浙教版七年级下册数学举一反三系列 专题7.9 期末复习之选填压轴题专项训练（学生版+教师版）

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考点1
平行线选填期末真题压轴题
1．（2022春·浙江温州·七年级瑞安市安阳实验中学校考期末）如图，已知长方形纸片ABCD，点E和点F分别在边AD和BC上，且∠EFC=37°，点H和点G分别是边AD和BC上的动点，现将点A，B，C，D分别沿EF，GH折叠至点N，M，P，K，若MNPK，则∠KHD的度数为（ ）
A．37°或143°B．74°或96°C．37°或105°D．74°或106°
【答案】D
【分析】分两种情况讨论，①当在上方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，求出的度数，再根据即可求解；②当在下方时，延长、相交于点，根据，推出，得到，再根据即可求解．
【详解】解：①当在上方时，延长、相交于点，如图所示
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∵翻折
∴
∴
∴
∵
∴
②当在下方时，延长、相交于点，如图所示
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵，
∴
∵翻折
∴
∴
∴
∵
∴
故选D．
【点睛】本题考查了翻折、平行线的判定和性质、对顶角等知识点，分情况讨论，画出对应图形进行求解是解答本题的关键．
2．（2022春·浙江绍兴·七年级校联考期末）将图1中周长为32的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图2的方式放入周长为48的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（ ）
A．16B．24C．30D．40
【答案】D
【分析】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，根据图1中长方形的周长为32，求得x+y=4，根据图2中长方形的周长为48，求得AB=24-3x-4y，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长=2（AB+AD），计算即可得到答案．
【详解】设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为x+y，4号正方形的边长为2x+y，5号长方形的长为3x+y，宽为y-x，
由图1中长方形的周长为32，可得，y+2（x+y）+（2x+y）=16，
解得：x+y=4，
如图，
∵图2中长方形的周长为48，
∴AB+2（x+y）+2x+y+y-x=24，
∴AB=24-3x-4y，
根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形ABCD的周长，
∴2（AB+AD）=2(24-3x-4y+x+y+2x+y+y-x)=2（24-x-y）=48-2（x+y）=48-8=40，
故选：D．
【点睛】此题考查整式加减的应用，平移的性质，利用平移的性质将不规则图形变化为规则图形进而求解，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题．
3．（2022·浙江杭州·七年级期末）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案．
【详解】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，
∵AB∥EF，
∴AB∥CD∥MN∥EF，
∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，
∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，
∴=∠BCD+∠DCM=，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力．
4．（2022春·浙江温州·七年级期末）一副直角三角尺叠放如图所示，现将30°的三角尺固定不动，将45°的三角尺绕顶点B逆时针转动，点E始终在直线的上方，当两块三角尺至少有一组边互相平行时，则所有符合条件的度数为（ ）
A．45°，75°，120°，165°B．45°，60°，105°，135°
C．15°，60°，105°，135°D．30°，60°，90°，120°
【答案】A
【分析】分DE∥AB，DE∥AC，BE∥AC，AC∥BD，分别画出图形，根据平行线的性质和三角板的特点求解．
【详解】解：如图，
①DE∥AB，
∴∠D+∠ABD=180°
∴∠ABD=90°
∴∠ABE=45°；
②DE∥AC，
∵∠D=∠C=90°，
∴B，C，D共线，
∴∠ABE=∠CBE+∠ABC=180°-45°+30°=165°；
③BE∥AC，
∴∠C=∠CBE=90°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=120°；
④AC∥BD，
∴∠ABD=180°-∠A=120°，
∴∠ABE=∠ABD-∠DBE=75°，
综上：∠ABE的度数为：45°或75°或120°或165°．
【点睛】本题考查了三角板中的角度计算，平行线的性质，解题的关键是注意分类讨论，做到不重不漏．
5．（2022春·浙江温州·七年级期末）如图，，点E在上，点G，F，I在，之间，且平分，平分，．若，则的度数为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】如图，过作，可设，由，可设，设，而平分，可得，可得，由，可得， 可得答案．
【详解】解：如图，过作，
∴设，
∵，
∴，
∴设，
∵平分，
∴，
设，而平分，
∴，
∵，
∴，
由平角的定义可得：，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴


．
故选C．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，作出适当的辅助线构建平行线是解本题的关键．
6．（2022春·浙江宁波·七年级期末）如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝________度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠P＝________度．
【答案】
【分析】过点P1、作直线MN∥AB，可得∠P1EB＝∠MP1E＝x°，MN∥CD，利用平行线的性质可求得∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°；然后过点P2作直线GH∥AB，同理可得，以此类推： ，， ，，即可求解．
【详解】解：如图，过点P1、作直线MN∥AB，
∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°．
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD．
∴∠P1FD＝∠FP1M＝y°．
∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°；
过点P2作直线GH∥AB，
∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1，
∴ ， ，
同理： ，
以此类推： ，， ，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义，并得到规律是解题的关键．
7．（2022春·浙江温州·七年级期末）一副直角三角只如图①所示叠成，含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点A顺时针转动，使与三角形的一边平行，如图②，当时，，则其他所有符合条件的度数为________．
【答案】105°、195°、240°和285°
【分析】根据题意画出图形，再由平行线的性质定理即可得出结论．
【详解】解：如图，
当BC∥AE时，∠EAB=∠B=60°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°；
当BC∥DE时，延长BA，交DE于F，
则∠AFE=∠B=60°，
∴∠DAF=∠AFE-∠D=60°-45°=15°，
∴∠DAB=15°+180°=195°；
如图，当BC∥AD时，∠CAD=∠C=30°，
∴∠BAD=360°-30°-90°=240°；
如图，当BC∥AE时，∠CAE=∠C=30°，
∴∠CAD=45°-30°=15°，
锐角∠DAB=90°-∠CAD=75°，
∴旋转角∠DAB=360°-75°=285°，
故答案为：105°、195°、240°和285°．
【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键．
8．（2022春·山东威海·七年级统考期末）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，在A，B，C三处经过三次拐弯，此时道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行(即AE∥CD)，若∠A=120°，∠B=150°,则∠C的度数是________
【答案】150°
【详解】解：如图，过点B作，
因为，所以.
所以∠A=∠2，∠1+∠C=180°.
因为∠A=120°，所以∠2=120°，所以∠1=150°-120°=30°.
所以∠C=180°-30°=150°，
故答案为：150°.
9．（2022春·浙江温州·七年级期末）如图，已知AB∥CD,∠EAF =∠EAB,∠ECF=∠ECD ,则∠AFC与∠AEC之间的数量关系是_____________________________
【答案】4∠AFC=3∠AEC
【详解】【分析】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°-（4x°+4y°），求出∠AEC=4（x°+y°），∠AFC═3（x°+y°），即可得出答案．
【详解】连接AC，设∠EAF=x°，∠ECF=y°，∠EAB=4x°，∠ECD=4y°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∴∠CAE+4x°+∠ACE+4y°=180°，
∴∠CAE+∠ACE=180°-（4x°+4y°），∠FAC+∠FCA=180°-（3x°+3y°），
∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）
=180°-[180°-（4x°+4y°）]
=4x°+4y°
=4（x°+y°），
∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）
=180°-[180°-（3x°+3y°）]
=3x°+3y°
=3（x°+y°），
∴∠AFC=∠AEC，
即：4∠AFC=3∠AEC，
故正确答案为：4∠AFC=3∠AEC.
【点睛】本题考查了平行线性质和三角形内角和定理的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补．
10．（2022春·浙江温州·七年级期末）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB是锐角，将△ABC沿着射线BC方向平移得到△DEF（平移后点A，B，C的对应点分别是点D，E，F），连接CD，若在整个平移过程中，∠ACD和∠CDE的度数之间存在2倍关系，则∠ACD=__________．
【答案】15°或30°或90°
【分析】根据△ABC的平移过程，分为了点E在BC上和点E在BC外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到∠ACD和∠CDE和∠BAC之间的等量关系，列出方程求解即可．
【详解】第一种情况：如图，当点E在BC上时，过点C作，
∵△DEF由△ABC平移得到，
∴，
∵，，
∴，
①当∠ACD=2∠CDE时，
∴设∠CDE=x，则∠ACD=2x，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠DCG=∠CDE=x，
∵∠ACD=∠ACG+∠DCG，
∴2x+x=45°，解得：x=15°，
∴∠ACD=2x=30°，
②当∠CDE=2∠ACD时，
∴设∠CDE=x，则∠ACD=x，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠DCG=∠CDE=x，
∵∠ACD=∠ACG+∠DCG，
∴2x+x=45°，解得：x=30°，
∴∠ACD=x=15°，
第二种情况：当点E在△ABC外时，过点C作
∵△DEF由△ABC平移得到，
∴，
∵，，
∴，
①当∠ACD=2∠CDE时，
设∠CDE=x，则∠ACD=2x，
∴∠ACG=∠BAC=45°，∠DCG=∠CDE=x，
∵∠ACD=∠ACG+∠DCG，
∴2x=x+45°，解得：x=45°，
∴∠ACD=2x=90°，
②当∠CDE=2∠ACD时，由图可知，∠CDE<∠ACD，故不存在这种情况，
综上：∠ACD=15°或30°或90°．
【点睛】本题主要考查了平移的性质和平行线的性质，熟练掌握平移前后对应线段互相平行以及两直线平行内错角相等是解题的关键．
考点2
二元一次方程组选填期末真题压轴题
1．（2022春·浙江温州·七年级期末）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式的两种无盖纸盒．现有m张正方形纸板和n张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好将纸板用完，则m+n的值可能是（ ）
A．200B．201C．202D．203
【答案】A
【分析】分别设做了竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，列二元一次方程组，把两个方程的两边分别相加得，易知的值一定是5的倍数，本题即解答.
【详解】解：设做成竖式无盖纸盒x个，横式无盖纸盒y个，根据题意列方程组得：
，
则两式相加得
，
∵x、y 都是正整数
∴一定是5的倍数；
∵200、201、202、203四个数中，只有200是5的倍数，
∴的值可能是200.
故选A.
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用；巧妙处理所列方程组，使两方程相加得出，是解答本题的关键.
2．（2022春·浙江金华七年级期末）现有如图（1）的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a，宽为b．用3个如图（2）的全等图形和8个如图（1）的小长方形，拼成如图（3）的大长方形，若大长方形的宽为30cm，则图（3）中阴影部分面积与整个图形的面积之比为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】观察图③可知3个小长方形的宽与1个小长方形的长的和等于大长方形的宽，小长方形的4个长等于小长方形的3个长与3个宽的和，可列出关于a，b的方程组，解方程组得出a，b的值；利用a，b的值分别求得阴影部分面积与整个图形的面积，即可求得影部分面积与整个图形的面积之比．
【详解】解：根据题意、结合图形可得：
，
解得：，
∴阴影部分面积，
整个图形的面积，
∴阴影部分面积与整个图形的面积之比，
故选B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意并利用大长方形的长与宽和小长方形的关系建立二元一次方程组是解题的关键．
3．（2022春·浙江温州·七年级期末）在解方程组时，甲同学正确解得乙同学把看错了，而得到那么，，的值为（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．不能确定
【答案】B
【详解】解：由甲同学的解正确，可知3c+2×7=8，
解得且①，
由于乙看错c，所以
②，
解由①②构成的方程组可得：
故选B．
4．（2022·浙江杭州·七年级期末）已知方程组解为，则关于，的方程组的解是_______．
【答案】
【分析】根据方程组解的定义，把x＝5，y＝10代入即可得出a1，a2，c1，c2的关系，再代入计算即可．
【详解】解：∵方程组
∵解为：x＝5，y＝10，
∴，
∴
∵，
∴，
①−②，得3a1x−3a2x＝6a1−6a2，
∴x＝2，
把x＝2代入①得，y＝5，
∴方程组的解是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，掌握方程组的解法是解题的关键．
5．（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）三位先生A、B、C带着他们的妻子a、b、c到超市购物，至于谁是谁的妻子现在只能从下列条件来推测：他们6人，每人花在买商品的钱数（单位：元）正好等于商品数量的平方，而且每位先生都比自己的妻子多花48元钱，又知先生A比b多买9件商品，先生B比a多买7件商品．则先生A的妻子是__________．
【答案】
【分析】设一对夫妻，丈夫买了x件商品，妻子买了y件商品，列出关于x、y的二元二次方程，再根据x、y都是正整数，且与有相同的奇偶性，即可得出关于x、y的二元一次方程组，求出x、y的值，再找出符合和的情况即可进行解答．
【详解】设一对夫妻，丈夫买了件商品，则钱数为，妻子买了件商品，则钱数为，
依题意有x2-y2=48，即，
∵x、y都是正整数，且与有相同的奇偶性，
又∵，48=24×2=12×4=8×6，
∴或或，
解得，或，或，，
符合的只有一种，可见A买了13件商品，b买了4件，
同时符合的也只有一种，可知B买了8件，a买了1件，
∴C买了7件，c买了11件．
由此可知三对夫妻的组合是：A、c；B、b；C、a．
故答案为：c．
【点睛】本题考查了不定方程组的解及数的奇偶性，根据题意列出关于x、y的不定方程是解答此题的关键．
6．（2022春·浙江宁波·七年级校考期末）已知关于x，y的方程组给出下列结论：正确的有_____．（填序号）
①当时，方程组的解也是的解；②无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；③x，y都为正整数的解有3对
【答案】①②
【分析】①将a=1代入方程组的解，求出方程组的解，即可做出判断；
②将a看做已知数求出方程组的解表示出x与y，即可做出判断；
③将a看做已知数求出方程组的解表示出x与y，即可判断正整数解；
【详解】解关于x，y的方程组得
①当时，原方程组的解是，此时是的解，故①正确；
②原方程组的解是，∴，即无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数，故②正确；
③x，y都为正整数，则，解得，正整数解分别是当时，故只有两组，故③错误；
故答案为①②
【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．
7．（2022春·浙江温州·七年级期末）已知a，b，c为3个自然数，满足，其中，则的最大值是__________．
【答案】1346
【分析】先化简绝对值，再根据方程取非负整数解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵a，b，c为3个自然数，
要想取最大值，a应该取最小值0，
代入得，，
当b=1时，c最大，最大值为673，
，
故答案为：1346．
【点睛】本题考查了绝对值化简和不定方程求非负整数解，解题关键是根据题意化简绝对值并确定a、b、c的最值．
8．（2022春·浙江温州·七年级期末）已知对任意关于的二元一次方程只有一组公共解，求这个方程的公共解_____________．
【答案】
【分析】先把原方程化为的形式，再分别令a，b的系数为0，即可求出答案．
【详解】解：由已知得：
∴
两式相加得：，即，
把代入得到，，
故此方程组的解为：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的知识点是三元一次方程组的问题，运用三元一次方程组的解法的知识进行计算，即可解答．
9．（2022春·浙江温州·七年级期末）已知关于，的二元一次方程，无论实数取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是______．
【答案】
【分析】将方程整理成关于m的一元一次方程，若无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则与m无关，从而令m的系数为0，从而得关于x和y的二元一次方程组，求解即可．
【详解】将（m+1）x+（2m-1）y+2-m=0整理得：mx+x+2my-y+2-m=0，即m（x+2y-1）+x-y+2=0，
因为无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，
所以，
解得：．
故答案为：．
【点睛】考查了含参数的二元一次方程有相同解问题，解题关键是利用转化思想．
考点3
整式的乘除选填期末真题压轴题
1．（2022春·浙江·七年级期末）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序）
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
… …
请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（ ）
A．-2021B．2021C．4042D．-4042
【答案】D
【分析】先观察规律，再按照规律写出第一项、第二项，其中第二项，写出系数即可
【详解】解：根据规律可以发现：第一项的系数为1，第二项的系数为2021，
∴第一项为：x2021，
第二项为：
故选：D
【点睛】本题考查杨辉三角多项式乘法找规律的问题，观察发现式子中的规律是关键
2．（2022春·浙江·七年级期末）在矩形内将两张边长分别为和的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差．
【详解】解：，
，

．
故选：．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟悉相关运算法则是解题的关键．
3．（2022春·浙江·七年级期末）已知均为负数，，，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】B
【分析】根据换元法将，设，，则，，作差即可求得大小关系.
【详解】设，，
则，
，
由于均为负数
所以为正数，则，
.
故选：B.
【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键，解答时注意运用整体思想，属难题.
4．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）已知是一个有理数的平方，则n不能取以下各数中的哪一个
A．30B．32C．D．9
【答案】B
【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可．
【详解】2n是乘积二倍项时，2n+216+1=216+2×28+1=（28+1）2，
此时n=8+1=9，
216是乘积二倍项时，2n+216+1=2n+2×215+1=（215+1）2，
此时n=2×15=30，
1是乘积二倍项时，2n+216+1=（28）2+2×28×2-9+（2-9）2=（28+2-9）2，
此时n=-18，
综上所述，n可以取到的数是9、30、-18，不能取到的数是32．
故选B．
【点睛】本题考查了完全平方式，难点在于要分情况讨论，熟记完全平方公式结构是解题的关键．
5．（2022春·浙江·七年级期末）对，定义一种新运算，规定：，（其中，均为非零常数）．例如：，．当，，则__；当时，，，对任意有理数，都成立，则，满足的关系式是 __．
【答案】
【分析】（1）根据新运算的定义，得，，故，．那么，，．
（2）由，，，得，故．由当时，，，对任意有理数，都成立，故当时，对任意有理数，都成立．那么，．
【详解】解：（1），，
，．
，．
，．
，．
（2），，，，
，．
，．
若当时，，，对任意有理数，都成立，
当时，对任意有理数，都成立．
当时，对任意有理数，都成立．
．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查整式的运算以及解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的解法以及整式的运算．
6．（2022春·浙江杭州·七年级期末）已知，求________．
【答案】
【分析】设，则；根据题意，得；再将代入到代数式中计算，即可得到答案．
【详解】∵
∴
设，则
∴，即
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了整式运算和代数式的知识；解题的关键是熟练掌握整式乘法、完全平方公式的性质，从而完成求解．
7．（2022春·浙江·七年级期末）已知，则________．
【答案】7
【分析】先设，，则可化为， ，再将，代入，然后求出结果
【详解】解：设：，，
则可化为：
∴
将，，代入上式，
则
【点睛】本题考查了对完全平方公式的应用，能熟记公式，并能设，，然后将原代数式化简再求值是解此题的关键，注意：完全平方公式为① ，②．
8．（2022春·浙江温州·七年级温州市第二十三中学校考期末）已知整数满足且，则的值为_____．
【答案】2
【分析】根据3不是10000的公约数，可得b=0，由和即可得到a，b，c，d的值，故可求解．
【详解】∵，3不是10000的公约数，
∴
则b=0
∴
∵整数满足
∴符合题意
∴a=-2，b=0，c=3，d=4
∴=-8+0+6+4=2
故答案为：2．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则及特点．
9．（2022春·浙江杭州·七年级期末）如果.那么_________
【答案】-1
【分析】根据得到，再把原式变形，然后把整体代入求值即可得解.
【详解】解：，
故答案为-1
【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题关键是把原条件变形后整体代入所求算式的变形式中计算.
考点4
因式分解选填期末真题压轴题
1．（2022春·浙江·七年级期末）已知，，，则代数式的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】D
【分析】通过已知条件可求得a-b,b-c,a-c的值，将代数式适当变形，将a-b,b-c,a-c的值代入即可求解.
【详解】∵，，，
∴，
，
，
∴
故选D.
【点睛】本题考查利用完全平方公式因式分解，解决本题时①将原代数式分三部分，每一部分利用完全平方公式因式分解，②再根据已知条件计算出a-b,b-c,a-c的值，整体代入.
2．（2022春·浙江·七年级期末）若（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），则b+c的值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
【答案】D
【分析】先将等式的右边展开并移项到左边,然后再根据完全平方公式可以分解因式，即可得到b+c的值．
【详解】解：∵（b﹣c）2＝4（1﹣b）（c﹣1），
∴b2﹣2bc+c2＝4c﹣4﹣4bc+4b，
∴（b2+2bc+c2）﹣4（b+c）+4＝0，
∴（b+c）2﹣4（b+c）+4＝0，
∴（b+c﹣2）2＝0，
∴b+c＝2，
故选：D．
【点睛】本题考查因式分解的应用，掌握运用完全平方公式进行因式分解是解答本题的关键.
3．（2022春·浙江·七年级期末）多项式x2﹣4xy﹣2y+x+4y2分解因式后有一个因式是x﹣2y，另一个因式是（ ）
A．x+2y+1B．x+2y﹣1C．x﹣2y+1D．x﹣2y﹣1
【答案】C
【分析】首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．
【详解】解：x2﹣4xy﹣2y+x+4y2
＝（x2﹣4xy+4y2）+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）2+（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x﹣2y+1）．
故选：C．
【点睛】此题考查多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x-2y），将其当成整体提出，进而得到答案.
4．（2022春·浙江绍兴·七年级校联考期末）如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为( )
A．15B．30C．60D．78
【答案】D
【分析】先把所给式子提取公因式ab，再整理为与题意相关的式子，代入求值即可．
【详解】解：根据题意得：a+b＝5，ab＝6，
则a3b+ab3＝ab（a2+b2）＝ab[（a+b）2﹣2ab]＝6×（52﹣2×6）＝6×13＝78．
故选D．
【点睛】本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了数学整体思想和正确运算的能力．
5．（2022春·浙江杭州·七年级校考期末）已知，，那么______，______．
【答案】 -1 0
【分析】由条件可以变形为，因式分解从而可以求出其值；，可以得出，．所以从而得出结论．
【详解】解：∵，，
∴
∴，
∴，
∴
∴
∵m≠2n，
∴
∴m＋2n＝−1；
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
故答案是：−1；0．
【点睛】本题考查了因式分解在整式计算求值中运用和技巧，将原式进行适当的变形，灵活运用因式分解是解题的关键．
6．（2022春·浙江·七年级期末）若多项式可化为的形式，则单项式可以是__________．
【答案】或或或
【分析】根据完全平方公式展开式的首、末两项是平方项，并且首末两项的符号相同；中间项是首末两项的底数的积的2倍，对多项式进行分类讨论，分别求出k即可．
【详解】解：①当和作为平方项，作为乘积项，则多项式可化为：
，即，
∴；
②当和作为平方项，作为乘积项，则多项式可化为：
，即，
∴，解得：；
③当和作为平方项，作为乘积项，则多项式可化为：
，即，
∴，解得：；
故答案为：或或或．
【点睛】此题考查了运用完全平方公式分解因式．掌握完全平方公式和分类讨论是解此题的关键．
7．（2022秋·浙江温州·七年级统考期末）已知，那么
______________．
【答案】22100
【详解】解：∵
=
=
=22100
8．（2022春·浙江金华·七年级校考期末）如图，正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张（a≠b），如果要选用上述3类卡片共12张拼成一个大长方形（拼接时不可重叠，不可有缝隙）、且卡片全部用上，则不同的选取方案有_____种．
【答案】9
【分析】设A类卡片x张，B类卡片y张，C类卡片z张，且x、y、z为正整数，，拼接成的大长方形的长和宽为和，其中m、n、s、t为正整数，则根据面积相等有：，进而得到，且m、n与s、t具有对称性，先固定长方形的一条边，去讨论另一条边，如此依次分类讨论，即可求解．
【详解】设A类卡片x张，B类卡片y张，C类卡片z张，且x、y、z为正整数，，拼接成的大长方形的长和宽为和，其中m、n、s、t为正整数，
则根据面积相等有：，
展开：，
即有：，
即，且m、n与s、t具有对称性，
先固定长方形的一条边，去讨论另一条边，如此依次分类讨论：
①当m=1，n=1时，由，得，
当s=1，t=5时，，即x=1，y=5，z=6，
此时A类卡片1张，B类卡片5张，C类卡片6张；
当s=5，t=1时，，即x=5，y=1，z=6，
此时A类卡片5张，B类卡片1张，C类卡片6张；
当s=2，t=4时，，即x=2，y=4，z=6，
此时A类卡片2张，B类卡片4张，C类卡片6张；
当s=4，t=2时，，即x=4，y=2，z=6，
此时A类卡片4张，B类卡片2张，C类卡片6张；
当s=3，t=3时，，即x=3，y=3，z=6，
此时A类卡片3张，B类卡片3张，C类卡片6张；
②当m=1，n=2时，由，得，
当s=1，t=3时，，即x=1，y=6，z=5，
此时A类卡片1张，B类卡片6张，C类卡片5张；
当s=3，t=1时，，即x=3，y=2，z=7，
此时A类卡片3张，B类卡片2张，C类卡片7张；
当s=2，t=2时，，即x=2，y=4，z=6，
此时A类卡片2张，B类卡片4张，C类卡片6张；（重复，舍去）
③当m=1，n=3时，由，得，
当s=1，t=2时，，即x=1，y=6，z=5，
此时A类卡片1张，B类卡片6张，C类卡片5张；（重复，舍去）
当s=2，t=1时，，即x=2，y=3，z=7，
此时A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片7张；
③当m=1，n=5时，由，得，
当s=1，t=1时，，即x=1，y=5，z=6，
此时A类卡片1张，B类卡片5张，C类卡片6张；（重复，舍去）
④当m=2，n=1时，由，得，
当s=1，t=3时，，即x=2，y=3，z=7，
此时A类卡片2张，B类卡片3张，C类卡片7张；（重复，舍去）
当s=3，t=1时，，即x=6，y=1，z=5，
此时A类卡片6张，B类卡片1张，C类卡片5张；
当s=2，t=2时，，即x=4，y=2，z=6，
此时A类卡片4张，B类卡片2张，C类卡片6张；（重复，舍去）
⑤当m=2，n=2时，由，得，
当s=1，t=2时，，即x=2，y=4，z=6，
此时A类卡片2张，B类卡片4张，C类卡片6张；（重复，舍去）
当s=2，t=1时，，即x=4，y=2，z=6，
此时A类卡片4张，B类卡片2张，C类卡片6张；（重复，舍去）
⑥当m=2，n=4时，由，得，
当s=1，t=1时，，即x=2，y=4，z=6，
此时A类卡片2张，B类卡片4张，C类卡片6张；（重复，舍去）
⑦当m=3，n=1时，由，得，
当s=1，t=2时，，即x=3，y=2，z=7，
此时A类卡片3张，B类卡片2张，C类卡片7张；（重复，舍去）
当s=2，t=1时，，即x=6，y=1，z=5，
此时A类卡片6张，B类卡片1张，C类卡片5张；（重复，舍去）
⑧当m=3，n=3时，由，得，
当s=1，t=1时，，即x=3，y=3，z=6，
此时A类卡片3张，B类卡片3张，C类卡片6张；（重复，舍去）
⑨当m=4，n=2时，由，得，
当s=1，t=1时，，即x=4，y=2，z=6，
此时A类卡片4张，B类卡片2张，C类卡片6张；（重复，舍去）
⑩当m=5，n=1时，由，得，
当s=1，t=1时，，即x=5，y=1，z=6，
此时A类卡片5张，B类卡片1张，C类卡片6张；（重复，舍去）
综上：共计有9种方案，
故答案为：9．
【点睛】本题主要是考查了根据几何图形列列代数以及分解因式的知识，依据未知数是正整数乘积为12,是解答本题的关键．解答此题需要注意分类讨论的思想．
考点5
分式选填期末真题压轴题
1．（2022春·浙江宁波·七年级校考期末）某市政工程队准备修建一条长1200米的污水处理管道．在修建完400米后，为了能赶在汛期前完成，采用新技术，工作效率比原来提升了25%．结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天修建管道x米，依题意列方程得（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设原计划每天修建管道x米,则原计划修建天数为天.实际前面400米,每天修建管道x米,需要天,剩下的1200-400=800米,每天修建管道x (1+25％)米,需要天. 根据实际天数比原计划提前4天完成任务即可得出数量关系.
【详解】设原计划每天修建管道x米,
根据题意的– =4,
- - =4,
- =4,
选项B正确.
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系；难点是得到实际修建的天数.
2．（2022春·浙江·七年级期末）若，，，则_______．
【答案】
【分析】首先求出，将原代数式的分母变形为，将该式进一步化简变形，借助已知条件即可解决问题．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
同理可得：，，
原式
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是根据已知条件的结构特点，灵活运用有关公式将所给的代数式恒等变形，准确化简，对综合的分析问题、解决问题的能力提出了较高的要求．
3．（2022春·浙江·七年级期末）已知，则______．
【答案】
【分析】先将已知的式子化为倒数形式 ，化简后两边平方，再把所要求的式子的倒数化简求值，可得到最终结果．
【详解】 ，
，
，
，


故答案为：．
【点睛】考查分式值的计算，有一定灵活性，解题的关键是先求倒数．
4．（2022春·浙江·七年级期末）设有三个互不相等的有理数，既可表示为-1，a+b，a的形式，又可表示为0，，b的形式，则的值为____．
【答案】-1
【分析】由题意三个互不相等的有理数，既可表示为-1、、的形式，又可表示为0、、的形式，可知这两个三数组分别对应相等．从而判断出、的值．代入计算出结果．
【详解】解：三个互不相等的有理数，既可表示为-1、、的形式，又可表示为0、、的形式，
这两个三数组分别对应相等．
、中有一个是0，由于有意义，所以，
则，所以、互为相反数．
，
∴
∴，．
∴．
故答案是：-1．
【点睛】本题考查了有理数的概念，分式有意义的条件，有理数的运算等相关知识，理解题意是关键．
5．（2022春·浙江·七年级期末）已知实数a，b，定义运算：a*b＝，若(a﹣2)*(a+1)＝1，则a＝_____．
【答案】3或1或﹣1
【分析】根据a+1＞a﹣2知(a﹣2)*(a+1)＝(a﹣2)-(a+1)＝1，据此可得a﹣2＝1或a﹣2＝﹣1或a+1＝0，从而得出答案．
【详解】∵a+1＞a﹣2，
∴(a﹣2)*(a+1)＝(a﹣2)-(a+1)＝1，即(a﹣2)a+1＝1，
则a﹣2＝1或a﹣2＝﹣1或a+1＝0，
解得，a＝3或a＝1或a＝﹣1，
故答案为：3或1或﹣1．
【点睛】本题属于新定义题型，考查了幂的运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握1的任何次幂都等于1、-1的偶数次幂等于1、非零数的零指数幂等于1是解题的关键．
6．（2022春·浙江·七年级期末）已知为有理数，且、、、中恰有三个数相等，则_____．
【答案】0或-2．
【分析】根据确定，并得出，进而得出或，再计算即得．
【详解】解：∵有意义
∴
∴
∵、、、恰有三个数相等
∴或
∴
解得：或
经检验，得：是的解．
当时，，不成立；
当时
∵
∴，无解；
∵
∴，无解；
当时
∵
∴
解得：
∴
∵
∴
解得：
∴
故答案为：0或-2．
【点睛】本题考查代数式求值及求解分式方程，蕴含了分类讨论和反证法等思想方法，解题关键是熟知分式方程转化为整式方程求解，并检验是否为增根．
7．（2022春·浙江·七年级期末）对于x＞0，规定，例如，那么 =_________
【答案】2018
【分析】根据f（x）求出f（），进而得到f（x）+f（）=1，原式结合后，计算即可求出值.
【详解】解：∵x＞0，规定，
∴，即，
则原式=，
故答案为2018.
【点睛】此题考查了分式的加减法，以及规律型：数字的变化类，熟练掌握运算法则是解本题的关键.