浙教版八年级下册数学举一反三系列 专题2.4 一元二次方程根与系数的关系【八大题型】（学生版+教师版）

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专题2.4 一元二次方程根与系数的关系【八大题型】【浙教版】TOC \o "1-3" \t "正文,1" \hTOC \o "1-1" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc4072" 【题型1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】  PAGEREF _Toc4072 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc29428" 【题型2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】  PAGEREF _Toc29428 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc3501" 【题型3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】  PAGEREF _Toc3501 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc7704" 【题型4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】  PAGEREF _Toc7704 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc1663" 【题型5 构造一元二次方程求代数式的值】  PAGEREF _Toc1663 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc3588" 【题型6 已知方程根的情况判断另一个方程】  PAGEREF _Toc3588 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc19513" 【题型7 根与系数关系中的新定义问题】  PAGEREF _Toc19513 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc3708" 【题型8 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】  PAGEREF _Toc3708 \h 19【知识点 一元二次方程的根与系数的关系】如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.【题型1 由根与系数的关系求代数式的值（直接）】【例1】（2022•江安县模拟）若α、β是一元二次方程2x2+3x﹣5＝0的两根，则的值是 　 　．【分析】根据根与系数的关系可得α+β，αβ，再根据完全平方公式以及分式的加法法则即可求出代数式的值．【解答】解：∵α+β，αβ，∴α2+β2＝（α+β）2﹣2αβ，∴，故答案为：．【变式1-1】（2021秋•密山市校级期末）若x1，x2是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两根，则（x1﹣1）（x2﹣1）的值为（　　）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2、x1x2的值，再代入计算即可．【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣7x+5＝0的两根，∴x1+x2＝7；x1x2＝5．则（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣（x1+x2）+1＝5﹣7+1＝﹣1．故选：B．【变式1-2】（2022•汉川市模拟）已知实数a、b满足|b+3|＝0，若关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，则的值是（　　）A． B． C．2 D．【分析】根据非负数的性质得出a＝2，b＝3，根据根与系数的关系可得x1+x2＝2，x1•x2＝3，将变形为，整体代入即可求得．【解答】解：∵实数a、b满足|b+3|＝0，∴a＝2，b＝﹣3，∵关于x的一元二次方程x2﹣ax+b＝0的两个实数根分别为x1、x2，∴x1+x2＝a＝2，x1•x2＝b＝﹣3，∴，故选：A．【变式1-3】（2022春•琅琊区校级月考）若α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣5x﹣14＝0的两个根，则α﹣β的值为（　　）A．﹣9 B．9 C．﹣9或9 D．﹣5或5【分析】利用根与系数的关系可得出α+β＝5，α•β＝﹣14，将其代入（α﹣β）2＝（α+β）2﹣4α•β中可求出（α﹣β）2的值，开方后即可求出α﹣β的值．【解答】解：∵α，β（α≠β）是一元二次方程x2﹣5x﹣14＝0的两个根，∴α+β＝5，α•β＝﹣14，∴（α﹣β）2＝（α+β）2﹣4α•β＝52﹣4×（﹣14）＝81，∴α﹣β＝±9．故选：C．【题型2 由根与系数的关系求代数式的值（代换）】【例2】（2022•乳山市模拟）若x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两个根，则3x12﹣3x1+x22＝（　　）A． B． C． D．【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2，x1x2，将3x12﹣3x1+x22变形后求值即可．【解答】解：∵x1，x2是方程2x2﹣3x+1＝0的两个根，∴x1+x2，x1x2，2x12﹣3x1+1＝0，∴3x12﹣3x1+x22＝2x12﹣3x1+x12+x22＝﹣1＝﹣11，故选：A．【变式2-1】（2022•牟平区一模）已知一元二次方程x2﹣2022x+1＝0的两个根分别为x1，x2，则x121的值为（　　）A．﹣1 B．0 C．﹣2022 D．﹣2021【分析】先根据一元二次方程根的定义得到x12+1＝2022x1，则x121变形为2022，再根据根与系数的关系得到x1x2＝1，然后利用整体的方法计算即可．【解答】解：∵x＝x1为方程x2﹣2022x+1＝0的根，∴x12﹣2022x1+1＝0，∴x12+1＝2022x1，∴x121＝2022x12022，∵方程x2﹣2022x+1＝0的两个根分别为x1，x2，∴x1x2＝1，∴x121＝20220．故选：B．【变式2-2】（2022•东港区校级一模）若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个实数根，则m2﹣6m﹣n+2022的值是（　　）A．2016 B．2018 C．2020 D．2022【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2﹣5m﹣1＝0，则m2﹣5m＝1，根据根与系数的关系得出m+n＝5，再将其代入整理后的代数式计算即可．【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的根，∴m2﹣5m﹣1＝0，∴m2﹣5m＝1，∵m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣1＝0的两个根，∴m+n＝5，∴m2﹣6m﹣n+2022＝m2﹣5m﹣m﹣n+2022＝1﹣5+2022＝2018．故选：B．【变式2-3】（2022春•海门市期末）若m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，则2m2+4n2﹣4n+2022的值为 　 　．【分析】由m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根可得：m2＝2m+1，n2＝2n+1，m+n＝2，代入所求式子即可得到答案．【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个实数根，∴m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，m+n＝2，∴m2＝2m+1，n2＝2n+1，∴2m2+4n2﹣4n+2022＝2（2m+1）+4（2n+1）﹣4n+2022＝4m+2+8n+4﹣4n+2022＝4（m+n）+2028＝4×2+2028＝2036，故答案为：2036．【题型3 由根与系数的关系求代数式的值（降次）】【例3】（2022•呼和浩特）已知x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式x13﹣2022x1+x22的值是（　　）A．4045 B．4044 C．2022 D．1【分析】把x＝x1代入方程表示出x12﹣2022＝x1，代入原式利用完全平方公式化简，再根据根与系数的关系求出所求即可．【解答】解：把x＝x1代入方程得：x12﹣x1﹣2022＝0，即x12﹣2022＝x1，∵x1，x2是方程x2﹣x﹣2022＝0的两个实数根，∴x1+x2＝1，x1x2＝﹣2022，则原式＝x1（x12﹣2022）+x22＝x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝1+4044＝4045．故选：A．【变式3-1】（2022•硚口区模拟）已知a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两根，则代数式﹣a3+5a的值是（　　）A．5 B．﹣5 C．1 D．﹣1【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2﹣a＝5，ab＝﹣5，变形后可得出a2﹣5＝a，a，将其代入﹣a3+5aa（a2﹣5）中可得出原式＝﹣a2+a，再结合a2﹣a＝5，即可求出原式＝﹣5．【解答】解：∵a，b是方程x2﹣x﹣5＝0的两根，∴a2﹣a＝5，ab＝﹣5，∴a2﹣5＝a，a，∴﹣a3+5aa（a2﹣5）a2+a＝﹣（a2﹣a）＝﹣5．故选：B．【变式3-2】（2022•松山区模拟）若m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则m3﹣4n2+17的值为（　　）A．﹣2 B．6 C．﹣4 D．4【分析】根据m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，可以得到m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，m+n＝﹣1，然后变形得到m3和4n2，再代入所求式子，计算即可．【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，∴m2+m﹣3＝0，n2+n﹣3＝0，m+n＝﹣1，∴m2＝3﹣m，n2＝3﹣n，∴m3＝3m﹣m2＝3m﹣3+m＝4m﹣3，4n2＝12﹣4n，∴m3﹣4n2+17＝4m﹣3﹣12+4n+17＝4（m+n）+2＝4×（﹣1）+2＝﹣4+2＝﹣2，故选：A．【变式3-3】（2022春•汉阳区校级月考）已知m，n是方程x2﹣4x+2＝0的两根，则代数式2m3+5n24的值是（　　）A．57 B．58 C．59 D．60【分析】将代数式的次数化为一次，然后将m，n的值代入求解即可．【解答】解：∵m，n是方程x2﹣4x+2＝0的两根，∴m2﹣4m+2＝0，n2﹣4n+2＝0，m+n＝4∴m2＝4m﹣2，n2＝4n﹣2，∴n＝4，即4﹣n，m3＝4m2﹣2m＝14m﹣8，∴原式＝2（14m﹣8）+5（4n﹣2）﹣8（4﹣n）+4＝28（m+n）﹣54＝58．故选：B．【题型4 由方程两根满足关系式求字母系数的值】【例4】（2021秋•毕节市期末）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足，则m的值为（　　）A．﹣3或1 B．﹣1或3 C．﹣1 D．3【分析】根据根与系数关系得出：x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2，代入中，求出m的值，再进行检验即可．【解答】解：∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根，∴x1+x2＝2m+3，x1x2＝m2，∴1，解得：m＝3或m＝﹣1，把m＝3代入方程得：x2﹣9x+9＝0，Δ＝（﹣9）2﹣4×1×9＞0，此时方程有解；把m＝﹣1代入方程得：x2﹣x+1＝0，Δ＝1﹣4×1×1＜0，此时方程无解，即m＝﹣1舍去．故选：D．【变式4-1】（2021秋•黔西南州期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．且x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，则a的值为（　　）A．﹣6 B．﹣1 C．1或﹣6 D．6或﹣1【分析】先根据判别式的意义得到a＜3，再根据根与系数的关系得x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，利用x12+x22﹣x1x2＝16得到4（a﹣1）2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，解关于a的方程，然后利用a的范围确定满足条件的a的值．【解答】解：根据题意得△＝4（a﹣1）2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，解得a＜3，根据根与系数的关系得x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，∵x12+x22﹣x1x2＝16，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝16，即4（a﹣1）2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，整理得a2﹣5a﹣6＝0，解得a1＝﹣1，a2＝6，而a＜3，∴a的值为﹣1．故选：B．【变式4-2】（2022春•仓山区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2﹣4kx+3k2＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若此方程的两个实数根x1，x2，满足x1﹣x2＝3，求k的值．【分析】（1）通过计算根的判别式的值得到Δ＝4k2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；（2）设方程的两实数解为a、b，根据根与系数的关系得a+b＝4k，ab＝3k2，再利用|a﹣b|＝3得到（a+b）2﹣4ab＝9，则16k2﹣4×3k2＝9，然后解方程，从而得到满足条件的k的值．【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣4k）2﹣4×3k2＝4k2≥0，∴该方程总有两个实数根；（2）解：设方程的两实数解为a、b，根据根与系数的关系得x1+x2＝4k，x1x2＝3k2，∵|x1﹣x2|＝3，∴（x1﹣x2）2＝9，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，∴16k2﹣4×3k2＝9，即k2，解得k1，k2．故k的值为或．【变式4-3】（2022•内江）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且x12+2x2﹣1，则k的值为 　 　．【分析】根据x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，可得x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，把x12+2x2﹣1变形再整体代入可得4﹣k，解出k的值，并检验即可得k＝2．【解答】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，∴x12＝2x1﹣k+1，∵x12+2x2﹣1，∴2（x1+x2）﹣k，∴4﹣k，解得k＝2或k＝5，当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；∴k＝2，故答案为：2．【题型5 构造一元二次方程求代数式的值】【例5】（2022•鄞州区模拟）已知实数a≠b，且满足（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2，则的值为（　　）A．23 B．﹣23 C．﹣2 D．﹣13【分析】根据（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2，把a、b可看成是关于x的方程（x+1）2+3（x+1）﹣3＝0的两个根，然后根据根与系数的关系进行求解．【解答】解：∵a、b是关于x的方程（x+1）2+3（x+1）﹣3＝0的两个根，整理此方程，得x2+5x+1＝0，∵Δ＝25﹣4＞0，∴a+b＝﹣5，ab＝1．故a、b均为负数．因此．故选：B．【变式5-1】（2021秋•鄞州区校级期末）已知实数α，β满足2α2+5α﹣2＝0，2β2﹣5β﹣2＝0，且αβ≠1，且的值为（　　）A． B． C． D．【分析】方法1：2β2﹣5β﹣2＝0，可得2（）2+52＝0，那么α、是方程2x2+5x﹣2＝0的两实根，由根与系数关系得α，α•1，再把变形（α）+α•，然后利用整体代入的方法计算；方法2：代数式先提取前两项中的，再提取即可．【解答】解：方法1：∵2β2﹣5β﹣2＝0，∴β≠0，方程两边同时除以﹣β2，可得2（）2+52＝0，又2α2+5α﹣2＝0，∴α、是方程2x2+5x﹣2＝0的两实根，∴α，α•1，∴1+α•α（α）+α•1（）+（﹣1）+1．方法2：（α）αα（α）（）．故选：A．【变式5-2】（2022•周村区二模）已知a、b、m、n为互不相等的实数，且（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，则ab﹣mn的值为（　　）A．4 B．1 C．﹣2 D．﹣1【分析】先把已知条件变形得到a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，则可把a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两实数根，利用根与系数的关系得到ab＝mn﹣2，从而得到ab﹣mn的值．【解答】解：∵（a+m）（a+n）＝2，（b+m）（b+n）＝2，∴a2+（m+n）a+mn﹣2＝0，b2+（m+n）b+mn﹣2＝0，而a、b、m、n为互不相等的实数，∴a、b看作方程x2+（m+n）x+mn﹣2＝0的两实数根，∴ab＝mn﹣2，∴ab﹣mn＝﹣2．故选：C．【变式5-3】（2022春•杭州期中）若xy+x≠1，且5x2+300x+9＝0，9y2+318y+314＝0，则的值是 　　．【分析】方程9y2+318y+314＝0可变形为9（y+1）2+300（y+1）+5＝0，把9（y+1）2+300（y+1）+5＝0两边都除以（y+1）2得5×（）2+3009＝0，结合xy+x≠1可得出x，是方程5x2+300x+9＝0的两个不相等的实数根，再利用根与系数的关系可得答案．【解答】解：∵9y2+318y+314＝0，∴9（y+1）2+300（y+1）+5＝0．把9（y+1）2+300（y+1）+5＝0两边都除以（y+1）2，得5×（）2+3009＝0．∵xy+x≠1，∴x，∴x，是方程5x2+300x+9＝0的两个不相等的实数根，∴．故答案为：．【题型6 已知方程根的情况判断另一个方程】【例6】（2022•新华区校级一模）已知关于x的一元二次方程（p+1）x2+2qx+（p+1）＝0（其中p，q为常数）有两个相等的实数根，则下列结论：①1和一1都是方程x2+qx+p＝0的根②0可能是方程x2+qx+p＝0的根③﹣1可能是方程x2+qx+p＝0的根④1一定不是方程x2+qx+p＝0的根其中正确的是（　　）A．①② B．③④ C．②③ D．①④【分析】根据根的判别式可得Δ＝（2q）2﹣4（p+1）2＝0，进一步可得q＝±（p+1），可知x＝1或x＝﹣1可能是但不能同时是方程x2+qx+p＝0的根；当x＝0时，可得p和q的值且符合题意，即可进行判断．【解答】解：根据题意，可得Δ＝（2q）2﹣4（p+1）2＝0，且p+1≠0，∴q＝±（p+1），当q＝p+1时，q﹣p﹣1＝0，此时x＝﹣1是方程x2+qx+p＝0的根，当q＝﹣（p+1）时，q+p+1＝0，此时x＝1是方程x2+qx+p＝0的根，∵p+1≠0，∴p+1≠﹣（p+1），∴x＝1和x＝﹣1不能同时是方程x2+qx+p＝0的根，故①④不符合题意，③选项符合题意；当x＝0时，p＝0，∴q＝±1，∴当p＝0，q＝±1时，x＝0是方程x2+qx+p＝0的根，故②符合题意，故选：C．【变式6-1】（2022春•余杭区月考）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0与cx2+bx+a＝0，且ac≠0，a≠c．下列说法正确的是（　　）A．若方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则方程cx2+bx+a＝0没有实数根 B．若方程ax2+bx+c＝0的两根符号相同，则方程cx2+bx+a＝0的两根符号也相同 C．若5是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则5也是方程cx2+bx+a＝0的一个根 D．若方程ax2+bx+c＝0和方程cx2+bx+a＝0有一个相同的根，则这个根必是x＝1【分析】利用根的判别式与根与系数的关系判断即可．【解答】解：A、若方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则有b2﹣4ac＝0，可得方程cx2+bx+a＝0也有两个相等的实数根，不符合题意；B、若方程ax2+bx+c＝0的两根符号相同，即0，则方程cx2+bx+a＝0的两根符号也相同，符合题意；C、把x＝5代入方程得：25a+5b+c＝0，而25c+5b+a不一定为0，即x＝5不一定是方程cx2+bx+a＝0的一个根，不符合题意；D、若方程ax2+bx+c＝0和方程cx2+bx+a＝0有一个相同的根，则有ax2+bx+c＝cx2+bx+a，即（a﹣c）x2＝a﹣c，由a≠c，得到x2＝1，即x＝±1，不符合题意．故选：B．【变式6-2】（2022春•仓山区校级期末）已知两个关于x的一元二次方程M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中ac≠0，a≠c．下列结论错误的是（　　）A．若方程M有两个相等的实数根，则方程N也有两个相等的实数根 B．若方程M有一个正根和一个负根，则方程N也有一个正根和一个负根 C．若5是方程M的一个根，则是方程N的一个根 D．若方程M和方程N有一个相同的根，则这个根一定是x＝1【分析】A、一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，则Δ＝b2﹣4ac＝0，对于方程cx2+bx+a＝0，Δ＝b2﹣4ac＝0，则方程N也有两个相等的实数根；B、利用ac＜0和根的判别式进行判断即可；C、把x＝5代入ax2+bx+c＝0得：25a+5b+c＝0，等式的两边同除以25得到cb+a＝0，于是得到是方程N的一个根，无法得到5是方程N的一个根；D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根可能是x＝±1．【解答】解：A、∵方程M有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝0，∵方程N的Δ＝b2﹣4ac＝0，∴方程N也有两个相等的实数根，故不符合题意；B、∵方程M的两根符号相同，∴0，且b2﹣4ac＞0，∴0，且b2﹣4ac＞0，∴方程N也有一个正根和一个负根，故不符合题意；C、∵把x＝5代入ax2+bx+c＝0得：25a+5b+c＝0，∴cb+a＝0，∴是方程N的一个根，故不符合题意；D、∵方程M和方程N有一个相同的根，∴ax2+bx+c＝cx2+bx+a，∴（a﹣c）x2＝a﹣c，∵a≠c，∴x2＝1，∴x＝±1，即这个根可能是x＝±1；故符合题意．故选：D．【变式6-3】（2022春•瑶海区校级期末）关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，则下列说法正确的是（　　）A．p是正数，q是负数 B．（p﹣2）2+（q﹣2）2＜8 C．q是正数，p是负数 D．（p﹣2）2+（q﹣2）2＞8【分析】设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．根据方程解的情况，结合根与系数的关系可得出x1•x2＝q＞0，y1•y2＝p＞0，即可判断A与C；②由方程有两个实数根结合根的判别式得出p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，利用不等式的性质以及完全平方公式得出（p﹣2）2+（q﹣2）2＞8，即可判断B与D．【解答】解：设方程x2+px+q＝0的两根为x1、x2，方程y2+qy+p＝0的两根为y1、y2．∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，∴x1•x2＝q＞0，y1•y2＝p＞0，故选项A与C说法均错误，不符合题意；∵关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个同号非零整数根，关于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有两个同号非零整数根，∴p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，∴（p﹣2）2+（q﹣2）2＝p2﹣4q+4+q2﹣4p+4＞8（p、q不能同时为2，否则两个方程均无实数根），故选项B说法错误，不符合题意；选项D说法正确，符合题意；故选：D．【题型7 根与系数关系中的新定义问题】【例7】（2022秋•武侯区校级期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”以下“关于2的等距方程”的说法，正确的有　 　．（填序号）①方程x2﹣4x＝0是关于2的等距方程；②当5m＝﹣n时，关于x的方程（x+1）（mx+n）＝0一定是关于2的等距方程；③若方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，则必有b＝﹣4a（a≠0）；④当两根满足x1＝3x2，关于x的方程px2﹣x0是关于2的等距方程．【分析】①解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；②解得方程的解后即可利用关于2的等距方程的定义进行判断；③根据方程ax2+bx+c＝0是关于2的等距方程，且b＝﹣4a（a≠0）得到x1＝x2或x1+x2＝4，当x1＝x2时，x1＝x2，不能判断a与b之间的关系，当x1+x2＝4时，即4，得到b＝﹣4a，据此即可判断；④根据韦达定理和x1＝3x2，得出3x22（3x2+x2）＝3x2，解得x2＝1或x2＝0（舍去），然后利用关于2的等距方程的定义进行判断．【解答】解：①∵x2﹣4x＝0，∴x（x﹣4）＝0，∴x1＝0，x2＝4，则|x1﹣2|＝|x2﹣2|，①正确；②当m≠0，n≠0时，（x+1）（mx+n）＝0，则x1＝﹣1，x2，∵5m＝﹣n，∴x2＝5，∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，满足2的等距方程；当m＝n＝0时，原方程x+1＝0不是一元二次方程，故②错误；③对于方程ax2+b+c＝0（a≠0），由韦达定理得：x1+x2，∵方程是2的等距方程，∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，则x1﹣2＝x2﹣2或x1﹣2＝2﹣x2，∴x1＝x2或x1+x2＝4，当x1＝x2时，x1＝x2，不能判断a与b之间的关系，当x1+x2＝4时，即4，∴b＝﹣4a，故ax2+bx+c＝0（a≠0）是2的等距方程时，b不一定等于﹣4a，故③错误；④对于方程px2﹣x0有两根满足x1＝3x2，由韦达定理得：x1x2，x1+x2，∴x1x2（x1+x2），∴3x22（3x2+x2）＝3x2，∴x2＝1或x2＝0（舍去），∴x1＝3x2＝3，∴|x1﹣2|＝|x2﹣2|，即px2﹣x0是关于2的等距方程，故④正确，故正确的有①④，故答案为①④．【变式7-1】（2021秋•金牛区期末）将两个关于x的一元二次方程整理成a（x+h）2+k＝0（a≠0，a、h、k均为常数）的形式，如果只有系数a不同，其余完全相同，我们就称这样的两个方程为“同源二次方程”．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）与方程（x+1）2﹣2＝0是“同源二次方程”，且方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根为x1、x2，则b﹣2c＝　4　，ax1+x1x2+ax2的最大值是 　 　．【分析】根据新的定义可知b＝2a，c＝a﹣2，即可得到b﹣2c＝2a﹣2（a﹣2）＝4，由根与系数的关系x1+x2＝﹣2，x1x2，代入变形后的代数式得到ax1+x1x2+ax2＝a（x1+x2）+x1x2＝﹣2a2（a）+1，设at（t＞0），得a2﹣t•a+1＝0，根据题意解得t≥2，即a2，即可得到ax1+x1x2+ax2＝﹣2（a）+1≤﹣3．【解答】解：根据新的定义可知，方程ax2+bx+c＝0（a≠0）可变形为a（x+1）2﹣2＝0，∴a（x+1）2﹣2＝ax2+bx+c，∴ax2+2ax+a﹣2＝ax2+bx+c，∴b＝2a，c＝a﹣2，∴b﹣2c＝2a﹣2（a﹣2）＝4，∵x1+x2＝﹣2，x1x2∴ax1+x1x2+ax2＝a（x1+x2）+x1x2＝﹣2a2（a）+1，∵方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根为x1、x2，∴Δ＝b2﹣4ac＝（2a）2﹣4a（a﹣2）＝8a≥0，且a≠0，∴a＞0，设at（t＞0），得a2﹣t•a+1＝0，∵方程a2﹣t•a+1＝0有正数解，∴Δ＝t2﹣4≥0，解得t≥2，即a2，∴ax1+x1x2+ax2＝﹣2（a）+1≤﹣3，∴ax1+x1x2+ax2的最大值是﹣3．故答案为：4，﹣3．【变式7-2】（2021秋•章贡区期末）我们定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．（1）请说明方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程；（2）若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，则m，n具有怎样的关系？（3）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（b2﹣4ac≥0）是倍根方程，则a，b，c的等量关系是 　 　．（直接写出结果）【分析】（1）利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝1，然后根据“倍根方程”可判断方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程；（2）利用因式分解法解方程得x1＝2，x2，再利用“倍根方程”的定义得到2×2或2，从而得到m、n的关系式；（3）设方程的两根分别为t，2t，根据根与系数的关系得t+2t，t•2t，然后消去t得到a、b、c的关系．【解答】解：（1）（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0或x﹣1＝0，∴x1＝2，x2＝1，∴方程x2﹣3x+2＝0是倍根方程；（2）∵（x﹣2）（mx+n）＝0，∴x1＝2，x2，当2×2时，n＝﹣4m，即4m+n＝0；当2时，n＝﹣m，即m+n＝0；综上所述，m、n的关系式为4m+n＝0或m+n＝0．（3）∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（b2﹣4ac≥0）是倍根方程，∴设方程的两根分别为t，2t，根据根与系数的关系得t+2t，t•2t，∴t，∴2（）2，∴2b2＝9ac．故答案为：2b2＝9ac．【变式7-3】（2022春•宜秀区校级月考）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个实数根，若满足|x1﹣x2|＝1，则此类方程称为“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题：（1）通过计算，判断下列方程是否是“差根方程”：①x2﹣4x﹣5＝0；②2x2﹣2x+1＝0；（2）已知关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，请探索a与b之间的数量关系式．【分析】（1）据“差根方程”定义判断即可；（2）根据x2+2ax＝0是“差根方程”，且x1＝0，x2＝﹣2a得到2a＝±1，从而得到a＝±；（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，根据根与系数的关系得到1，整理即可得到b2＝a2+4a．【解答】解：（1）①设x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的两个实数根，∴x1+x2＝4，x1•x2＝﹣5，∴|x1﹣x2|6，∴方程x2﹣4x﹣5＝0不是差根方程；②设x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+1＝0的两个实数根，∴x1+x2，x1•x2，∴|x1﹣x2|1，∴方程2x2﹣2x+1＝0是差根方程；（2）x2+2ax＝0，因式分解得：x（x+2a）＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣2a，∵关于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，∴2a＝±1，即a＝±；（3）设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）的两个实数根，∴x1+x2，x1•x2，∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差根方程”，∴|x1﹣x2|＝1，∴|x1﹣x2|1，即1，∴b2＝a2+4a．【题型8 由方程两根的不等关系确定字母系数的取值范围】【例8】（2021秋•锦江区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个小于5的根，另一个根大于5，求m的取值范围；【分析】（1）首先计算△，再根据非负数的性质可判断出Δ≥0，进而得到结论；（2）当两根一个大于5一个小于5时，得到方程有两个不相等的实数根其两根与5的差的积小于零，列出不等式解之即可；【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣m）2﹣4×1×（2m﹣4）＝（m﹣4）2≥0，∴不论m取何实数，该方程总有两个实数根；（2）设两个实数根为x1，x2，则x1+x2＝m，x1x2＝2m﹣4，∵方程的一个根大于5，另一个根小于5，∴（x1﹣5）（x2﹣5）＝x1x2﹣5（x1+x2）+25＜0，∴2m﹣4﹣5m+25＜0，解得：m＞7，∴方程的一个根大于5，另一个根小于5，m的取值范围是m＞7；【变式8-1】（2022春•临平区月考）已知一元二次方程mx2+nx﹣（m+n）＝0．（1）试判断方程根的情况．（2）若m＜0时方程的两根x1，x2满足x1•x2＞1，且n＝1，求m的取值范围．【分析】（1）通过一元二次方程根的判别式求解．（2）由一元二次方程根与系数的关系求出x1•x21，进而求解．【解答】解：（1）∵一元二次方程mx2+nx−（m+n）＝0，∴m≠0，Δ＝n2−4m×[−（m+n）]＝（n+2m）2≥0，∴该方程有两个实数根．（2）将n＝1代入方程mx2+nx−（m+n）＝0，得mx2+x−（m+1）＝0，∵方程的两根x1，x2满足x1•x2＞1，∴x1•x21，当m＜0时，可得m＜0，即m的取值范围是m＜0．【变式8-2】（2022秋•新都区校级月考）实数k取何值时，关于x的一元二次方程x2+（3k﹣1）x+3k﹣2＝0（1）有两个负根？（2）两根异号，且负根绝对值较大？（3）一根大于5，一根小于5？【分析】（1）根据一元二次方程有两个实根，则判别式△≥0，并且两根的和小于0，且两根的积大于0，根据一元二次方程的根与系数的关系即可得到关于k的不等式组，即可求得k的范围；（2）根据一元二次方程有两个不相等的实根，则判别式Δ＞0，并且负根的绝对值较大，则两根的和小于0，且两根的积小于0，根据一元二次方程的根与系数的关系即可得到关于k的不等式组，即可求得k的范围；（3）设方程的两个根分别是x1、x2，根据题意，得（x1﹣5）（x2﹣5）＜0，根据一元二次方程根与系数的关系即可求得k的取值范围，再根据Δ＞0确定k的范围．【解答】解：（1）设方程的两个负根为x1、x2，则：Δ＝（3k﹣1）2﹣4（3k﹣2）＝9（k﹣1）2≥0 ①，x1+x2＝1﹣3k＜0，x1x2＝3k﹣2＞0 ②，解①得：k为任意实数，解②得：k，所以k的取值范围是k；（2）设方程的两个根为x1、x2，则：Δ＝（3k﹣1）2﹣4（3k﹣2）＝9（k﹣1）2＞0 ①，x1+x2＝1﹣3k＜0，x1x2＝3k﹣2＜0 ②，解①得：k≠1，解②得：k，所以k的取值范围是k；（3）设方程的两个根为x1、x2，则：Δ＝（3k﹣1）2﹣4（3k﹣2）＝9（k﹣1）2＞0 ①，（x1﹣5）（x2﹣5）＜0 ②，解①得：k≠1，由②得：x1x2﹣5（x1+x2）+25＜0，又x1+x2＝1﹣3k，x1x2＝3k﹣2，代入整理，得18k+18＜0，解得k＜﹣1．则k＜﹣1．【变式8-3】（2022春•越秀区校级月考）设关于x的方程x2﹣5x﹣m2+1＝0的两个实数根分别为α、β．（1）证明：无论实数m为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）当|α|+|β|≤6时，试确定实数m的取值范围．【分析】（1）根据根的判别式即可求解；（2）根据x的方程x2﹣5x﹣m2+1＝0的实根为α、β，由根与系数的关系列出不等式即可解出m的取值范围．【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣5）2﹣4（﹣m2+1）＝4m2+21＞0，∴无论实数m为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵α+β＝5，αβ＝1﹣m2，|α|+|β|≤6，∴α2+β2+2|αβ|≤36，即（α+β）2﹣2αβ+2|αβ|≤36．∴25﹣2（1﹣m2）+2|1﹣m2|≤36，当1﹣m2≥0时，25≤36成立，∴﹣1≤m≤1①．当1﹣m2＜0时，得25﹣4（1﹣m2）≤36，∴−m②．由①、②得−m．