浙教版八年级下册2.1 一元二次方程当堂检测题

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必考点1
利用一元二次方程求最值
1.（2022秋·新疆·八年级新疆师范大学附属中学校考期中）满足的所有实数对，使取最大值，此最大值为（ ）
A．B．C．D．
2.（2022秋·福建泉州·八年级晋江市第一中学校考期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”．
(1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；
①x2﹣5x﹣6＝0；
②x2﹣x＋1＝0；
(2)已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值；
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝10a﹣b2，求t的最大值．
3.（2022春·四川内江·八年级专题练习）将两个关于x的一元二次方程整理成（，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程（）与方程是“同源二次方程”，且方程（）有两个根为、，则b－2c＝______，的最大值是______．
4.（2022秋·江西景德镇·八年级景德镇一中校考期末）设实数满足，则的最大值为__________.
5.（2022·浙江杭州·八年级）设关于的一元二次方程有两个实数根，．
（1）求的值；
（2）求证：，且；
（3）若，试求的最大值．
6.（2022春·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考阶段练习）设m是不小于－1的实数，关于x的方程有两个不相等的实数根、，
（1）若，求m的值；
（2）求的最大值．
必考点2
利用根与系数的关系降次求值
1.（2022秋·湖北黄冈·八年级统考期中）已知，是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A．B．C．D．
2.（2022秋·河南洛阳·八年级统考期中）将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为________．
3.（2022秋·江苏盐城·八年级统考期中）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则__________．
4.（2022春·辽宁沈阳·八年级东北育才双语学校校考期中）已知是方程的一个根，则____．
5.（2022秋·上海杨浦·八年级校考期中）已知α，β是方程的两个根，，不解方程，利用根与系数的关系求的值．
6.（2022秋·福建泉州·八年级石狮市石光中学校考期中）已知关于x的一元二次方程 ．
(1)求证：方程有两个实数根；
(2)若，方程的两个实数根分别为（其中），若y是m的函数，且，求这个函数的解析式．
(3)若m为正整数，关于x的一元二次方程 的两个根都是整数，a与 分别是关于x的方程的两个根．求代数式的值．
必考点3
利用一元二次方程的解求参数取值范围
1.（2022秋·福建厦门·八年级厦门市莲花中学校考期中）设一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）﹣p2＝0的两实根分别为α、β（α＜β），则α、β满足（ ）
A．2＜α＜3≤βB．α≤2且β≥3C．α≤2＜β＜3D．α＜2且β＞3
2.（2022秋·四川眉山·八年级校考期中）关于x的方程ax2+（a+2）x+9a＝0有两个不等的实数根x1，x2，且x1＜1＜x2，那么a的取值范围是（ ）
A．﹣＜a＜B．a＞C．a＜﹣D．﹣＜a＜0
3.（2022春·浙江杭州·八年级统考期末）关于x的一元二次方程ax2＋2ax＋b＋1＝0（a•b≠0）有两个相等的实数根k．（ ）
A．若﹣1＜a＜1，则B．若，则0＜a＜1
C．若﹣1＜a＜1，则D．若，则0＜a＜1
4.（2022秋·江西景德镇·八年级景德镇一中校考期末）关于的方程的所有根都是比小的正实数，则实数的取值范围是_______________．
5.（2022秋·江苏宿迁·八年级沭阳县怀文中学校考期中）对于实数a、b，定义运算“*”； ，关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则的取值范围是___________．
6.（2022秋·浙江温州·八年级统考期末）已知关于的方程 有且仅有两个不相等的实根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．或a>0D．或a>0
7.（2022秋·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校联考期中）若实数a，b满足，则a的取值范围是 （ ）．
A．a≤B．a≥4C．a≤或 a≥4D．≤a≤4
8.（2022秋·浙江·八年级期末）关于x3﹣ax2﹣2ax+a2﹣1＝0只有一个实数根，则a的取值范围是_____．
必考点4
利用一元二次方程的解法解特殊方程
1.（2022春·安徽池州·八年级统考期中）已知x是实数且满足，那么的值是_______.
2.（2022秋·江苏·八年级统考期中）阅读理解以下内容，解决问题：
解方程：．
解：，
方程即为：，
设，原方程转化为：
解得，，，
当时，即，，；
当时，即，不成立．
综上所述，原方程的解是，．
以上解方程的过程中，将其中作为一个整体设成一个新未知数，从而将原方程化为关于的一元二次方程，像这样解决问题的方法叫做“换元法”（“元”即未知数）．
(1)已知方程：，若设，则利用“换元法”可将原方程化为关于的方程是______；
(2)仿照上述方法，解方程：．
3.（2022秋·湖南郴州·八年级统考期中）阅读下面的材料，回答问题：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设，那么，于是原方程可变为（1），解得，，当时，，；当时，，；原方程有四个根：，，，．在由原方程得到方程（1）的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．
(1)试用上述方法解方程：，得原方程的解为 ___________．
(2)解方程．
4.（2022春·上海·八年级期中）解方程：．
5.（2022春·浙江嘉兴·八年级校考期中）阅读小明用下面的方法求出方程2﹣3x＝0的
请仿照他的某一种方法，求出方法x﹣＝﹣1的解．
6.（2022秋·江西景德镇·八年级景德镇一中校考期末）解关于的方程：．
必考点5
一元二次方程的实际应用
1.（2022春·重庆·八年级重庆巴蜀中学校考期中）在“绿满重庆”行动中，江北区种植了大量的小叶榕和银杏树，根据林业专家的分析，树叶在进行光合作用后产生的分泌物能在空气中吸附悬浮颗粒，这样就达到了滞尘净化空气的作用．
（1）若某小区今年要种植银杏树和小叶榕共450株，且银杏树的数量不超过小叶榕数量的2倍，求今年该小区小叶榕至少种植多少株？
（2）已知每一片银杏树叶一年平均滞尘量为，一株银杏树去年有3500片树叶，冬季树叶全部掉落后，今年新长出了树叶，且这株银杏今年的滞尘量是去年滞尘量的1．1倍还多．已知每片小叶榕树叶的滞尘量比银杏树叶多，一株小叶榕今年的树叶总量比今年的这株银杏要少，明年这株小叶榕树叶将在今年的基础上掉落，但又会新长出1000片树叶，若今明两年这株小叶榕共滞尘量为，求的值．
2.（2022秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期中）11月份脐橙和柚子进入销售旺季，某大型水果超市的脐橙和柚子这两种水果很受欢迎，脐橙售价12元/千克，柚子售价9元/千克.
（1）若第一周脐橙的销量比柚子的销量多200千克，要使这两种水果的销售总额达到6600元，则第一周应该销售脐橙多少千克?
（2）若该水果超市第一周按照(1)中脐橙和柚子的销量销售这两种水果，并决定第二周继续销售这两种水果.第二周脐橙售价降低了元，销量比第一周增加了.柚子的售价保持不变，销量比第一周增加了，结果这两种水果第二周的销售总额比第一周增加了.求a的值.
3.（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期中）今年9月8日，重庆首家海底捞在来福士广场正式开始试营业，由于重庆人偏好麻辣口味，海底捞来福士店在原有番茄、红汤牛油、菌菇等多种常规锅底的基础上，专门为重庆人私人订制了一种“双椒锅底”．开业当天，人气爆满，番茄锅和双椒锅成为最受欢迎的两种锅底，总计销售300份，销售总额为9800元．其中双椒锅的销售单价是42元，番茄锅的销售单价为28元．
（1）求开业当天番茄锅销售数量；
（2）试营业一段时间后，商家发现番茄锅和双椒锅的日均销量之比为3：2．为了庆祝国庆，回馈广大顾客，海底捞在国庆期间推出了优惠活动，在原有售价的基础上将番茄锅降价a%，双椒锅降价a%进行销售.10月1日当天，番茄锅的销量比日均销量增加了a%，而双椒锅的销量比日均销量增加了2a%，结果当天这两种锅底的销售总额比日均销售总额多了a%，求a的值．
4.（2022秋·江苏无锡·八年级统考期中）新冠疫情蔓延全球，口罩成了人们的生活必须品，某药店销售普通口罩和N95口罩，今年8月份的进价如下表：
（1）计划N95口罩每包售价比普通口罩贵16元，7包普通口罩和3包N95口罩总售价相同，求普通口罩和N95口罩每包售价；
（2）按（1）中售价销售一段时间后发现普通口罩的日均销售量为120包，当每包售价降价1元时，日均销售量增加20包，该药店秉承让利于民的原则，对普通口罩进行降价销售，但要保证当天的利润为320元，求此时普通口罩每包售价；
（3）疫情期间，该药店进货2万包N95口罩，进价不变，店长向当地医院捐赠了a包，该款口罩，剩余的N95口罩向市民销售，若这2万包口罩的利润等于，则N95口罩每包售价是________元．（直接写出答案，售价为整数元）
5.（2022秋·山东枣庄·八年级校考期中）某公司投资新建了一商场，共有商铺30间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．
（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出多少间？年收益是多少万元？
（2）当每间商铺的年租金定为多少万元时，该公司的收益为275万元？（收益=租金-各种费用）
6.（2022春·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期中）苹果能够生津止渴、健脾养心、补血安神，水果超市的红苹果与青苹果这两种水果很受欢迎，红苹果售价为12元/千克，青苹果售价为9元/千克．
（1）若第一周红苹果的销量比青苹果的销量多200千克，要使这两种水果的总销售额不低于6600元，则第一周至少销售红苹果多少千克？
（2）若该水果超市第一周按照（1）中红苹果和青苹果的最低销量销售这两种水果，并决定第二周继续销售这两种水果，第二周红苹果售价降低了，销量比第一周增加了，青苹果的售价保持不变，销量比第一周增加了，结果这两种苹果第二周的总销售额比第一周的最低销售总额6600元增加了，求的值．
必考点6
一元二次方程在几何中的运用
1.（2022春·重庆大渡口·八年级校考期中）如图，将一副直角三角板拼在一起得四边形，，，点在边上的中点，连接，将沿所在直线翻折得到，交于点，若，点到的距离是( )
A．B．C．D．
2.（2022秋·陕西西安·八年级西安市中铁中学校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将线段AB绕着点A逆时针旋转45°后其延长线交BC的延长线于点D，已知AC＝3，BC＝1，则点D到AB的距离是（ ）
A．2B．4C．D．
3.（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期中）如图，在中，，．点是上一点，连接，将沿折叠至．连接，，平分交于点．若，则的长为（ ）
A．B．C．D．
4.（2022秋·四川成都·八年级成都市第十八中学校校考期中）在等腰梯形OABC中，OA∥BC，AB＝OC，在建立如图的平面直角坐标系中，A（8，0），B（6，6），直线AC与y轴交于点D．
（1）直接写出C点的坐标，并求出直线AC的解析式；
（2）点P的直线AC上，且△OCP的面积为12，请求出点P的坐标．
（3）在y轴右侧的直线AC上是否存在一点M，使得△OCM为等腰三角形？若有，请求出M点的坐标，若没有，请说明理由．
5.（2022秋·广西玉林·八年级统考期中）如图，中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．
(1)若的面积是面积的，求的值？
(2)的面积能否为面积的一半？若能，求出的值；若不能，说明理由．
6.（2022秋·辽宁沈阳·八年级沈阳市第一二六中学校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，，动点从点出发，沿轴正方向以每秒个单位的速度移动，同时动点从点出发，沿射线方向以每秒个单位的速度运动．以为邻边构造，在线段延长线上取点，使，设点运动的时间为秒．
(1)当点运动到线段的中点时，求的值及点的坐标；
(2)当点在线段上时，求证：四边形为平行四边形；
(3)在线段上取点，使，过点作，截取，且点分别在第一、四象限，在运动过程中，当点中，有一点落在四边形的边上时，直接写出所有满足条件的t的值．解法1：令＝t，则x＝t2
原方程化为2t﹣3t2＝0
解方程2t﹣3t2＝0，得t1＝0，t2＝；
所以＝0或，
将方程＝0或两边平方，
得x＝0或，
经检验，x＝0或都是原方程的解．
所以，原方程的解是x＝0或．
解法2：移项，得2＝3x，
方程两边同时平方，得4x＝9x2，
解方程4x＝9x2，得x＝0或，
经检验，x＝0或都是原方程的解．
所以，原方程的解是x＝0或．
普通口罩
N95口罩
进价（元/包）
8
20