2022-2023学年北京十四中八年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年北京十四中八年级（下）开学数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列运算式中，正确的是( )
A. a2⋅a3=a6B. (a3)3=a9C. (2a2)2=2a4D. a6÷a3=a2
3.已知∠AOB.下面是“作一个角等于已知角，即作∠A′O′B′=∠AOB”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是( )
A. SASB. SSSC. AASD. ASA
4.化简a2b−ab2b−a结果正确的是
( )
A. abB. −abC. a2−b2D. b2−a2
5.长方形的面积是12a2−6ab.若一边长是3a，则另一边长是( )
A. 4a+2bB. 4a−2bC. 2a−4bD. 2a+4b
6.若一个多边形的内角和等于1800°，这个多边形的边数是( )
A. 6B. 8C. 10D. 12
7.生物小组的同学想用18米长的篱笆围成一个等腰三角形区域作为苗圃，如果苗圃的一边长是4米，那么苗圃的另外两边长分别是( )
A. 4米，4米B. 4米，10米
C. 7米，7米D. 7米，7米，或4米，10米
8.如图，△ABC和△CED为直角三角形，∠B=∠E=90°，AC=CD且AC⊥CD，则下列说法不正确的是( )
A. ∠CAD=∠CDA
B. AD=AB+DE
C. △ABC≌△CED
D. ∠BAC+∠CDE=90°
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.若代数式x−2x+3的值等于零，则实数x的值是______ ．
10.如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD=BE，AC/​/DF.添加一个条件，使得△ABC≌△DEF.不增加任何新的字母或线，这个条件可以是 ．
11.分解因式：x2y−4xy+4y=______．
12.如图，已知△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，∠A=50°，则∠DBC的度数是______ ．
13.如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP/​/OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于______．
14.在平面直角坐标系xOy中，长方形ABCD的两条对称轴是坐标轴，邻边长分别为4，6.若点A在第一象限，则点C的坐标是______ ．
15.如图，△ABC是等边三角形，AE=BD，AD与CE交于点F，则∠CFD的度数是______ ．
16.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(4,0)，B(0,4)，P(1,2)，Q(2,−1)，连接AB.在线段AB上作点M，使得PM+QM最小，并求点M的坐标．
在探索过程中，同学们提出了三种不同的方法，作法与图示如下表：
其中正确的方法是 (填写序号)，点M的坐标是 ．
三、计算题：本大题共2小题，共13分。
17.计算：|−5|+2−2−(π−2022)0．
18.解方程：2xx−2=1−12−x．
四、解答题：本题共8小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
化简：
(1)(−ab)3÷(−3a3bc)；
(2)(a+4)(a−4)−(a−1)2．
20.(本小题8分)
如图，点A，B，C，D在一条直线上，且AB=CD，若∠1=∠2，EC=FB.求证：∠E=∠F．
21.(本小题8分)
先化简，再求值：(x+3x+2−6x+2)⋅x2+4x+4x−3，其中x从−2，2，3三个数中任取一个合适的值．
22.(本小题8分)
2022年北京中考体育考试进行改革，现初二、初一考生，中考体育分数50分，包含过程性考核．八年级第一学期体质健康测试以及八年级第二学期的体育与健康知识考核，共计20分．为了提高学生体育锻炼的意识和能力、丰富学生体育锻炼的内容，学校准备购买一批体育用品．在购买跳绳时，甲种跳绳比乙种跳绳的单价低5元，用2250元购买甲种跳绳与用3000元购买乙种跳绳的数量相同，求甲、乙两种跳绳的单价各是多少元？
23.(本小题9分)
若两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，则这两条线段称为这个三角形的三分线．
(1)如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，图1中BD，DE将△ABC分成了三个等腰三角形，所以BD，DE是△ABC的三分线．
请在图2和图3中分别画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数(画出两种不同的分法)．
(2)如图4，△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数(画出一种分法即可)．
24.(本小题10分)
在等边△ABC中，点P，Q是BC边上的两个动点(不与B，C重合)，点P在点Q的左侧，且AP=AQ．
(1)若∠BAP=20°，则∠AQB=______°；
(2)在图1中，求证：BP=CQ；
(3)点M在边AC上，CM=CQ，点D为AQ的中点，连接MD并延长交AB于点N，连接PM，PN．
①依题意将图2补全；
②猜想△PMN的形状，并证明．
25.(本小题3分)
阅读下列材料，然后回答问题．
已知a>0，S1=1a，S2=−S1−1，S3=1S2，S4=−S3−1，S5=1S4，….当n为大于1的奇数时，Sn=1Sn−1；当n为大于1的偶数时，Sn=−Sn−1−1．
(1)求S3；(用含a的代数式表示)
(2)直接写出S2020=______；(用含a的代数式表示)
(3)计算：S1+S2+S3+…+S2022=______．
26.(本小题7分)
在平面直角坐标系xOy中，对于点P和正方形OABC，给出如下定义：若点P关于y轴的对称点P′到正方形OABC的边所在直线的最大距离是最小距离的k倍，则称点P是正方形OABC的“k倍距离点”．
已知：点A(a,0)，B(a,a)．
(1)当a=4时，
①点C的坐标是______；
②在P1(−1,1)，P2(−2,2)，P3(2,2)三个点中，______是正方形OABC的“3倍距离点”；
(2)当a=6时，点P(−2,n)(其中n>0)是正方形OABC的“2倍距离点”，求n的取值范围；
(3)点M(−2,2)，N(−3,3).当0答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A选项是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B选项是轴对称图形，故此选项正确不符合题意；
C选项是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D选项不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
根据轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
2.【答案】B
【解析】解：A选项，原式=a5，故A错误，
C选项，原式=4a4，故C错误，
D选项，原式=a3，故D错误，
故选B
根据整式的运算法则即可判断．
本题考查整式的运算，涉及同底数幂的乘除法，积的乘方等知识．
3.【答案】B
【解析】解：由作图得DO=D′O′=CO=C′O′，CD=C′D′，
在△DOC和△D′O′C′中，
DO=D′O′CO=C′O′CD=C′D′,
∴△DOC≌△D′O′C′(SSS)，
∴∠O′=∠O．
故选：B．
作图过程可得DO=D′O′=CO=C′O′，CD=C′D′，利用SSS判定△DOC≌△D′O′C′，可得∠O′=∠O．
本题考查了作图−基本作图，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．
4.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了分式的化简，正确分解因式是解题关键．
首先将分式的分子因式分解，进而约分求出即可．
【解答】
解：a2b−ab2b−a=ab(a−b)−(a−b)=−ab．
故选B．
5.【答案】B
【解析】解：∵长方形的面积是12a2−6ab，一边长是3a，
∴它的另一边长是：(12a2−6ab)÷3a=12a2÷3a−6ab÷3a=4a−2b．
故选：B．
直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．
此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得(n−2)×180=1800，
解得n=12，
∴这个多边形是12边形．
故选：D．
n边形的内角和可以表示成(n−2)⋅180°，设这个正多边形的边数是n，得到方程，从而求出边数．
此题考查了多边形的内角和定理，掌握多边形的内角和为(n−2)×180°是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：当4米为腰时，另两边为4米，10米．
∵4+4<10，
∴不合题意舍去，
当4米为底边时，另两边为：7米，7米，
故选：C．
分两种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
本题考查了等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA，所以A选项不符合题意；
∵AC⊥CD，
∴∠ACD=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，
∵∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠CDE+∠DCE=90°，
∴∠BAC+∠CDE=90°，所以D选项不符合题意；
在△ABC和△CED中，
∠B=∠E∠CAB=∠DCEAC=CD，
∴△ABC≌△CED(AAS)，所以C选项不符合题意；
∴AB=CE，BC=DE，
∴BE=BC+CE=AB+DE，
而AD>BE，所以B选项符合题意．
故选：B．
根据等腰三角形的性质可对A选项进行判断；利用等角的余角相等∠CAB=∠DCE，则∠BAC+∠CDE=90°，则可对D选项进行判断；接着利用“AAS”判断△ABC≌△CED，则可对C选项进行判断；根据全等三角形的性质得到AB=CE，BC=DE，则BE=AB+DE，于是可对B选项进行判断．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，余角的性质，证明△ABC≌△CED是解决问题的关键．
9.【答案】2
【解析】解：代数式x−2x+3的值等于零时，x−2=0，x+3≠0，
解得，x=2，
故答案为：2．
根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零解答．
本题考查的是分式的值为零的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解题的关键．
10.【答案】AC=DF(答案不唯一)
【解析】解；添加AC=DF；
∵AD=BE，
∴AD+DB=BE+DB，
即AB=DE．
∵AC/​/DF，
∴∠A=∠FDB，
在△ABC和△DEF中，
AB=DE∠A=∠FDEAC=DF,
∴△ABC≌△DEF(SAS)．
故答案为：AC=DF(答案不唯一)．
要使得△ABC≌△DEF.由条件可得到AB=DE，∠A=∠FDB，再加条件AC=DF，可以用SAS证明其全等．
此题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
11.【答案】y(x−2)2
【解析】【分析】
先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．本题考查了提公因式法，公式法分解因式，难点在于提取公因式后要进行二次分解因式，分解因式要彻底．
【解答】
解：x2y−4xy+4y，
=y(x2−4x+4)，
=y(x−2)2．
故答案为y(x−2)2.
12.【答案】25°
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠C=∠ABC，
∵∠A=50°．
∴∠C=∠ABC=180°−∠A2=180°−50°2=65°，
∵BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴∠DBC=90°−∠C=90°−65°=25°．
故答案为：25°．
根据等腰三角形的性质得到∠C=∠ABC，根据垂直的定义，三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是三角形内角和定理，等腰三角形的性质，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．
13.【答案】2
【解析】解：作PE⊥OA于E，
∵CP/​/OB，
∴∠OPC=∠POD，
∵P是∠AOB平分线上一点，∠AOB=30°，
∴∠POA=∠POD=15°，
∴∠ACP=∠OPC+∠POA=30°，
∴PE=12PC=2，
∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PD=PE=2，
故答案为：2．
作PE⊥OA于E，根据三角形的外角的性质得到∠ACP=30°，根据直角三角形的性质得到PE=12PC=2，根据角平分线的性质解答；
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
14.【答案】(−2,−3)或(−3,−2)
【解析】解：∵长方形ABCD的两条对称轴是坐标轴，点A在第一象限，
∴点C在第三象限，
∵长方形ABCD的邻边长分别为4，6，
∴点C的坐标为(−2,−3)或(−3,−2)，
故答案为：(−2,−3)或(−3,−2)．
由题意判断点C在第三象限，由邻边长分别为4，6，可求解．
本题考查了坐标与图形性质，矩形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
15.【答案】60°
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠CAE=∠ABD=60°，AC=BA．
在△ACE和△BAD中，
AC=BA∠CAE=∠ABDAE=BD，
∴△ACE≌△BAD(SAS)，
∴∠ACE=∠BAD．
∵∠CFD=∠CAF+ACF，∠BAD+∠CAF=∠ACF+∠CAF=60°，
∴∠CFD=60°，
故答案为：60°．
先由等边三角形的性质可得出∠CAE=∠ABD=60°，AC=BA，再证△ACE≌△BAD(SAS)，得出∠ACE=∠BAD，然后根据三角形的外角性质即可得出结论．
本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
16.【答案】②
(2,2)

【解析】解：作点P关于直线AB的对称点P′，连接QP′交AB于点M，点M即为所求．
观察图形可知，方法②正确．M(2,2)．
故答案为：②，(2,2)．
本题考查作图−轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17.【答案】解：|−5|+2−2−(π−2022)0
=5+14−1
=4+14
=174．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地化简各式是解题的关键．
18.【答案】解：去分母得：2x=x−2+1，
移项合并得：x=−1，
经检验x=−1是分式方程的解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
19.【答案】解：(1)原式=(−a3b3)⋅(−c3a3b)
=b2c3．
(2)原式=a2−16−(a2−2a+1)
=a2−16−a2+2a−1
=2a−17．
【解析】(1)根据积的乘方运算、分式的除法运算即可求出答案．
(2)根据平方差公式以及完全平方公式即可求出答案．
本题考查分式的除法，整式的混合运算，解题的关键是熟练运用积的乘方运算、分式的除法运算、平方差公式以及完全平方公式．
20.【答案】证明：∵∠1+∠DBF=180°，∠2+∠ACE=180°．
又∵∠1=∠2，
∴∠DBF=∠ACE，
∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，
即AC=DB，
在△ACE 和△DBF中，
EC=FB∠ACE=∠DBFAC=DB
∴△ACE≌△DBF(SAS)，
∴∠E=∠F．
【解析】本题考查了全等三角形的性质和判定，证明△ACE≌△DBF是解此题的关键．
根据邻补角求出∠DBF=∠ACE，根据等式性质求出AC=DB，再根据SAS推出△ACE≌△DBF，根据全等三角形的性质得出即可．
21.【答案】解：(x+3x+2−6x+2)⋅x2+4x+4x−3
=x+3−6x+2⋅x2+4x+4x−3
=x−3x+2⋅x+22x−3
=x+2，
∵x+2≠0，x−3≠0，
∴x≠−2，x≠3，
∴当x=2时，原式=2+2=4．
【解析】先利用同分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
22.【答案】解：设甲种跳绳的单价为x元，则乙种跳绳的单价为(x+5)元，
由题意得：2250x=3000x+5，
解得：x=15，
经检验，x=15是原方程的解，且符合题意，
则x+5=15+5=20，
答：甲种跳绳的单价为15元，乙种跳绳的单价为20元．
【解析】设甲种跳绳的单价为x元，则乙种跳绳的单价为(x+5)元，由题意：用2250元购买甲种跳绳与用3000元购买乙种跳绳的数量相同，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
23.【答案】解：(1)如图：
第一个图中：BD，CE即为所求，
第二个图中：BD，DE即为所求；
(2)如图：
AD，BE即为所求．
【解析】(1)根据三分线的定义、等腰三角形的判定画出图形；
(2)根据三分线的定义、等腰三角形的判定画出图形；
本题考查了新定义下的作图，掌握等腰三角形的判定(等角对等边)是解题的关键．
24.【答案】(1)80；
(2)证明：过点A作AH⊥BC于点H，
∵△ABC为等边三角形，
∴BH=CH，
∵AP=AQ
∴△APQ是等腰三角形
∴PH=QH，
∴BP=BH−PH=CH−QH=CQ；
(3)解：①连接MD并延长交AB于点N，连接PM，PN，补全图如下：
②△PMN为等边三角形，理由：
连接CM，∵CM=CQ，∠C=60°，
∴△CQM为等边三角形，则CQ=CM=QM，
∴∠B=∠CQM=60°，
∴QM//AB，
∴∠MQD=∠NAD，∠ADN=∠DMQ，
∵D为AQ的中点，即AD=QD，
∴△ADN≌△QDM(AAS)，
∴AN=QM，
设等边三角形ABC的边长为a，等边三角形CMN的边长为b，
则AN=QM=b，
由(2)知，则BP=CQ=b=AN，
而BN=AB−AN=a−b，AM=AC−CM=a−b=BN，
在△BNP和△MAN中，
AM=BN∠MAN=∠B=60°BP=AN，
∴△ANM≌△BPN(SAS)，
∴MN=PN，
同理可得：MN=PM，
∴MN=PN=PM，
∴△PMN为等边三角形．
【解析】(1)解：∵△ABC为等边三角形，
则∠BAC=∠B=∠C=60°，
在△ABP中，∠APQ=∠B+∠BAP=60°+20°=80°，
∵AP=AQ，
∴∠AQB=∠APQ=80°，
故答案为：80；
(2)见答案；
(3)见答案．
(1)在△ABP中，∠APQ=∠B+∠BAP=60°+20°=80°，而AP=AQ，即可求解；
(2)证明BH=CH，PH=QH，即可求解；
(3)①按要求补全图即可；
②证明△ADN≌△QDM(AAS)、△ANM≌△BPN(SAS)，得到MN=PN，进而求解．
本题考查了三角形三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质等，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．
25.【答案】−1a+1 −1011
【解析】解：(1)∵S1=1a，
∴S2=−S1−1=−1a−1=−a+1a，
∴S3=1S2=−aa+1；
(2)∵S1=1a，
∴S2=−S1−1=−1a−1=−a+1a，
∴S3=1S2=−aa+1，
∴S4=−S3−1=aa+1−1=a−a−1a+1=−1a+1，
∴S5=1S4=−(a+1)，
∴S6=a+1−1=a，
∴S7=1a，
…，
∵2020÷6=336…4，
∴S2020=−1a+1，
故答案为：−1a+1；
(3)∵S1=1a，
∴S2=−S1−1=−1a−1=−a+1a，
∴S3=1S2=−aa+1，
∴S4=−S3−1=aa+1−1=a−a−1a+1=−1a+1，
∴S5=1S4=−(a+1)，
∴S6=a+1−1=a，
∴S7=1a，
…，
∴S1+S2+S3+S4+S5+S6=1a+(−a+1a)+(−aa+1)+(−1a+1)+[−(a+1)]+a=−3，
∵2022÷6=337，
∴S1+S2+S3+…+S2022
=(−3)×337
=−1011，
故答案为：−1011．
(1)根据题目中的材料，可以计算出S3的值；
(2)根据题目中的材料，可以计算出前几项的值，可以发现数据的变化规律，从而可以求得S2020的值；
(3)根据(2)中发现的规律可以计算出前6项的值，从而可以计算出S1+S2+S3+…+S2022的值．
本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律，求出相应的项的值和所求式子的值．
26.【答案】(1)①(0,4);
②P1，P3；
(2)当a=6时，如图2，点A(6,0)，B(6,6).C(0,6)，
∵点P(−2,n)关于y轴的对称点坐标为(2,n)，n>0，
当02，
P′到BC的距离6−n， P′到OA的距离n，
当6−nn=2时，n=2．
当n6−n=2时，n=4，
当2≤n≤4时，P ′到AB的距离P ′到OC的距离=2，
当42，
当n≥6时均不符合题意．
综上所述：点P(−2,n)(其中n>0)是正方形OABC的“2倍距离点”时，n的取值范围是2≤n≤4．
(3)∵点M(−2,2)，N(−3,3)关于y轴的对称点坐标为M′(2,2)，N′(3,3)．
设直线M′N′的解析式为y=kx+b，
代入M′(2,2)，N′(3,3)得，
2k+b=23k+b=3，
∴k=1b=0，
∴直线M′N′的解析式为y=x．
设线段M′N′上一点P(m,m)，
则2≤m≤3，
当P在正方形内时，
①a−mm=2，
∴a=3m，
∴6≤a≤9(舍去)．
②ma−m=2，
∴a=32m，
∴3≤a≤92．
当P在正方形外时，
mm−a=2，
∴a=12m，
此时不存在m−am=2的情况，
∴1≤a≤32；
∴线段MN上存在正方形OABC的“2倍距离点”，a的取值范围是1≤a≤32或3≤a≤92．
【解析】解：(1)①当a=4时，如图1，点A(4,0)，B(4,4)．
∵四边形OABC是正方形，
∴OC=OA=4，
点C的坐标是(0,4)．
②∵点P1(−1,1)关于y轴的对称点坐标为(1,1)，
而点(1,1)到正方形OABC的边所在直线AB的最大距离是4−1=3，到OA的最小距离为1，
∴点P1是正方形OABC的“3倍距离点”；
同理可得点P2(−2,2)是正方形OABC的“1倍距离点”；
同理可得点P3(2,2)是正方形OABC的“3倍距离点”；
∴P1，P3是正方形OABC的“3倍距离点”，
(2)见答案；
(3)见答案。
(1)①当a=4时，可得点A(4,0)，B(4,4).根据四边形OABC是正方形，可得OC=OA=4，所以点C的坐标是(0,4)；
②根据点P1(−1,1)关于y轴的对称点坐标为(1,1)，而点(1,1)到正方形OABC的边所在直线AB的最大距离是4−1=3，到OA的最小距离为1，可得点P1是正方形OABC的“3倍距离点”，同理即可解决问题．
(2)当a=6时，点A(6,0)，B(6,6).C(0,6)，结合(1)即可解决问题；
(3)根据点M(−2,2)，N(−3,3)关于y轴的对称点坐标为M′(2,2)，N′(3,3)，得直线M′N′的解析式为y=x，设线段M′N′上一点P(m,m)，则2≤m≤3，分两种情况讨论：当P在正方形内时，当P在正方形外时，进而可以解决问题．
本题属于一次函数的综合题，考查了正方形的性质，平面直角坐标系，“k倍距离点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置．方法①
方法②
方法③
过点P作PM⊥AB于点M，则点M为所求．
作点P关于直线AB的对称点P′，连接P′Q交AB于点M，则点M为所求．
过点P作PC⊥AB于点C，过点Q作QD⊥AB于点D，取CD中点M，则点M为所求．