初中数学浙教版八年级下册1.1 二次根式习题

这是一份初中数学浙教版八年级下册1.1 二次根式习题，文件包含浙教版八年级下册数学举一反三系列专题12二次根式的乘除九大题型教师版docx、浙教版八年级下册数学举一反三系列专题12二次根式的乘除九大题型学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。


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\l "_Tc7597" 【题型1 求字母的取值范围】 PAGEREF _Tc7597 \h 1
\l "_Tc30159" 【题型2 二次根式乘除的运算】 PAGEREF _Tc30159 \h 2
\l "_Tc30502" 【题型3 二次根式的符号化简】 PAGEREF _Tc30502 \h 3
\l "_Tc26588" 【题型4 最简二次根式的判断】 PAGEREF _Tc26588 \h 5
\l "_Tc16820" 【题型5 化为最简二次根式】 PAGEREF _Tc16820 \h 6
\l "_Tc20913" 【题型6 已知最简二次根式求参数】 PAGEREF _Tc20913 \h 7
\l "_Tc9440" 【题型7 分母有理化】 PAGEREF _Tc9440 \h 8
\l "_Tc20176" 【题型8 比较二次根式的大小】 PAGEREF _Tc20176 \h 10
\l "_Tc8121" 【题型9 分母有理化的应用】 PAGEREF _Tc8121 \h 11
【知识点1 二次根式的乘除法则】
①二次根式的乘法法则：；
②积的算术平方根：；
③二次根式的除法法则：；
④商的算术平方根：.
【题型1 求字母的取值范围】
【例1】（2022春•赵县校级月考）若要使等式成立，则x的取值范围是 x＞8 ．
【分析】直接利用二次根式的性质进而得出关于x的不等式组求出答案．
【解答】解：∵等式成立，
∴，
则x的取值范围是：x＞8．
故答案为：x＞8．
【变式1-1】（2022秋•犍为县校级月考）已知，使等式成立的x的取值范围是 ﹣2≤x≤3 ．
【分析】根据二次根式的性质得出关于x的不等式组，进而求出答案．
【解答】解：∵，
∴，
解得：﹣2≤x≤3．
故答案为：﹣2≤x≤3．
【变式1-2】（2022秋•南岗区期末）能使等式成立的x的取值范围是（ ）
A．x＞0B．x≥0C．x＞2D．x≥2
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可．
【解答】解：由题意得：
，
解得：x≥2，
故选：D．
【变式1-3】（2022•宝山区校级月考）已知实数x满足x•，则x的取值范围是 0≤x≤2 ．
【分析】依据二次根式被开方数大于等于0和a（a≥0）列不等式组求解即可．
【解答】解：∵原式x•，
∴x≥0且2﹣x≥0．
解得：0≤x≤2．
故答案为：0≤x≤2．
【题型2 二次根式乘除的运算】
【例2】（2022•长宁区期中）计算：
（1）5••3；
（2）25．
【分析】（1）利用二次根式的乘法法则计算即可．
（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【解答】解：（1）原式＝5．
（2）原式＝2．
【变式2-1】（2022•长宁区期中）计算：2•．
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案．
【解答】解：原式＝2×6
＝12
＝8．
【变式2-2】（2022•青浦区校级月考）计算：（x＞0）．
【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算．
【解答】解：∵x＞0，xy3≥0，
∴y≥0，
∴原式•（）•（）
•（）
xy•（x）
．
【变式2-3】（2022•浦东新区校级月考）化简：（b＜0）．
【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．
【解答】解：∵由二次根式的性质可得a＜0，b＜0，
∴原式•（﹣b）•（a）÷3
＝﹣3a2b÷3
＝﹣3a2b×（）
＝a2b2
＝ab．
【题型3 二次根式的符号化简】
【例3】（2022•安达市校级月考）已知xy＞0，将式子x根号外的因式x移到根号内的正确结果为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据被开方数大于等于0求出y＜0，再根据同号得正判断出x＜0，
【解答】解：∵0，
∴y＜0，
∵xy＞0，
∴x＜0，
∴x．
故选：D．
【变式3-1】（2022•自贡期中）把二次根式根号外的因式移到根号内为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的性质先判断a的符号，然后再进行计算．
【解答】解：由题意可知0，
∴a＜0，
∴a•，
故选：D．
【变式3-2】（2022•张家港市校级期末）将（2﹣x）根号外的因式移到根号内，得（ ）
A．B．C．﹣2D．
【分析】根据二次根式的性质得出x﹣2的符号，进而化简二次根式得出即可．
【解答】解：由题意可得：x﹣2＞0，
则原式．
故选：D．
【变式3-3】（2022春•龙口市期中）把（a﹣b）根号外的因式移到根号内结果为 ．
【分析】先根据二次根式成立的条件得到0，则a﹣b＜0，所以原式变形为﹣（b﹣a），然后利用二次根式的性质得到•，再利用二次根式的乘法得到，再约分即可．
【解答】解：∵0，
∵a﹣b＜0，
∴原式＝﹣（b﹣a）•．
故答案为．
【知识点2 最简二次根式】
我们把满足①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【题型4 最简二次根式的判断】
【例4】（2022秋•浦东新区校级月考）在、、、、中，最简二次根式是 、 ．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：、是最简二次根式，
故答案为：、．
【变式4-1】（2022春•曲靖期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，即可解答．
【解答】解：A、4，故A不符合题意；
B、是最简二次根式，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、2，故D不符合题意；
故选：B．
【变式4-2】（2022秋•玉田县期末）下列各式：①②③④是最简二次根式的是 ②③ （填序号）．
【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，可得答案．
【解答】解：②③ 是最简二次根式，
故答案为：②③．
【变式4-3】（2022春•建昌县期末）在二次根式、、、，，中，是最简二次根式的共有 3 个．
【分析】结合选项根据最简二次根式的概念求解即可．
【解答】解：二次根式、、、，，中，是最简二次根式的是、，，
故答案为：3
【题型5 化为最简二次根式】
【例5】（2022春•安阳期末）下列二次根式化成最简二次根式后，被开方数与另外三个不同的是（ ）
A．B．5C．D．
【分析】先把B、C、D化成最简二次根式，再找被开方数不同的项．
【解答】解：∵是最简二次根式，
510，2，．
∴化成最简二次根式后，被开方数相同的是A、B、D．
故选：C．
【变式5-1】（2022春•番禺区期末）把下列二次根式化成最简二次根式
（1）
（2）
（3）
【分析】（1）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案；
（3）直接利用二次根式的除法运算法则性质化简得出答案．
【解答】解：（1）；
（2）4；
（3）．
【变式5-2】（2022秋•合浦县月考）把下列各式化成最简二次根式：
（1）；
（2）．
【分析】本题需先将二次根式分母有理化，分子的被开方数中，能开方的也要移到根号外．
【解答】解：（1）原式；
（2）当b，c同为正数时，原式．
当b，c同为负数时，原式（）．
当c＝0时，原式＝0．
【变式5-3】（2022秋•安岳县期末）化成最简二次根式是 ± ．
【分析】对被开方数的分母进行因式分解，然后约分；最后将二次根式的被开方数的分母有理化，化简求解．
【解答】解：原式；
①当y＞0时，上式
②当y＜0时，上式；
故答案是：±．
【题型6 已知最简二次根式求参数】
【例6】（2022春•浉河区校级期末）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为 2 ．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为2，
故答案为：2．
【变式6-1】（2022春•武江区校级期末）若是最简二次根式，则a的值可能是（ ）
A．﹣4B．C．2D．8
【分析】根据二次根式有意义的条件判断A选项；根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断B，C，D选项．
【解答】解：A选项，二次根式的被开方数不能是负数，故该选项不符合题意；
B选项，，故该选项不符合题意；
C选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
D选项，2，故该选项不符合题意；
故选：C．
【变式6-2】（2022秋•崇川区校级期末）若和都是最简二次根式，则m＝ 1 ，n＝ 2 ．
【分析】利用最简二次根式定义列出方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值．
【解答】解：∵若和都是最简二次根式，
∴，
解得：m＝1，n＝2，
故答案为：1；2．
【变式6-3】（2022春•宁都县期中）已知：最简二次根式与的被开方数相同，则a+b＝ 8 ．
【分析】已知两个最简二次根式的被开方数相同，因此它们是同类二次根式，即：它们的根指数和被开方数相同，列出方程组求解即可．
【解答】解：由题意，得：解得：，
∴a+b＝8．
【知识点3 分母有理化】
①分母有理化是指把分母中的根号化去：分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母
组成平方差公式；
②两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．一个
二次根式的有理化因式不止一个．
【题型7 分母有理化】
【例7】（2022秋•曲阳县期末）把化去分母中的根号后得（ ）
A．4bB．C．D．
【分析】根据二次根式的乘除法运算法则进行计算即可．
【解答】解：∵a＞0，ab＞0，即a＞0，b＞0；
∴．
故选：D．
【变式7-1】（2022•沂源县校级开学）分母有理化：
（1） ；（2） ；（3） ．
【分析】根据分母有理化的一般步骤计算即可．
【解答】解：（1），
（2），
（3），
故答案为：；；．
【变式7-2】（2022春•海淀区校级期末）下列各式互为有理化因式的是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【分析】根据有理化因式定义：如果两个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因式，结合各个选项中两个代数式特征作出判断即可．
【解答】解：A.•，因此和不是有理化因式，故选项A不符合题意；
B．•a，所以和是有理化因式，因此选项B符合题意；
C．（）（）＝﹣（）2，所以和）不是有理化因式，因此选项C不符合题意；
D．（xy）•（xy）＝（xy）2，因此xy和xy不是有理化因式，所以选项D不符合题意；
故选：B．
【变式7-3】（2022•宝山区校级月考）分母有理化：
【分析】根据二次根式的性质以及运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式





【题型8 比较二次根式的大小】
【例8】（2022春•海淀区校级期末）设a，b，则a、b大小关系是（ ）
A．a＝bB．a＞bC．a＜bD．a＞﹣b
【分析】本题考查二次根式，先求出b的值，再与a比较得出结果．
【解答】解：∵a＝23
∴b（23）
所以a＞b．
故选：B．
【变式8-1】（2022春•金乡县期中）已知a，b＝2，则a，b的关系是（ ）
A．相等B．互为相反数
C．互为倒数D．互为有理化因式
【分析】求出a与b的值即可求出答案．
【解答】解：∵a2，b＝2，
∴a＝b，
故选：A．
【变式8-2】（2022春•长兴县期中）二次根式，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【分析】本题可先将各式分母有理化，然后再比较它们的大小．
【解答】解：将三个二次根式化成同分母分数比较：
∵，，；
∴．
故选：C．
【变式8-3】（2022秋•雨城区校级期中）利用作商法比较大小
比较与的大小．
【分析】根据作商比较法，看最后的比值与1的大小关系，从而可以解答本题．
【解答】解：1，
∴．
【题型9 分母有理化的应用】
【例9】（2022春•大连月考）阅读材料：
黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧、天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：（2）（2）＝1，（）（）＝3，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样理解：如，．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．
解决问题：
（1）4的有理化因式可以是 4 ，分母有理化得 ．
（2）计算：
①．
②已知：x，y，求x2+y2的值．
【分析】（1）找出各式的分母有理化因式即可；
（2）①原式各项分母有理化，合并即可得到结果；
②将x与y分母有理化后代入原式计算即可得到结果．
【解答】解：（1）4的有理化因式可以是4，分母有理化得：；
故答案为：4；
（2）①原式11＝201；
②∵x2，y2，
∴x2+y2＝7﹣47+414．
【变式9-1】（2022•潮南区模拟）“分母有理化”是根式运算的一种化简方法，如：7+4；除此之外，还可以用先平方再开方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简，可以先设x，再两边平方得x2＝（）2＝4422，又因为，故x＞0，解得x，，根据以上方法，化简的结果是（ ）
A．3﹣2B．3+2C．4D．3
【分析】直接利用有理化因式以及二次根式的性质、完全平方公式分别化简得出答案．
【解答】解：设x，
两边平方得x288，
∵，
∴x＞0，
∴x＝2，
原式2
2
2
＝3﹣22
＝3．
故选：D．
【变式9-2】（2022•普定县模拟）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：，
（1）将分母有理化可得 1 ；
（2）关于x的方程3x 的解是 ．
【分析】（1）根据材料进行分母有理化即可；
（2）先分母有理化，再根据式子的规律即可求解．
【解答】解：（1）1
故答案为：1；
（2）3x，
3x，
3x，
3x（），
6x﹣1＝﹣1，
6x＝3，
x，
故答案为：．
【变式9-3】．（2022春•九龙坡区校级月考）材料一：有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mm，则将a±2将变成m2+n2±2n，即变成（m±n）2开方，从而使得化简．
例如，5±23+2±2（）2+（）2（±）2，所以±；
材料二：在进行二次根式的化简时，我们有时会碰到如，，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）；（二）；1（三）．以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：1（四）；
请根据材料解答下列问题：
（1） 1 ； 1 ．
（2）化简：．
【分析】（1）根据材料一和完全平方公式即可得出答案；
（2）根据材料二将每一个式子分母有理化，并合并同类二次根式可得出答案．
【解答】解：（1）∵3﹣22+1﹣2（1）2，
∴1，
∵4+23+1+2（1）2，
∴1，
故答案为：1，1；
（2）
•••
1•••
＝﹣1．