备考2024届高考数学一轮复习强化训练第四章三角函数第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式

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A.223B.255C.－223D.－255
解析 由sinθ－csθ＝33，得1－2sinθcsθ＝13，∴sinθcsθ＝13，∴（sinθ＋
cs θ）2＝1＋2sin θ·csθ＝53.
∵θ是第一象限角，∴sinθ＋csθ＝153.
解法一 易得sinθ＝3（5+1）6，csθ＝3（5－1）6，∴tan θ＝5+15－1，
∴tan 2θ＝2×5+15－1÷[1－（5+15－1）2]＝－255，故选D.
解法二 易得sinθcsθ＝13，∴sin 2θ＝23，
∵sinθ－csθ＞0，θ是第一象限角，∴π4＜θ＜π2，（易错警示：不知道求角θ的范围造成增解）
∴π2＜2θ＜π，
∴cs 2θ＝－53，∴tan 2θ＝－255，故选D.
2.[命题点2/北京高考]已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是“sinα＝sinβ”的（ C ）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 若存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ，则当k＝2n，n∈Z时，α＝2nπ＋β，则sinα＝sin（2nπ＋β）＝sinβ；当k＝2n＋1，n∈Z时，α＝（2n＋1）π－β，则sinα＝
sin（2nπ＋π－β）＝sin（π－β）＝sin β.若sin α＝sin β，则α＝2nπ＋β或α＝2nπ＋π－β，n∈Z，即α＝kπ＋（－1）kβ，k∈Z，故“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是
“sinα＝sinβ”的充分必要条件.
3.[命题点3/2023广东惠州一模]若tan α＝csα3－sinα，则sin（2α＋π2）＝（ D ）
A.23B.13C.89D.79
解析 因为tan α＝csα3－sinα，所以sinαcsα＝csα3－sinα，
即3sinα－sin2α＝cs2α，
所以3sinα＝sin2α＋cs2α＝1，
即sinα＝13，
所以sin（2α＋π2）＝cs 2α＝1－2sin2α＝79，
故选D.