2022-2023学年福建省厦门市思明区湖里中学九年级（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年福建省厦门市思明区湖里中学九年级（下）开学数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.实数−3的相反数是( )
A. −13B. 13C. 3D. −3
2.下面几何体的左视图为三角形的是( )
A. B. C. D.
3.根据国家统计局发布的统计公报，2021年我国新能源汽车产量已超3500000辆，其中3500000用科学记数法表示为( )
A. 35×105B. 3.5×105C. 3.5×106D. 0.35×107
4.下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.下列运算正确的是( )
A. 2a−a=2B. (a−1)2=a2−1
C. a6÷a3=a2D. (2a3)2=4a6
6.正六边形的每个内角为( )
A. 108°B. 120°C. 135°D. 140°
7.在一次射击预选赛中，甲、乙、丙、丁四名运动员10次射击成绩的平均数x−及方差S2如表所示：
其中成绩较好且状态较稳定的运动员是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
8.如图，在⊙O中，点C在AB上，AD=BD，若∠BOD=114°，则∠ACD的大小是( )
A. 114°B. 66°C. 57°D. 52°
9.P是线段AB上一点(AP>BP)，且满足APAB=BPAP，则称点P是线段AB的黄金分割点．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割点”.如图，一片树叶的叶脉AB长度为10cm，P为AB的黄金分割点(AP>BP)，求叶柄BP的长度．设BP=x cm，则符合题意的方程是( )
A. (10−x)2=10xB. x2=10(10−x)
C. x(10−x)=102D. 10(1−x)2=10−x
10.已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)均在抛物线y=ax2−2ax+4(a≠0)上，若x1A. 当a>−1时，y1−1时，y1>y2
C. 当a<−1时，y1y2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.写出一个无理数x，使得112.若函数y=3x的图象经过点(1,m)，则m的值是______．
13.某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币10次，结果都是正面朝上，则他第11次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率是______．
14.如图，AB的垂直平分线l交AB于点M，P是l上一点，PB平分∠MPN.若AB=2，则点B到直线PN的距离为______．
15.如图，方格纸中2个小正方形的边长均为1，图中阴影部分均为扇形，则这两个小扇形的面积之和为______(结果保留π)．
16.如图，正方形ABCD的边长为4，点P在边AB上，PE⊥PC交AD于点E，点F在CP上且PF=PE，G为EF的中点，若点P沿着AB方向移动(不与A重合)，则下列结论正确的是______(填序号即可)．
①∠CEP与∠CPB可能相等；
②点G的运动路径是圆弧；
③点G到AD、AB的距离相等；
④点G到AB的距离的最大值为2．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：(12)0+|1− 2|− 8．
18.(本小题8分)
如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C.求证：∠A=∠D．
19.(本小题8分)
先化简，再求值：(1−1m−2)÷m2−6m+9m−2，其中m=3+ 3．
20.(本小题8分)
2022年北京冬奥会和冬残奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受大家的喜爱．奥林匹克官方旗舰店有出售“冰墩墩”和“雪容融”的手办玩具和摆件，玩具A和摆件B是其中的两款产品．据了解，购买2个玩具A和3个摆件B用了410元，购买3个玩具A和2个摆件B用了420元．求每个玩具A和每个摆件B的价格．
21.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将Rt△ABC绕点A旋转一定的角度得到Rt△ADE，且点E恰好落在边BC上．
(1)求证：AE平分∠CED；
(2)连接BD，求证：∠DBC=90°．
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，∠C=90°．
(1)以AC边上一点O为圆心作⊙O，使得⊙O经过点C，且与AB边相切于点D；(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(2)在(1)的条件下，若AC=3，BC=4，求⊙O的半径．
23.(本小题10分)
学校为了调查学生对环保知识的了解情况，从初中三个年级随机抽取了30名学生，进行了相关测试，获得了他们的成绩(单位：分)，并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析．部分信息如下：
信息①：30名学生环保知识测试成绩的频数分布直方图如下(数据分成6组：40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)．
信息②：测试成绩在70≤x<80这一组的是：70，73，74，74，75，75，77，78
信息③：所抽取的30名学生中，七年级有5人，八年级有11人，九年级有14人，各年级被抽取学生测试成绩的平均数如表：
根据以上信息回答下列问题：
(1)抽取的30名学生测试成绩的中位数为______；
(2)测试80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级498名学生都参加测试，请估计优秀的学生的人数；
(3)求被抽取30名学生的平均测试成绩．
24.(本小题12分)
已知四边形ABCD内接于⊙O，AC⊥BD，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，交BD于点G，连接AG．
(1)求证：CG=CD；
(2)如图，若AD=4，BC=10，求⊙O的半径．
25.(本小题14分)
经过点A(m,n)、R(m−n,t)、S(n−m,t)的抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个公共点，其中m≠n且m<0．
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)连接AO，作OB⊥OA，交抛物线于点B，AB交y轴于点F．
①求△AOB面积的最小值；
②取AB的中点G，作GC//y轴，交抛物线于点C，点G关于C的对称点为D，过点B、D分别作x、y轴的垂线相交于点E，BD与EF交于点M，求证：点M必在x轴上．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：−3的相反数是3，
故选：C．
根据相反数的定义判断即可．
本题考查了相反数：只有符号不同的两个数是互为相反数，掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A.圆柱的左视图是长方形，不合题意；
B.圆锥的左视图是三角形，符合题意；
C.球的左视图是圆，不合题意；
D.长方体的左视图是矩形，不合题意；
故选：B．
根据左视图的定义即可判断．
本题主要考查了三视图，解题时注意：从左边看到的图形是左视图．
3.【答案】C
【解析】解：3500000=3.5×106．
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】B
【解析】解：A.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
5.【答案】D
【解析】解：A.2a−a=a，故该选项不正确，不符合题意；
B.(a−1)2=a2−2a+1，故该选项不正确，不符合题意；
C.a6÷a3=a3，故该选项不正确，不符合题意；
D.(2a3)2=4a6，故该选项正确，符合题意．
故选：D．
根据合并同类项，完全平方公式，单项式的除法，积的乘方运算进行计算即可求解．
本题考查了完全平方公式，单项式的除法，积的乘方，掌握合并同类项，完全平方公式，单项式的除法，积的乘方的运算法则是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵正六边形的外角和为360°，
∴每个外角的度数为360°÷6=60°，
∵六边形的每个外角与内角互补，
∴每个内角为180°−60°=120°，
故选：B．
利用正六边形的外角和等于360度，求出外角的度数即可解决问题．
此题主要考查了多边形内角和与外角和．解题的关键是掌握多边形外角和是360°．
7.【答案】D
【解析】解：甲、丙、丁射击成绩的平均环数较大，
∵丁的方差<甲的方差<丙的方差，
∴丁比较稳定，
∴成绩较好状态稳定的运动员是丁，
故选：D．
根据平均环数比较成绩的好坏，根据方差比较数据的稳定程度．
本题考查的是方差和算术平均数，掌握方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，数据越稳定是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：连接BC，
∵∠BOD=114°，
∴∠BCD=12∠BOD=57°，
∵AD=BD，
∴∠ACD=∠BCD=57°，
故选：C．
连接BC，根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，先求出∠BCD的度数，再利用等弧所对的圆周角相等，即可解答．
本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵AB=10cm，BP=x cm，
∴AP=(10−x)cm，
∵P为AB的黄金分割点(AP>PB)，
∴AP2=BP×AB，即(10−x)2=10x，
故选：A．
先利用黄金分割的定义即可得到AP是AB和BP的比例中项，再代入数据即可得到方程．
此题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
10.【答案】D
【解析】解：由抛物线y=ax2−2ax+4(a≠0)得y=a(x−1)2+(4−a)，故抛物线对称轴是x=1．
①当a>0时，抛物线开口向上，1−a<2，点A比点B距离对称轴更远，
∴y1>y2；
②当−1∴当a>−1时，且x1∴A，B都错误．
③当a<−1时，此时开口向下，1−a>2，点B比点A距离对称轴更远，
∴y1>y2．
故选：D．
根据题意可知，抛物线对称轴是x=1；再对a的不同范围进行讨论，判断y1和y2的大小．
本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，关键是根据函数图象的开口方向，结合点到对称轴的距离判断对应的函数值的大小．
11.【答案】 2(答案不唯一)
【解析】解：因为1<2<16，
所以1< 2<4，
所以 2是无理数，
故答案为： 2．
根据1< 2<4即可得解．
此题考查了估算无理数的大小，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
12.【答案】3
【解析】解：把点(1,m)代入y=3x，
可得：m=31=3，
故答案为：3．
把点(1,m)代入解析式解答即可．
此题考查反比例函数图象上点的坐标特征，关键是把点(1,m)代入解析式解答．
13.【答案】12
【解析】解：某人连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，结果都是正面朝上，则他第11次抛掷这枚硬币，正面朝上的概率为：12．
故答案为：12．
利用概率的意义直接得出答案．
此题主要考查了概率的意义，正确把握概率的定义是解题关键．
14.【答案】1
【解析】解：过B作BH⊥PN于H，
∵PM⊥AB，PB平分∠MPN，
∴BH=BM，
∵PM是AB的垂直平分线，
∴BM=AM=12AB=12×2=1，
∴BH=1，
故答案为：1．
过B作BH⊥PN于H，由线段垂直平分线的定义可求得BM，根据角平分线的性质即可求出BH．
本题主要考查了点到直线的距离，线段垂直平分线的定义，角平分线的性质，正确作出辅助线，灵活运用角平分线的性质是解决问题的关键．
15.【答案】π4
【解析】解：如图，
根据平行线的性质可得，
∠1=∠2，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴S=nπr2360=90π×12360=π4．
故答案为：π4．
由平行线的性质可得，∠1=∠2，因为两个扇形的半径相等，即可算出两个扇形的圆心角的和为∠1+∠3=90°，根据扇形面积计算公式即可得出答案．
本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算方法进行求解是解决本题的关键．
16.【答案】①③④
【解析】解：①正确．当点P是AB的中点时，∠CEP=∠CPB．
理由：如图1中，延长EP交CB的延长线于点T．
在△APE和△BPT中，
∠PAE=∠PBT=90°PA=PB∠APE=∠BPT，
∴△APE≌△BPT(ASA)，
∴PE=PT，
∵CP⊥ET，
∴CE=CT，
∴∠ECP=∠PCB，
∵∠CEP+∠ECP=90°，∠BCP+∠CPB=90°，
∴∠CEP=∠CPB.故①正确．
②错误．
理由：如图2中，连接AG，GP，过点G作GM⊥AD于M，GN⊥AB于点N．
∵∠A=∠GMA=∠GNA=90°，
∴四边形AMGN是矩形，
∴∠MGN=90°，
∵PE=PF，∠EPF=90°，EG=GF，
∴PG⊥EF，PG=EG=GF，
∴∠PGE=∠MGN=90°，
∴∠EGM=∠PGN，
在△GME和△GNP中，
∠GME=∠GNP=90°∠MGE=∠NGPGE=GP，
∴△GME≌△GNP(AAS)，
∴GM=GN，
∴AG平分∠DAB，
∴点G在对角线AC上运动，故②错误．
③正确．由②可知，点G到AD、AB的距离相等，故③正确．
④正确．当点P与B重合时，点G到AB的距离的最大，此时点G是AC中点，点G到AB的距离为2，故④正确．
故答案为：①③④．
①正确．当点P是AB的中点时，∠CEP=∠CPB．
②错误．如图2中，连接AG，GP，过点G作GM⊥AD于M，GN⊥AB于点N.证明GM=GN，可得结论；
③正确，利用②中结论判断即可；
④正确．当点P与B重合时，点G到AB的距离的最大，求出最大值即可．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理等知识，解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
17.【答案】解：(12)0+|1− 2|− 8
=1−1+ 2−2 2
=− 2．
【解析】先计算零指数幂，化简绝对值和二次根式，再进行加减计算即可．
本题考查零指数幂，化简绝对值和二次根式，掌握二次根式的性质，任何非零数的零次幂都为1是解题的关键．
18.【答案】证明：∵BE=FC，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE；
又∵AB=DC，∠B=∠C，
∴△ABF≌△DCE(SAS)，
∴∠A=∠D．
【解析】此题考查简单的角相等，可以通过全等三角形来证明，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
可通过证△ABF≌△DCE，来得出∠A=∠D的结论．
19.【答案】解：(1−1m−2)÷m2−6m+9m−2
=m−2−1m−2⋅m−2(m−3)2
=m−3(m−3)2
=1m−3，
当m=3+ 3时，原式=13+ 3−3= 33．
【解析】先算减法，然后算除法即可化简题目中的式子，再将m的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则．
20.【答案】解：设每个玩具A的价格为x元，每个摆件B的价格为y元，
由题意得：2x+3y=4103x+2y=420，
解得：x=88y=78，
答：每个玩具A的价格为88元，每个摆件B的价格为78元．
【解析】设每个玩具A的价格为x元，每个摆件B的价格为y元，由题意：购买2个玩具A和3个摆件B用了410元，购买3个玩具A和2个摆件B用了420元．列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
21.【答案】证明：(1)∵将Rt△ABC绕点A旋转一定的角度得到Rt△ADE，
∴AE=AC，∠C=∠AED，
∴∠C=∠AEC，
∴∠AED=∠AEC，
即AE平分∠CED；
(2)如图，
∵将Rt△ABC绕点A旋转一定的角度得到Rt△ADE，
∴AE=AC，AB=AD，∠CAE=∠BAD，
∴∠AEC=∠ADB，
∵∠AEC+∠AEB=180°，
∴∠ADB+∠AEB=180°，
∵∠DAE=90°，∠DAE+∠AEB+∠ADE+∠DBE=360°，
∴∠DBE=90°．
【解析】解答：见答案。
(1)由旋转的性质得出AE=AC，∠C=∠AED，证出∠C=∠AEC，则可得出结论；
(2)由旋转的性质得出AE=AC，AB=AD，∠CAE=∠BAD，证出∠AEC=∠ADB，则可得出结论．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)如图，⊙O为所作；

(2)在△ABC中，∵∠ACB=90°.AC=3，BC=4，
∴AB= 32+42=5，
∵AC⊥BC，
∴BC为⊙O的切线，
∵BA与⊙O相切于D，
∴BD=BC=4，
∴AD=AB−BD=5−4=1，
设⊙O的半径为r，则OC=OD=r，AO=3−r，
在Rt△OAD中，12+r2=(3−r)2，
解得r=43，
即⊙O的半径为43．
【解析】(1)作∠ABC的平分线交AC于O点，则根据角平分线的性质得到O点到AB的距离等于OC，然后根据切线的判定方法可判断⊙O与AB边相切；
(2)先利用勾股定理得到AB=5，再根据切线长定理得到BD=BC=4，所以AD=1，设⊙O的半径为r，则OC=OD=r，AO=3−r，利用勾股定理得到12+r2=(3−r)2，然后解方程即可．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质、切线的判定与性质．
23.【答案】74
【解析】解：(1)由题意可知，抽取的30名学生测试成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别74、74，故中位数为74+742=74，
故答案为：74；
(2)6+430×498=166(人)；
答：该校初中三个年级498名学生中优秀的学生约为166人；
(3)69.6×5+72×11+75×1430(分)，
答：被抽取30名学生的平均测试成绩为73分．
(1)根据中位数的定义直接求解即可；
(2)用样本估计总体即可；
(3)利用加权平均数公式计算即可．
本题考查了平均数、频数发布直方图以及中位数的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)；众数的一组数据中出现次数最多的数；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
24.【答案】(1)证明：∵AC⊥BD，CF⊥AB，
∴∠FBG+∠FGB=∠FBG+∠BAE=90°，
∴∠FGB=∠BAE，
∵∠EGC=∠FGB，
∴∠BAE=∠EGC，
∵∠CDE=∠BAE，
∴∠EGC=∠CDE，
∴CD=CG．
(2)解：作直径BM，连接CM，
∴∠BCM=90°，
∵∠AEB=90°，
∴∠BCM=∠AEB，
∵∠M=∠BAE，
∴∠ABE=∠MBC，
∴AD=CM，
∴CM=AD=4，
∵BC=10，
∴BM= BC2+CM2= 102+42=2 29，
∴⊙O的半径是 29．
【解析】(1)由余角的性质得到∠FGB=∠BAE，由对顶角的性质得到∠EGC=∠FGB，因此∠BAE=∠EGC，由圆周角定理得到∠CDE=∠BAE，推出∠EGC=∠CDE，因此CD=CG．
(2)作直径BM，连接CM，由圆周角定理得到∠BCM=90°，∠M=∠BAE，由三角形内角和定理得到∠ABE=∠MBC，由圆周角定理得到AD=CM，因此CM=AD=4，由勾股定理求出BM= BC2+CM2=2 29，即可求出圆的半径．
本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角、弧、弦的关系，关键是由以上知识点停推出∠EGC=∠CDE，AD=CM．
25.【答案】(1)解：∵经过点R(m−n,t)、S(n−m,t)的抛物线y=x2+bx+c与x轴只有一个公共点，
∴a=1，抛物线的对称轴为直线x=−b2a=m−n+n−m2=0，b2−4ac=0，
∴b=c=0，
∴抛物线的解析式为：y=x2；
(2)①解：如图，过点A，B分别作AQ⊥x轴，BP⊥x轴，由题意，点A在第二象限，点B在第一象限，
∵OA⊥OB，
∴∠AOQ=90°−∠QAO=90°−∠BOP，
∴∠QAO=∠POB，
∴∠AQO=∠OPB=90°，
∴△AQO∽△OPB，
∴AQOQ=OPBP，
∵A(m,n)，m<0，m≠n，
∴AQ=n，OQ=−m，
设B(p,p2)，p>0，则OP=p，PB=p2，
∴n−m=pp2，
设直线OB的解析式为：y=kx，
∴k=p2p=−mn，
∴y=−mnx，
令−mnx=x2，解得x=0或x=−mn，
∴B(−mn,m2n2).
∵A(m,n)在y=x2上，
∴n=m2，
∴A(m,m2)，B(−1m,1m2)，
设直线AB的解析式为：y=dx+e，
∴−1md+e=1m2md+e=m2，解得d=m2−1me=1，
∴直线AB的解析式为：y=m2−1mx+1，
∴直线AB过定点(0,1)，即F(0,1)；
∴S△AOB=12×OF×|xB−xA|=12×1×(−1m−m)≤12×2× (−1m)×(−m)=1，
当且仅当−1m=−m时成立，
∴△AOB面积的最小值为1；
②证明：
由①知，A(m,m2)，B(−1m,1m2)，
∴G(m−1m2,m2+1m22)，即G(m2−12m,m4+12m2)，
∴C(m2−12m,(m2−1)24m2)，
设D(m2−12m,t)，
∴t+m4+12m22=(m2−1)24m2，解得t=−1，
∴D(m2−12m,−1)，
∵B(−1m,1m2)，
∴E(−1m,−1)，
∵F(0,1)，
设直线DB，EF的解析式为：yDB=k1x+b1，yEF=k2x+b2，
∴m2−12mk1+b1=−1−1mk1+b1=1m2，−1mk2+b2=−1b2=1，
解得k1=−2mb1=−1m2，k2=2mb2=1，
∴yDB=−2mx−1m2，yEF=2mx+1，
令−2mx−1m2=2mx+1，
解得x=−12m，
∴BD与EF交于同一个点M(−12m,0)．
∴点M必在x轴上．
【解析】(1)根据题意求得对称轴，方程x2+bx+c=0的判别式为0，即可求得b，c的值，进而求得抛物线的解析式；
(2)①证明直线AB过定点F(0,1)，进而根据相似三角形的性质求得面积的表达式，根据二次函数的性质求得最小值即可；
②根据题意求得G，D，E，B的坐标，进而求得DB，EF的解析式，联立解析式求解即可．
本题考查了二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，一次函数的解析式，中点坐标公式，综合运用以上知识是解题关键．甲
乙
丙
丁
x−(单位：环)
9
8
9
9
S2(单位：环 ​2)
1.6
0.8
3
0.8
年级
七
八
九
平均数
69.6
72.0
75.0