苏科版八年级数学下册同步精品讲义 第11讲 矩形、菱形、正方形（学生版+教师版）

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知识精讲
知识点01 矩形的性质与判定
（一）矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
【微点拨】
矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件。
（二）矩形的性质
矩形的性质包括四个方面：
1.矩形具有平行四边形的所有性质；
2.矩形的对角线相等；
3.矩形的四个角都是直角；
4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。
【微点拨】
（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分；
（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）；
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等。
（三）矩形的判定
矩形的判定有三种方法：
1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；
2.对角线相等的平行四边形是矩形；
3.有三个角是直角的四边形是矩形。
【微点拨】在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形。
（四）直角三角形斜边上的中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
【微点拨】
（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用；
（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半；
（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题。
【即学即练1】如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AB＝AO.求∠ABD的度数.
【即学即练2】如图，在平行四边形中，、分别是边、上的点，且，，求证：四边形是矩形
知识点02 菱形的性质与判定
（一）菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
【微点拨】
菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件。
（二）菱形的性质
菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：
1.菱形的四条边都相等；
2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心。
【微点拨】
（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分；
（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半；
（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.。
（三）菱形的判定
菱形的判定方法有三种：
1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
3.四条边相等的四边形是菱形。
【微点拨】
前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等。
【即学即练3】如图，四边形是菱形，于点H，求的长．
【即学即练4】如图，在中，点，分别在线段，上，连接，，，，求证：四边形是菱形．
知识点03 正方形
（一）正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。
【微点拨】
既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形。
（二）正方形的性质
正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；
2.角——四个角都是直角；
3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；
4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。
【微点拨】
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形。
（三）正方形的判定
正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）。
【即学即练3】如图，边长为4的正方形ABCD中，以对角线BD为边作菱形BDFE，C，E点在同一直线上，连接BF
（1）求菱形BDFE的面积；
（2）求CG的长度．
【即学即练4】已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB的中点，DE//AC，CE//AD，连接BE，CD．求证：四边形CDBE是正方形．
能力拓展
考法01 矩形的性质与判定
【典例1】如图，矩形，延长至点，使，连接，，过点作交的延长线于点，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，当，时，求的长．
考法02 菱形的性质与判定
【典例2】问题情境：
在数学课外小组活动中，老师要求大家对“菱形的剪拼”问题进行探究．
如图1，将边长为4，度的菱形纸片ABCD沿着对角线BD剪开，得到和．将绕着点D逆时针旋转．
初步探究：
（1）“爱心小组”将绕点D逆时针旋转，当时，的度数为________；
再次探究：
（2）“勤奋小组”将绕点D逆时针旋转至图2，连接AC，，此时四边形是矩形，求的度数；
深入探究：
（3）“创新小组”将绕点D逆时针旋转至图3，此时点B，D，恰好在一条直线上，延长BA，交于点E，试判断四边形ADCE的形状，并说明理由．
考法03 正方形的性质与判定
【典例3】已知在正方形和正方形中，直线，交于点H．
（1）如图1，当B，C，E共线时，求证：；
（2）如图2，把正方形绕C点顺时针旋转度（），M，N分别为，的中点，探究，，之间的数量关系，并证明你的结论．
分层提分
题组A 基础过关练
1．下列命题中是真命题的选项是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．三条边都相等的四边形是菱形
2．如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于E，若∠ADE＝2∠EDC，则∠BDE的度数为（ ）
A．36°B．30°C．27°D．18°
3．如图，四边形是菱形，与相交于点，添加一个条件：________，可使它成为正方形．
4．一个菱形的两条对角线的长分别为3和6，这个菱形的面积是______．
5．如图，在菱形中，点为边的中点，且，则的大小为______度．
题组B 能力提升练
1．下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（ ）
A．∠A＝∠CB．∠A＝∠BC．AC＝BDD．AB⊥BC
2．如图，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF，垂足为G，且AG=AB，则∠EAF=（ ）度
A．30°B．45°C．50°D．60°
3．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3，AD＝9，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则BEF的面积为（ ）
A．6B．7.5C．12D．15
4．如图，菱形的对角线、相交于点，，，为过点的一条直线，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．12
5．如图，菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD长6cm，点O为BD的中点，过点A作AE⊥BC交CB的延长线于点E，连接OE，则线段OE的长度是（ ）
A．3cmB．4cmC．4.8cmD．5cm
6．如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE=AD，则∠ACE的度数为（ ）
A．22.5°B．27.5°C．30°D．35°
7．如图，在矩形中，的角平分线交于点，连接，恰好平分，若，则的长为______．
8．如图， 在矩形中， 对角线，相交于点，若，，则的长为_____．
9．如图，在矩形中，，，将矩形翻折，使得点落在边上的点处，折痕交于点，则______
10．如图，以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB长度的最小值为_________．
11．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．
(1)的大小＝______°；
(2)求证：≌；
(3)若，则的大小＝______°．
12．已知：如图，菱形ABCD中，∠B=60°，点E，F在边BC，CD上，且∠EAF=60°；求证：AE=AF．
13．如图，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F，且AE＝CF．
(1)求证：平行四边形ABCD是菱形；
(2)若DB＝10，AB＝13，求平行四边形ABCD的面积．
14．如图，AM//BN，C是BN上一点，BD平分∠ABN且过AC的中点O，交AM于点D， DE⊥BD，交BN于点E．
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)若DE=AB=2，求菱形ABCD的面积．
题组C 培优拔尖练
1．如图，矩形ABCD中，，点E、F分别在边AB、CD上，点O是EF与AC的交点，且点O是线段EF的中点，沿AF、CE折叠，使AD、CB都落在AC上，且D、B恰与点O重合．下列结论：①；②点E是AB的中点；③四边形AECF是菱形；④AD的长是．其中正确的结论有（ ）．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，点M为AB上一点，将△BCM沿CM翻折至△ECM，ME与AD相交于点G，CE与AD相交于点F，且AG=GE，则BM的长度是（ ）
A．B．4C．D．5
3．如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，过点B作∠ABO的角平分线交OA于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BD于点G，连接EG，则S△ABG：S△BEG等于（ ）
A．3：5B．：2C．1：2D．（+1）：1
4．如图，在给定的正方形中，点从点出发，沿边方向向终点运动， 交于点，以，为邻边构造平行四边形，连接，则的度数的变化情况是（ ）
A．一直减小B．一直减小后增大C．一直不变D．先增大后减小
5．如图，已知E为邻边相等的平行四边形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80º，那么∠CDE的度数为（ ）
A．20ºB．25ºC．30ºD．35º
6．如图，在四边形中，，，面积为21，的垂直平分线分别交于点，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为（ ）
A．5B．6C．7D．8
7．如图，在菱形中，，为边的中点，为对角线上任意一点，，则的最小值为__________．
8．已知如图，在矩形ABCD中，点E、F分别是AD、BC上一点，将四边形ABFE沿着EF折叠，点B恰好与点D重合，点A与点A'重合，∠A'DC的角平分线交EF于点O，若AE＝5，BF＝13，则OD＝_____．
9．如图，正方形ABCD中，E是BC边上的一点，连接AE，将AB边沿AE折叠到AF．延长EF交DC于G，点G恰为CD边中点，连接AG，CF，AC．若AB＝6，则△AFC的面积为_______．
10．如图，正方形ABCD的边长为，作正方形A1B1C1D1，使A，B，C，D是正方形A1B1C1D1，各边的中点；做正方形A2B2C2D2，使A1，B1，C1，D1是正方形A2B2C2D2各边的中点…以此类推，则正方形A2021B2021C2021D2021的边长为 _____．
11．如图，已知长方形的边AD＝8，AB＝4，动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→D→A的路径匀速运动，同时，动点N从点C出发，沿C→B方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
(1)如（图一），当运动时间为1秒时，求MN的长度；
(2)当0≤t≤4时，直接写出AMN为直角三角形时的运动时间t的值；
(3)如（图二），当4＜t＜8时，判断AMN的形状，并说明理由．
12．如图，正方形ABCD中，E为BD上一点，AE的延长线交BC的延长线于点F，交CD于点H，G为FH的中点．
(1)求证：AE=CE；
(2)猜想线段AE，EG和GF之间的数量关系，并证明．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．
(1)试用含t的式子表示AE、AD、DF的长；
(2)如图①，连接EF，求证四边形AEFD是平行四边形；
(3)如图②，连接DE，当t为何值时，四边形EBFD是矩形？并说明理由．
14．在正方形中，对角线、相交于点，点在线段上，点在线段上，连接，连接交于点，已知．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，点在线段上，，延长线交于，连接，求证：．
15．如图1，是正方形边上一点，过点作，交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)如图2，若正方形边长为6，线段上有一动点从点出发，以1个单位长度每秒沿向运动．同时线段上另一动点从点出发，以2个单位长度每秒沿向运动，当点到达点后点也停止运动．连接，点的运动时间为，的面积为，求关于的函数关系式；
(3)如图3，连接，连接交于点，连接并延长，交于点，已知，，求的长．
课程标准
课标解读
1.探究并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；
2.矩形、菱形、正方形的判定定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形具有矩形和菱形的一切性质。
1. 理解矩形的概念，掌握矩形的性质定理与判定定理。
2. 理解菱形的概念，掌握菱形的性质定理及判定定理。
3．理解正方形的概念，了解平行四边形、矩形及菱形与正方形的概念之间的从属关系，掌握正方形的性质及判定方法。