π8代入f（x），可得f（π8）＝3（f（x）的最大值），所以直线x＝π8是f（x）图象的一条对称轴，故C正确.
对于D，因为f（x＋π4）＝2sin[2（x＋π4）＋π4]＋1＝2sin（2x＋π2＋π4）＋1＝2cs（2x＋π4）＋1，显然该函数不是偶函数，故D不正确.综上所述，选AC.