浙教版八年级下册数学举一反三系列 专题7.3 期中期末专项复习之数据的分析十六大必考点（学生版+教师版）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc1318" 【考点1 求一组数据的平均数】 PAGEREF _Tc1318 \h 1
\l "_Tc32195" 【考点2 利用平均数求未知数据的值】 PAGEREF _Tc32195 \h 3
\l "_Tc31952" 【考点3 利用已知的平均数求相关数据的平均数】 PAGEREF _Tc31952 \h 5
\l "_Tc29802" 【考点4 运用平均数做决策】 PAGEREF _Tc29802 \h 6
\l "_Tc24843" 【考点5 求加权平均数】 PAGEREF _Tc24843 \h 8
\l "_Tc19406" 【考点6 利用加权平均数求未知数据的值】 PAGEREF _Tc19406 \h 10
\l "_Tc14530" 【考点7 运用加权平均数做决策】 PAGEREF _Tc14530 \h 12
\l "_Tc27803" 【考点8 求中位数】 PAGEREF _Tc27803 \h 16
\l "_Tc6557" 【考点9 利用中位数求未知数据的值】 PAGEREF _Tc6557 \h 18
\l "_Tc20193" 【考点10 运用中位数做决策】 PAGEREF _Tc20193 \h 20
\l "_Tc30825" 【考点11 求众数】 PAGEREF _Tc30825 \h 24
\l "_Tc25930" 【考点12 利用众数求未知数据的值】 PAGEREF _Tc25930 \h 26
\l "_Tc20975" 【考点13 运用众数做决策】 PAGEREF _Tc20975 \h 27
\l "_Tc25369" 【考点14 求方差或标准差】 PAGEREF _Tc25369 \h 31
\l "_Tc6013" 【考点15 利用方差求未知数据的值】 PAGEREF _Tc6013 \h 33
\l "_Tc15128" 【考点16 利用方差做决策】 PAGEREF _Tc15128 \h 35
【考点1 求一组数据的平均数】
【例1】（2022秋·山东烟台·八年级统考期中）某排球队6名上场队员的身高（单位：）是：180，184，188，190，192，194，现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员的身高平均数（ ）
A．变大B．变小C．不变D．都有可能
【答案】B
【分析】分别计算出原数据和新数据的平均数，然后进行比较即可得出答案．
【详解】解：原数据的平均数为：，
新数据的平均数为，
∵
∴与换人前相比，场上队员的身高平均数变小；
故故选：B．
【点睛】本题考查平均数的定义：一般地设n个数据的平均数为．
【变式1-1】（2022秋·全国·七年级期中）某校规定英语竞赛成绩85分以上为优秀，老师将85分记为0，并将一组5名同学的成绩简记为−3，+14，0，+5，−6，这5名同学的平均成绩是（ ）
A．83B．87C．82D．84
【答案】B
【分析】先求出，，0，，的和，再求出平均成绩即可．
【详解】解：
，
这5名同学的平均成绩是，
故选：．
【点睛】本题考查了正数和负数的应用，能根据题意列出算式是解此题的关键．
【变式1-2】（2022春·山东滨州·八年级统考期中）小明这学期第一次数学考试得了72分，第二次数学考试得了86分，为了达到三次考试的平均成绩不少于80分的目标，他第三次数学考试至少得____分．
【答案】82
【分析】设第三次考试成绩为x，根据三次考试的平均成绩不少于80分列不等式，求出x的取值范围即可得答案．
【详解】设第三次考试成绩为x，
∵三次考试的平均成绩不少于80分，
∴，
解得：，
∴他第三次数学考试至少得82分，
故答案为：82
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用．熟练掌握求平均数的方法，根据不等关系正确列出不等式是解题关键．
【变式1-3】（2022春·河南南阳·七年级统考期中）在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数．若去掉一个最高分，平均分为x；去掉一个最低分，平均分为y；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z，则（ ）
A．y＞z＞xB．x＞z＞yC．y＞x＞zD．z＞y＞x
【答案】A
【分析】根据题意，可以判断x、y、z的大小关系，从而可以解答本题．
【详解】由题意可得，去掉一个最低分，平均分为y最大，去掉一个最高分，平均分为x最小，其次就是同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z
即y＞z＞x，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平均数的大小判断，分别确定各种情况的平均值是解答此题的关键．
【考点2 利用平均数求未知数据的值】
【例2】（2022春·天津南开·八年级统考期末）为监测某河道水质，进行了6次水质检测，绘制了如图的氨氮含量的折线统计图．若这6次水质检测氨氮含量平均数为1．5 mg/L，则第3次检测得到的氨氮含量是________ mg/L．
【答案】1．
【详解】解：设第3次检测得到的氨氮含量是xmg//L,
由题意得 1.6+2+x+1.5+1.4+1.5=1.5×6，解得x=1．
故答案为1．
【变式2-1】（2022秋·河北石家庄·九年级统考期中）一组数据2，3，4，x，6的平均数是4，则x是_______．
【答案】5
【分析】根据用平均数的定义列出算式，再进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵数据2，3，4，x，6的平均数是4，
∴（2+3+4+x+6）÷5=4，
解得：x=5；
故答案为：5．
【点睛】本题考查了平均数的概念．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
【变式2-2】（2022春·陕西渭南·八年级统考期末）某校5个环保小队参加植树活动，平均每组植树10棵，已知第一、二、三、五组分别植树9棵、12棵、9棵、8棵，则第四小组植树( )
A．7棵B．9棵C．10棵D．12棵
【答案】D
【分析】根据平均数乘以5得到总数，减去其他四组的数量即可得到答案.
【详解】（棵）
故选：D.
【点睛】此题考查利用平均数求总数，理解平均数的意义，正确计算是解题的关键.
【变式2-3】（2022秋·湖南永州·七年级统考期末）10个人围成一圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想一个数，并把自己想的数告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报出来的数是5的人心里想的数是（ ）．
A．B．10C．D．8
【答案】B
【分析】先设报5的人心里想的数为x，利用平均数的定义表示报7、报9、报1、报3、报5的人心里想的数，最后根据报5的人心里想的数相同建立方程即可．
【详解】设报5的人心里想的数为x，则报7的人心里想的数与报5的人心理想的数的平均数为6，
∴报7的人心里想的数为2×6-x=12−x，
同理可得报9的人心里想的数为，
报1的人心里想的数为，
报3的人心里想的数为，
报5的人心里想的数为，
∴报5的人心里想和数分别为x和20−x，即，
解得：x=10
故选：B
【点睛】本题是阅读理解与规律探索题，考查了平均数及方程思想的运用．已知两个数的平均数及其中一个数，用代数式表示另一个数，是本题的关键．
【考点3 利用已知的平均数求相关数据的平均数】
【例3】（2022春·广西南宁·八年级统考期末）将一组数据中的每一个数减去50后，所得新的一组数据的平均数是2，则原来那组数据的平均数是（ ）
A．50B．52C．48D．2
【答案】B
【详解】解：由题意知，新的一组数据的平均数=[（﹣50）+（﹣50+…+（﹣50）]= [（+…+）﹣50n]=2，
∴（+…+）﹣50=2，
∴（+…+）=52，
即原来的一组数据的平均数为52．
故选B．
【变式3-1】（2022春·江苏南通·八年级统考期中）已知，，…， 的平均数是；，，…，的平均数是，则，，…，的平均数是_________．
【答案】
【分析】利用平均数的定义，利用数据x1，x2，…，x10的平均数为a，x11，x12，…，x30的平均数为b，可求出x1+x2+…+x10=10a，x11+x12+…+x30=20b，进而即可求出答案．
【详解】解：因为数据x1，x2，…，x10的平均数为a，
所以x1+x2+…+x10=10a，
因为x11，x12，…，x30的平均数为b，
所以x11+x12+…+x30=20b，
∴x1，x2，…，x30的平均数=
故答案为：．
【点睛】本题考查的是样本加权平均数的求法．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标．解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数．
【变式3-2】（2022春·广西河池·八年级统考期末）一次数学测验满分是100分，全班38名学生平均分是67分．如果去掉A、B、C、D、E五人的成绩，其余人的平均分是62分，那么在这次测验中，C的成绩是_____分．
【答案】100
【分析】先根据平均数公式分别求出全班38名学生的总分，去掉A、B、C、D、E五人的总分，相减得到A、B、C、D、E五人的总分，再根据实际情况得到C的成绩．
【详解】解：设A、B、C、D、E分别得分为a、b、c、d、e．
则[38×67﹣（a+b+c+d+e）]÷（38﹣5）＝62，
因此a+b+c+d+e＝500分．
由于最高满分为100分，因此a＝b＝c＝d＝e＝100，即C得100分．
故答案是：100．
【点睛】利用了平均数的概念建立方程．注意将A、B、C、D、E五人的总分看作一个整体求解．
【变式3-3】（2022春·河南商丘·八年级统考期末）已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数是﹣2，则数据3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的平均数是_____．
【答案】-4
【分析】根据数据：x1，x2，…，xn的平均数是－２，得出数据3x1，3x2，…3xn的平均数是3×（﹣2）＝﹣6，再根据每个数据都加2，即可得出数据：3x1+2，3x2+2，…3xn+2的平均数．
【详解】解：∵数据x1，x2，…，xn的平均数是﹣2，
∴数据3x1，3x2，…3xn的平均数是3×（﹣2）＝﹣6，
∴数据3x1+2，3x2+2，…，3xn+2的平均数是﹣6+2＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【点睛】本题考查的是算术平均数的求法，一般地设有n个数据，，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化．
【考点4 运用平均数做决策】
【例4】（2022春·广东河源·八年级校考期末）某商店在一段时间内销售了某种女鞋双，各种尺码的销售量如表所示，如果鞋店要购进双这种女鞋，那么购进厘米、厘米和厘米三种女鞋数量之和最合适的是（ ）
A．双B．双C．双D．双
【答案】B
【分析】求得销售这三种鞋数量之和为10，是30的三分之一，故要购进的这三种鞋应是100的三分之．
【详解】根据题意可得：
∵销售的某种女鞋30双，厘米、厘米和厘米三种女鞋数量之和为10，
∴要购进100双这种女鞋，购进这三种女鞋数量之和应是 ，
∴购进100双这种女鞋，购进这三种女鞋数量之和最合适的是双，
故选：B
【点睛】本题主要考查了综合运用统计知识解决问题的能力，理清题意，是解决此类问题的关键．
【变式4-1】（2022春·山东临沂·八年级统考期末）今年是三年禁毒“大扫除”攻坚克难之年．为了让学生认识毒品的危害，某校举办了禁毒知识比赛，小红所在班级学生的平均成绩是80分，小星所在班级学生的平均成绩是85分，在不知道小红和小星成绩的情况下，下列说法比较合理的是（ ）
A．小红的分数比小星的分数低B．小红的分数比小星的分数高
C．小红的分数与小星的分数相同D．小红的分数可能比小星的分数高
【答案】D
【分析】根据平均数的意义，逐一判断选项，即可．
【详解】解：∵平均数不能代表每组数据中的具体哪个数，
∴小红的分数和小星的分数并不能确定哪个分数高或低，
∴小红的分数可能比小星的分数高，
故选D．
【点睛】本题主要考查平均数的意义，掌握” 平均数不能代表每组数据中的具体哪个数，只能反映数据集中趋势“，是解题的关键．
【变式4-2】（2022春·北京海淀·九年级统考期末）在一次飞镖比赛中，甲、乙两位选手各扔10次飞镖，下图记录了他们的比赛结果．你认为两人中技术更好的是__________，你的理由是_____________________________．
【答案】 乙 乙的平均成绩更高，成绩更稳定．
【详解】解：由图可知，乙的技术更好，
因为乙的平均成绩更高，成绩更稳定；
故答案为乙；乙的平均成绩更高，成绩更稳定
【变式4-3】（2022春·河北·八年级统考期末）某学习小组有15人参加捐款，其中小明的捐款数比15人捐款的平均数多2元，据此可知，下列说法错误的是（ ）
A．小明的捐款数不可能最少
B．小明的捐款数可能最多
C．将捐款数按从少到多排列，小明的捐款数一定比第8名多
D．将捐款数按从少到多排列，小明的捐款数可能排在第14位
【答案】C
【分析】根据题意和算术平均数的含义，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【详解】解：∵小明的捐款数比15人捐款的平均数多2元，
∴小明的捐款数不可能最少，故选项A正确；
小明的捐款数可能最多，故选项B正确；
将捐款数按从少到多排列，小明的捐款数不一定比第8名多，故选项C错误；
将捐款数按从少到多排列，小明的捐款数可能排在第14位，故选项D正确；
故选：C．
【考点5 求加权平均数】
【例5】（2022春·浙江·八年级期中）小明参加校园歌手比赛80分，音乐知识100分，综合知识90分，学校按唱功：音乐知识：综合知识6：2：2的比例计算总成绩为，小明的总成绩是（ ）
A．86B．88C．87D．93
【答案】A
【分析】利用加权平均数即可求得小明的总评成绩．
【详解】解：小明的总评成绩是：
(分)．
故选：A．
【点睛】本题考查了加权平均数的计算方法，解题的关键是在进行计算的时候注意权的分配，另外还应细心，否则很容易出错．
【变式5-1】（2022秋·山东淄博·八年级统考期中）某校评选先进班集体，从“学校”、“卫生”、“纪律”、“活动参与”四个方面考核打分，各项满分分，所占比例如下表：
八年级2班这四项得分依次为80，90，84，70，则该班四项综合得分（满分100）为（ ）
A．分B．分C．分D．分
【答案】B
【分析】直接根据加权平均数公式计算即可．
【详解】解：（分）．
故选B．
【点睛】本题考查了加权平均数的计算，加权平均数公式为：（其中分别为的权重）．
【变式5-2】（2022春·上海闵行·九年级校考期中）某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是（ ）
A．3次B．3.5次C．4次D．4.5次
【答案】C
【分析】加权平均数：若个数，，，，的权分别是，，，，，
则叫做这个数的加权平均数，依此列式计算即可求解．
【详解】解： （次）
答：这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是4次．
故选：C．
【点睛】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求2，3，4，5这四个数的平均数，对平均数的理解不正确．
【变式5-3】（2022春·浙江·八年级期中）甲、乙、丙三种糖果的售价分别为每千克6元、每千克7元、每千克8元，若将甲种糖果6千克，乙种糖果10千克，丙种糖果4千克混合在一起，则混合后的糖果的售价应定为每千克______元．
【答案】6.9
【分析】先根据甲种糖果6千克，乙种糖果10千克，丙种糖果4千克求出混合后的糖果甲、乙、丙比，再用各自所占比乘各自的售货单价相加即可．
【详解】解：若将甲种糖果6千克，乙种糖果10千克，丙种糖果4千克混合在一起，
则混合后的糖果甲、乙、丙比为，
∴混合后的糖果的售价每千克应定为（元），
故答案为：6.9．
【点睛】本题考查了加权平均数，读懂题意，熟练运用加权平均数是解题的关键．
【考点6 利用加权平均数求未知数据的值】
【例6】（2022春·宁夏吴忠·八年级统考期末）下表是某学习小组一次数学测验的成绩统计表：
已知该小组本次数学测验的平均分是85分，则x＝_____．
【答案】3
【分析】利用加权平均数的计算公式列出方程求解即可．
【详解】解：由题意，得70+80×3+90x+100＝85×(1+3+x+1)，
解得x＝3．
故答案为3．
【点睛】本题考查了加权平均数的计算和列方程解决问题的能力，解题的关键是利用加权平均数列出方程．
【变式6-1】（2022春·内蒙古呼和浩特·八年级统考期末）某班有50名学生，平均身高为166cm，其中20名女生的平均身高为163cm，则30名男生的平均身高为_____cm．
【答案】168
【分析】设男生的平均身高为x，根据题意可得关于x的方程，解方程即可求得答案．
【详解】设男生的平均身高为x，根据题意有：
（20×163+30x）÷50 =166，
解得x=168（cm）．
故答案为168．
【点睛】本题考查了加权平均数，一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．
【变式6-2】（2022春·北京朝阳·八年级校考期中）一位求职者参加某公司的招聘，面试和笔试的成绩分别是86和90，公司给出他这两项测试的平均成绩为87.6，可知此次招聘中_____（填“面试”或“笔试”）的权重较大．
【答案】面试
【分析】设此次招聘中面试的权重为，从而可得笔试的权重为，根据加权平均数的计算公式求出的值，由此即可得出答案．
【详解】解：设此次招聘中面试的权重为，则笔试的权重为，
由题意得：，
解得，
，
则此次招聘中面试的权重较大，
故答案为：面试．
【点睛】本题考查了加权平均数，熟记公式是解题关键．
【变式6-3】（2022春·广东广州·八年级校考期中）小青在本学期的数学成绩如下表所示（成绩均取整数）：
（1）计算小青本学期的平时平均成绩；
（2）如果学期的总评成绩是根据图所示的权重计算，那么本学期小青的期末考试成绩x至少为多少分才能保证达到总评成绩90分的最低目标？
【答案】（1）85分（2）94分
【分析】（1）平时成绩利用平均数公式计算；
（2）根据加权平均数公式列出不等式，解之即可得．
【详解】（1）该学期的平时平均成绩为：（88＋70＋96＋86）÷4＝85（分）．
（2）按照如图所示的权重，
依题意得：85×10%＋85×30%＋60% x≥90．
解得：x≥93.33，
又∵成绩均取整数，
∴x≥94．
答：期末考试成绩至少需要94分．
【点睛】此题主要考查了加权平均数的应用，注意学期的总评成绩是根据平时成绩，期中成绩，期末成绩的权重计算得出，注意加权平均树算法的正确运用，在考试中是易错点．
【考点7 运用加权平均数做决策】
【例7】（2022春·浙江宁波·八年级校考期中）浙江某大学部分专业采用“三位一体”的形式进行招生，现有甲、乙两名学生，他们各自的三类成绩（已折算成满分100分）如表所示：
(1)如果根据三项得分的平均数，那么哪位同学排名靠前？
(2)“三位一体”根据入围考生志愿，按综合成绩从高分到低分择优录取，综合成绩按“学业水平测试成绩×20%+综合测试成绩×20%+高考成绩×60%”计算形成，那么哪位同学排名靠前？
【答案】(1)甲同学排名靠前
(2)乙同学排名靠前
【分析】（1）利用平均数的公式即可直接求解，即可判断；
（2）利用加权平均数公式求解，即可判断．
【详解】（1）解：甲的平均数为分，
乙的平均数为分，
∵85＞84，
∴根据三项得分的平均数，甲同学排名靠前；
（2）解：甲同学的综合成绩为分，
乙同学的综合成绩为分，
∵83.6＞83.4，
∴乙同学排名靠前．
【点睛】本题考查了算术平均数和加权平均数的计算．熟练掌握算术平均数和加权平均数的计算方法是解题的关键．
【变式7-1】（2022春·福建厦门·九年级福建省厦门第六中学校考期中）花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天买不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n是自然数）的函数解析式；
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理如下：
①花店在这100天每天均购进16枝玫瑰，求这100天的平均日利润；
②花店依据这100天记录的日需求量，计划后续每天购进17枝玫瑰．从盈利的角度分析，你认为花店的决策是否正确？
【答案】(1)且n为自然数．
(2)①76元，②从盈利的角度分析，花店的决策正确．
【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；
（2）①根据频数分布表分别求解前10天，20天，以及后面70天的总利润，可得这100天的日利润（单位：元）的平均数．②同①先计算花店每天购进17枝玫瑰时，100天的平均日利润，再进行比较即可得到答案．
(1)
解：当n≥16时，y=16×（10-5）=80；
当n≤15时，y=5n-5（16-n）=10n-80，
得：且n为自然数．
(2)
解：①花店在这100天每天均购进16枝玫瑰，则
平均日利润为（元），
所以这100天的平均日利润为76元．
②花店计划后续每天购进17枝玫瑰，则100天的平均日利润约为：
（元），
所以这100天的平均日利润为元．

所以从盈利的角度分析，花店的决策正确．
【点睛】本题考查的是一次函数的实际应用，加权平均数的计算，理解题意，再列出正确的函数表达式与表示平均数的运算式都是解本题的关键．
【变式7-2】（2022春·浙江·八年级统考期中）某校举办“社会主义核心价值观”知识演讲比赛，8（1）班计划从甲、乙两位同学中选出一位参加学校的决赛，已知这两位在预赛中各项成绩如表图，且甲、乙两人预赛四项成绩的平均分相同．
（1）表中m的值为_________；
（2）把图中的统计图补充完整；
（3）若将演讲内容、语言表达、形象风度、现场效果四项得分按4∶3∶1∶2的比例确定两人的最终得分，并选择最终得分较高的同学作为代表参赛，那么谁将代表八（1）班参赛？请说明理由
【答案】（1）90；（2）见解析；（3）选甲参赛，理由见解析.
【分析】（1）根据平均数计算公式列方程求解即可；
（2）根据（1）的结果即可补全直方图；
（3）利用加权平均数公式求得两人的成绩，即可作出比较．
【详解】解：（1）根据题意得：，解得：m＝90．
故答案是：90；
（2）补全条形统计图如图所示：
（3）甲的成绩：＝91.5（分），
乙的成绩是：＝89.5（分），
故甲的成绩好，应该选甲参赛．
【点睛】本题考查的是统计表、条形统计图和平均数的相关知识，正确理解题意、读懂统计图、熟练掌握平均数的计算公式是解决问题的关键．
【变式7-3】（2022春·甘肃金昌·八年级校考期中）某次歌咏比赛，前三名选手的成绩统计如下：（单位：分）
将唱功、音乐常识综合知识三项测试成绩按6：3：1的加权平均分排出冠军、亚军季军，则冠军、亚军、季军各是谁？
【答案】冠军是李真、亚军是王晓丽、季军是林飞杨．
【分析】根据加权平均数的计算公式先分别求出三个人的最后得分，再进行比较即可．
【详解】解：王晓丽的成绩是：（98×6+80×3+80）÷10＝90.8（分）；
李真：（95×6+90×3+90）÷10＝93（分）；
林飞杨：（80×6+100×3+100）÷10＝88（分）．
∵93＞90.8＞88，
∴冠军是李真、亚军是王晓丽、季军是林飞杨．
【点睛】考查了加权平均数，本题易出现的错误是求三个数的平均数，对加权平均数的理解不正确．
【考点8 求中位数】
【例8】（2022春·江苏宿迁·九年级泗阳致远中学校考期中）已知一组数据：1、2、3、1、5，这组数据的中位数是（ ）
A．1B．2C．3D．5
【答案】B
【分析】先从小到大排序，再根据中位数的定义求解即可．
【详解】解：∵从小到大排列：1、1、2、3、5，
∴这组数据的中位数是2．
故选B．
【点睛】本题考查了中位数，如果一组数据有奇数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的数是这组数据的中位数；如果一组数据有偶数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数．
【变式8-1】（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）已知5个正数的平均数是a，且，则数据：的平均数和中位数是（ ）
A．a， B．a，
C．a，D．，
【答案】D
【分析】对新数据按大小排列，然后根据平均数和中位数的定义计算即可．
【详解】解：由平均数定义可知：；
将这组数据按从小到大排列为；由于有偶数个数，取最中间两个数的平均数．
∴其中位数为．
故选：D．
【变式8-2】（2022秋·广东茂名·八年级茂名市第一中学校考期中）为了解同学们的阅读情况，八年级（2）班的小李同学随机抽取了30名学生每人一年读课外书本数的登记情况，并绘制统计表如下：
则这个样本数据的中位数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】中位数的定义：一组数据按照从大到小或者从小到大的顺序排成一列，处于中间位置的数称为这组数据的中位数，根据中位数定义，结合题中所给数据情况求解即可．
【详解】解：∵一共个数据，其中位数为第，个数据的平均数，
∴由表中数据知这组数据的第，个数据都为，
∴中位数为，
故选：A．
【点睛】本题考查中位数的定义，根据题中所给13个数据的情况选择第7个数据是解决问题的关键．
【变式8-3】（2022春·浙江杭州·八年级期中）某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6．已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】A
【分析】先根据这组数据的平均数是5求出x，再把这组数字排序，然后求出中位数．
【详解】∵这组数据的平均数是5
∴
解得x=6
把这组数据有小到大排序为4、4、5、6、6
最中间的数是5
∴这组数据的中位数是5
故选A
【点睛】本题主要考查了平均数、中位数，掌握平均数和中位数的计算方法是解题的关键．
【考点9 利用中位数求未知数据的值】
【例9】（2022秋·山东烟台·八年级统考期中）当五个整数从小到大排列，中位数为8，若这组数中的唯一众数为10，则这5个整数的和最大可能是（ ）
A．39B．40C．41D．42
【答案】C
【分析】根据中位数和众数的定义分析可得答案．
【详解】解：因为五个整数从小到大排列后，其中位数是8，这组数据的唯一众数是10．
所以这5个数据分别是x，y，8，10，10，且，
当这5个数的和最大时，整数x，y取最大值，此时，，
所以这组数据可能的最大的和是．
故选：C．
【变式9-1】（2022春·浙江杭州·八年级校联考期中）一组数据为1，3，5，12，x，其中整数x是这组数据的中位数，则该组数据的平均数可能是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】根据1，3，5，12，x这组数据中，x是数据的中位数知x＝3或x＝4或x＝5，再根据平均数的定义分别计算可得．
【详解】解：∵数据1，3，5，12，x的中位数是整数x，
∴x＝3或x＝4或x＝5，
当x＝3时，这组数据的平均数为＝4.8，
当x＝4时，这组数据的平均数为＝5，
当x＝5时，这组数据的平均数为＝5.2．
故选：B．
【点睛】本题主要考查中位数、平均数，解题的关键是根据中位数的定义得出x的值．
【变式9-2】（2022春·江西赣州·九年级统考期中）某篮球队10名队员的年龄结构如表，已知该队队员年龄的中位数为21.5，则众数与平均数分别为（ ）
A．22，21B．21，22C．22，23D．21，24
【答案】B
【分析】先根据数据的总个数及中位数得出x＝3、y＝2，再利用众数和平均数的定义求解可得．
【详解】解：∵共有10个数据，
∴x＋y＝5，
又该队队员年龄的中位数为21.5，即，
∴x＝3、y＝2，
则这组数据的众数为21，平均数为＝22，
故选：B．
【点睛】本题主要考查中位数、众数、平均数，解题的关键是根据中位数的定义得出x、y的值．
【变式9-3】（2022秋·山东东营·八年级校联考期中）有甲乙两个箱子,其中甲箱内有98颗球,分别标记号码1～98,且号码不重复的整数,乙箱内没有球．已知某同学从甲箱内拿出49颗球放入乙箱后,乙箱内球的号码的中位数为40.若此时甲箱内有a颗球的号码小于40,有b颗球的号码大于40,则关于a,b的值,下列选项正确的是( )
A．a=15B．a=16C．b=24D．b=35
【答案】A
【分析】先求出甲箱的球数，再根据乙箱中位数40，得出乙箱中小于、大于40的球数，从而得出甲箱中小于40的球数和大于40的球数，即可求出答案.
【详解】解:∵甲箱98−49=49(颗)，
∵乙箱中位数40，
∴小于、大于40各有(49−1)÷2=24(颗)，
∴甲箱中小于40的球有39−24=15(颗),大于40的有49−15=34(颗)，即a=15，b=34.
故选A
【点睛】本题考查了中位数，正确进行分析，掌握中位数的概念是解题的关键.
【考点10 运用中位数做决策】
【例10】（2022秋·山东青岛·八年级统考期中）学校运动会上，共有15名同学参加了男子100米预赛，参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，从而取得决赛资格，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的______．
【答案】中位数
【分析】前8进入决赛，共有15名同学参加比赛，即第8名同学的成绩为总成绩的中位数，据此求解即可．
【详解】解：∵共有15名同学参赛，前8名的同学获得决赛资格，
∴第8名同学的成绩即为全部成绩的中位数，
∴只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，
故答案为：中位数
【点睛】本题主要考查了利用中位数做决策，熟知中位数的定义是解题的关键．
【变式10-1】（2022春·山东临沂·八年级统考期末）在某次体育测试中，甲、乙两班成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定学生个人成绩大于90分为优秀，则甲、乙两班中优秀人数更多的是__________班．
【答案】甲．
【分析】班级人数相同，都为45人，中位数为班级分数排序以后的第23位同学的分数，甲班的91分高于乙班89分，则得出答案．
【详解】解：甲、乙两个班参赛人数都为45人，由甲、乙两班成绩的中位数可知，甲班的优生人数大于等于23 人，乙班的小于等于22人，则甲班的优生人数较多，
故答案为：甲．
【点睛】本题主要考查数据的分析，根据平均分、中位数、方差的特点进行分析，本题的解题关键在于掌握中位数的特点．
【变式10-2】（2022秋·安徽·九年级校联考期中）2022年6月5日上午10点44分，神舟十四号载人飞船发射成功，中国载人航天与空间站建设迎来全新的发展阶段．某中学为了解本校学生对我国航天科技及空间站的知晓情况，在全校开展了“航天梦科普知识”竞赛活动．该活动主要负责人从八、九年级各随机抽取了40名学生的成绩整理分析（满分为100分，得分均为整数，两个年级成绩分组相同）得到以下信息：
信息一：八年级学生成绩的频数分布表和九年级学生成绩的扇形统计图如下：
八年级学生成绩的频数分布表：
信息二：成绩在B组的学生中，九年级比八年级少2人；
信息三：八年级C组10名学生的成绩是：70，72，73，73，74，75，75，76，78，79．
根据以上信息，完成下列问题：
(1)八年级成绩在B组的有 人；
(2)该校八年级学生有560人，九年级学生有600人．若成绩在80分以上为优秀，请你估计八、九年级竞赛成绩为优秀的学生总人数；
(3)在此次调查中，小雪的成绩是77分，被评为“中上水平”．请你判断小雪属于哪个年级，并说明理由．
【答案】(1)14
(2)506人
(3)小雪属于八年级，理由见解析
【分析】（1）先求出九年级成绩在B组的人数，根据九年级比八年级少2人，即可求出答案；
（2）分别计算八年级和九年级成绩在80分以上的人数，相加即可；
（3）分别求出中位数即可判断．
【详解】（1）解：∵九年级成绩在B组的人数为（人），
∴八年级成绩在B组的有（人）；
故答案为：14；
（2）（人），
答：估计八、九年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为506人；
（3）小雪属于八年级，理由：
∵八年级的中位数为（分），小雪的成绩是77分，被评为“中上水平”，
∴判断小雪属于八年级．
【点睛】本题考查扇形统计图、频数分布表、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
【变式10-3】（2022秋·广西贵港·九年级统考期中）某校为了解学生的体质健康状况，从八年级和九年级中各随机抽取10名学生进行了体质健康测试，测试成绩如下：
八年级：70，81，75，91，69，86，75，81，75，80．
九年级：56，78，80，94，78，90，81，78，81，80．
整理数据：
分析数据：
根据上述数据回答以下问题：
(1)请直接写出表格中a，b，m，n的值；
(2)比较这两组样本数据的平均数、中位数和众数，你认为哪个年级学生的体质健康状况比较好请说明理由？
(3)若八年级共有300名学生，请估计八年级体质健康测试成绩在80分以上(含80分)的学生人数．
【答案】(1)；
(2)九年级学生体质较好，理由见解析；
(3)150
【分析】（1）按照频数、样本容量、众数和中位数的定义解题；
（2）比较八、九年级学生的平均分相同，九年级的中位数高，所以九年级学生体质较好；
（3）用样本的数据去估计总体数据解题．
【详解】（1）根据频数之和为样本容量可得，，，
八年级10名学生成绩出现次数最多的是75分，共出现3次，
因此众数是75分，即，
九年级10名学生成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是80分，
因此中位数是80分，
即，
所以；
（2）九年级学生体质较好，
理由为：九年级学生体质成绩的平均分79.6分高于八年级学生的平均分78.3分，九年级学生体质成绩的中位数80分高于八年级学生的中位数77.5分；
（3）(人)，
答：八年级300名学生中体质健康测试成绩在80分以上(含80分)的学生人数约为150人．
【点睛】本题考查中位数，众数，用样本估计整体，解题关键是数据描述中的相关知识．
【考点11 求众数】
【例11】（2022春·山东济南·八年级统考期末）一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如下（有两个数据被遮盖）
则被遮盖的两个数据依次是（ ）A．80，2B．81，2C．80，80D．81，80
【答案】C
【分析】根据平均数的计算公式先求出丙的得分，再根据众数的定义即可得出答案．
【详解】解： 丙的得分为：（分），
众数为：，
故选：C．
【点睛】考查了众数及平均数的定义，解题的关键是根据平均数求得丙的得分，难度不大．
【变式11-1】（2022春·广东河源·八年级校考期末）数据 ，，，，，， 的众数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据为这组数据的众数，进行判断即可．
【详解】解：，，，，，，，出现次数最多的是4，
∴众数是4；
故选B．
【点睛】本题考查众数．熟练掌握众数的定义，是解题的关键．
【变式11-2】（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）已知10名初中毕业生的中考体育考试成绩如下：57分，56分，67分，67分，56分，56分，58分，59分，60分，57分，这些成绩的众数是（ ）
A．56分B．57分C．56.5分D．60分
【答案】A
【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数是众数解答即可.
【详解】解：在已知的数据中，56分出现的次数最多，有3次，
所以这些成绩的众数是56分；
故选：A.
【点睛】本题考查了众数的定义，属于应知应会题目，熟知众数的概念是关键.
【变式11-3】（2022春·陕西安康·八年级统考期末）每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了鼓励学生多读书，开展了“书香校园”的活动．如图是初三某班班长统计的全班50名学生一学期课外图书的阅读量（单位：本），则这50名学生图书阅读数量的中位数，众数和平均数分别是（ ）
A．18，12，12B．12，12，12C．15，12，14.8D．15，10，14.5
【答案】C
【分析】利用折线统计图得到50个数据，其中第25个数为12，第26个数是18，从而得到数据的中位数，再求出众数和平均数
【详解】解：由折线统计图得这组数据的中位数为（12+18）÷2＝15，
众数为12，
平均数为（7×8+12×17+18×15+21×10）÷50＝14.8
故选：C．
【点睛】本题考查了数据的集中趋势，理解相关统计量的意义及从折现统计图准确读取数据是解题关键．
【考点12 利用众数求未知数据的值】
【例12】（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）一组数据由5个整数组成，已知中位数是10，唯一众数是12，则这组数据和的最大值可能是（ ）
A．50B．51C．52D．53
【答案】B
【分析】利用中位数和众数的定义可判定后面三个数为10，12，12，所以前面两个数为8和9时，这组数据和最大．
【详解】解：∵中位数是10，唯一众数是12，
∴这5个数按由小到大排列时，后面三个数为10，12，12，
当前面两个数为8和9时，这组数据和最大，最大值为51．
故选：B．
【点睛】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数．
【变式12-1】（2022春·福建泉州·八年级统考期末）已知一组数据2、x、7、3、5、3、2的众数是2，则这组数据的中位数是（ ）
A．2B．2.5C．3D．5
【答案】C
【分析】根据众数定义首先求出x的值，再根据中位数的求法，求出中位数.
【详解】解：数据2，x，7，3，5，3，2的众数是2，说明2出现的次数最多，x是未知数时2，3，均出现两次，.x=2.
这组数据从小到大排列：2，2，2，3，3，5，7.处于中间位置的数是3，因而的中位数是3.
故选C.
【点睛】本题考查的是平均数、众数和中位数.要注意，当所给数据有单位时，所求得的平均数、众数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位.
【变式12-2】（2022春·广东珠海·八年级校考期中）某班6位学生引体向上的个数分别为：3，4，4，x，7，7，若这组数据有两个众数，则x的值可以为（ ）
A．3B．4C．7D．8
【答案】D
【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，依据众数的定义进行判断即可．
【详解】解：∵3，4，4，x，7，7这组数据有两个众数，
∴x的值不可能为3或4或7，可能为8，
故选D．
【点睛】本题主要考查了众数，求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
【变式12-3】（2022春·浙江宁波·八年级校考期中）某班一次数学竞赛考试成绩如下表所示，已知全班共有38人，且众数为60分，中位数为70分，则x2－2y=_________．
【答案】50
【分析】由于全班共有38人，则x+y=38-（2+3+5+6+3+4）=15，结合众数为50分，中位数为60分，分情况讨论即可确定x、y之值，从而求出x2-2y之值．
【详解】∵全班共有38人，
∴x+y=38-（2+3+5+6+3+4）=15，
又∵众数为60分，∴x≥8，
当x=8时，y=7，中位数是第19，20两个数的都为70分，则中位数为70分，符合题意；
当x=9时，y=6，中位数是第19，20两个数的平均数，则中位数为（60+70）÷2=65分，不符合题意；
同理当x=10，11，12，13，14，15时，中位数都不等于70分，不符合题意．
则x=8，y=7．
则x2-2y=64-14=50．
故答案为50．
【点睛】此题主要考查了中位数和众数的应用，关键是根据众数的人数和中位数的数值进行分类讨论x、y的取值.
【考点13 运用众数做决策】
【例13】（2022春·湖南长沙·八年级长沙麓山国际实验学校校考期中）东门某商场试销一种新款衬衫，一周内销售情况如下表所示：
商场经理要了解哪种型号最畅销，则上述数据的统计量中，对商场经理来说最有意义的是________．（填“平均数”或“中位数”或“众数”）
【答案】众数
【分析】根据众数的概念进行求解即可；
【详解】解：对商场经理来说，知道哪一种型号的销售量最多，是最有意义的；
∴对商场经理来说最有意义的是众数；
故答案为：众数．
【点睛】本题主要考查众数的概念，掌握众数的概念是解题的关键．
【变式13-1】（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考期末）某商店销售5种领口大小（单位：cm）分别为38，39，40，41，42的村衫．为了调查各种领口大小村衫的销售情况，商店统计了某天的销售情况，并绘制了如图所示的扇形统计图，则该商店应将领口大小为____cm的衬衫进的最少．
【答案】42
【分析】根据题意，应找出销量最少的尺寸的衬衫进的最少．
【详解】解：∵9%＜13%＜19%＜25%＜34%
∴该商店应将领口大小为42cm的衬衫进的最少
故答案为：42．
【点睛】此题考查的是众数的的意义，根据众数的意义：商店应将销量最多的尺寸的衬衫进的最多，相反，应将销量最少的尺寸的衬衫进的最少．
【变式13-2】（2022春·浙江温州·八年级校联考期中）国家实施“双减”政策后，学生学业负担有所减轻，很多家长选择利用周末时间带孩子去景区游玩．某调查小组从去过乐清雁荡山和江心屿的学生中各随机抽取了20名学生对这两个景区分别进行评分（满分10分），并通过整理和分析，给出了部分信息．
乐清雁荡山景区得分情况：
7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9．
江心屿得分情况：
7，8，7，6，7，6，9，9，10，10，8，8，8，6，6，10，8，7，8，8．
抽取的学生对两个景区分别打分的平均数、众数和中位数如下表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述图表中的a，b的值______，______；
(2)根据上述数据，你认为去过这两个景区的学生对哪个景区评价更高？说明理由（写出一条理由即可）．
【答案】(1)8，8.5
(2)详见解析
【分析】（1）分别根据众数、中位数的定义求解即可；
（2）通过平均数、中位数、众数的比较即可得出答案．
(1)
解：江心屿得分情况：
7，8，7，6，7，6，9，9，10，10，8，8，8，6，6，10，8，7，8，8．
其中6出现的次数为4，7出现的次数为4，8出现的次数为7，9出现的次数为2，10出现的次数为3，
∴8出现的次数最多，
故众数为8，即a=8，
乐清雁荡山景区得分从小到大排列为：
6，6，6，7，7， 7， 7，8， 8， 8，9，9，9， 9， 9， 9，10，10 ，10，10．
在中间的两个数为8，9，
故中位数b=．
故答案为：8，8.5；
(2)
乐清雁荡山景区的平均数，众数，中位数均比江心屿的得分高，
故乐清雁荡山景区评价更高．
【点睛】本题考查了中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的意义是解决问题的前提，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键．
【变式13-3】（2022春·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考期中）某校举行“美丽温州”知识竞猜比赛，每班各派五名同学参加，其中八（1）班和八（2）班五位参赛同学的成绩如下表所示（满分为100分）：
（1）根据上表填空：
（2）分别从平均数，中位数，众数的角度进行分析，请你评价这两支参赛队伍的成绩．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用平均数、众数、中位数的定义计算；
（2）分别比较两班的平均数、众数、中位数，即可得出结论．
【详解】解：（1）八（1）班的成绩从低到高为：70，80，85，90，90，
则中位数为85分；
八（2）班成绩的平均数为=85分，
85分出现的次数最多，则众数为85分，
填表如下：
（2）从平均数来看，八（2）班的平均数大于八（1）班，
从中位数来看，八（2）班的中位数和八（1）相同，
从众数来看，八（1）班的众数大于八（2）班．
【点睛】此题主要考查了平均数、众数、中位数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
【考点14 求方差或标准差】
【例14】（2022秋·山东东营·八年级统考期中）已知样本，，，，的方差是1，那么样本，，，，的方差是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】根据方差的意义分析，数据都加3，方差不变，原数据都乘2，则方差是原来的4倍．
【详解】解：设样本，，，，的平均数为，
则其方差为，
则样本，，，，的平均数为，其方差为．
故选：D．
【点睛】本题考查方差的计算公式及其运用：一般地设有个数据，，，，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化，方差则变为这个倍数的平方倍．
【变式14-1】（2022秋·山东淄博·九年级统考期中）如图是甲、乙两人6次投篮测试（每次投篮10个）成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩方差分别记作，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】A
【分析】先分别求出甲、乙的平均数，再根据方差公式计算各自的方差，进行比较即可得．
【详解】解：∵甲6次投篮测试（每次投篮10个）成绩为：，
乙6次投篮测试（每次投篮10个）成绩为：，
∴，
，
∴，
，
∵，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查了平均数、方差的计算，熟练掌握方差的计算公式是解本题的关键．
【变式14-2】（2022春·浙江温州·八年级统考期中）已知数据的平均数是2，方差是0.1，则的平均数和标准差分别为（ ）
A．2,1.6B．2, C．6,0.4D．6,
【答案】D
【分析】根据平均数和方差公式直接计算即可求得．
【详解】解：，
∴，
，
，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了方差和平均数，灵活利用两个公式，进行准确计算是解答的关键．
【变式14-3】（2022秋·山东淄博·八年级统考期中）一城市准备选购一千株高度大约为2m的某种风景树来进行街道绿化，有四个苗圃生产基地投标（单株树的价格都一样）．采购小组从四个苗圃中都任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如下：
请你帮采购小组出谋划策，应选购（ ）
A．甲苗圃的树苗B．乙苗圃的树苗;C．丙苗圃的树苗D．丁苗圃的树苗
【答案】D
【分析】根据标准差和方差可以反映数据的波动大小，选出合适苗圃的树苗；再比较它们的高度，进而确定选购哪家的树苗.
【详解】由于标准差和方差可以反映数据的波动大小，所以甲苗圃与丁苗圃比较合适；
又因为丁苗圃树苗平均高度大于甲苗圃，所以应选丁苗圃的树苗．
故选D．
【考点15 利用方差求未知数据的值】
【例15】（2022秋·山东威海·八年级校联考期中）若一组数据13，14，15，16，x的方差比另一组数3，4，5，6，7的方差大，则x的值可能是（ ）
A．12B．16C．17D．18
【答案】D
【分析】观察两组数据分布特点，根据方差的意义求解，也可先计算出后一组数据的方差，再取一个x的值计算出前一组数据的方差求解．
【详解】数据3，4，5，6，7，每2个数相差1；数据13，14，15，16，x的前四个数据也相差1，若x=17或x=12，两组数据方差相等，
而数据13，14，15，16，x的方差比另一组数3，4，5，6，7的方差大，
则x的值可能是18，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和方差的意义．
【变式15-1】（2022秋·河北邯郸·九年级统考期中）佳佳同学5次上学途中所花时间（单位：min）x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为（ ）
A．192B．200C．208D．400
【答案】C
【详解】解：∵x，y，10，11，9这组数据的平均数为10，
∴x+y+10+11+9=5×10，
∴x+y=20，
∵x，y，10，11，9这组数据的方差是2，
∴[（x-10）2+（y-10）2+(10-10)2+(11-10)2+(9-10)2] =2
x2-20x+100+y2-20y+100+0+1+1=10
∴x2+y2=10+20(x+y)-100-100-1-1=10+20×20-100-100-1-1=208，
故选：C．
【点睛】考查了平均数、方差和代数式求值．熟练掌握平均数与方差的计算公式是解题的关键．
【变式15-2】（2022秋·山东淄博·八年级统考期中）小丽计算数据方差时，使用公式S2＝，则公式中＝__．
【答案】11
【详解】分析：根据题目中的式子，可以得到的值，从而可以解答本题．
详解：∵S2=[（5﹣）2+（8﹣）2+（13﹣）2）2+（15﹣）2]，∴=11．
故答案为11．
点睛：本题考查了方差、平均数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的平均数．
【变式15-3】（2022秋·山东淄博·八年级统考期中）已知2，3，5，m，n五个数据的方差是2，那么3，4，6，m+1，n+1五个数据的方差是______．
【答案】2
【详解】解：由题意知，原数据的平均数为，新数据的每一个数都加了1，则平均数变为+1，
则原来的方差S12=[（x1-）2+（x2-）2+…+（x5-）2]=2，
现在的方差S22=[（x1+1--1）2+（x2+1--1）2+…+（x5+1--1）2]=[（x1-）2+（x2-）2+…+（x5-）2]=2，
所以方差不变．
故答案为：2．
【点睛】本题考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加1所以波动不会变，方差不变，即数据的波动情况不变．
【考点16 利用方差做决策】
【例16】（2022春·浙江·八年级期中）王老师为了选拔一名学生参加数学比赛，对两名备赛选手进行了10次测验，成绩如下（单位：分）：
甲：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10
乙：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10
(1)以上成绩统计分析表中_______，________，______；
(2)d______（填“＞”、＜或“＝”）：
(3)根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由．
【答案】(1)6，7，7
(2)
(3)乙同学，理由见解析
【分析】（1）根据平均数、众数、中位数的定义即可求出结果；
（2）根据平均数和方差的计算结果求出答案；
（3）比较出甲、乙两位同学的中位数、众数和方差即可．
【详解】（1）解：甲数据从小到大排列，第5、6位都是6，故中位数为；
乙的平均数，
乙的数据中7最多有4个，所以众数，
故答案为：6，7，7；
（2），
，
故答案为：；
（3）选择乙同学，
理由：乙同学的中位数和众数都比甲的大，并且乙的方差比甲小，成绩比较稳定．
【点睛】本题主要考查了平均数、众数、方差的有关概念，在解题时要能根据方差的计算公式求出一组数据的方差是本题的关键．
【变式16-1】（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）八（1）班为了组队参加学校举行的“五水共治”知识竞赛，在班里选取了若干名学生，分成人数相同的甲、乙两组，进行了四次“五水共治”模拟竞赛，将成绩优秀的人数和优秀率分别绘制成如图的统计图．
根据统计图，回答下列问题：
(1)求第三次模拟竞赛成绩的优秀率和乙组在第四次模拟竞赛中成绩优秀的人数．
(2)已求得甲组成绩优秀人数的平均数，方差，请通过计算说明，哪一组成绩优秀的人数较稳定？
【答案】(1)，9
(2)甲组绩优秀的人数较稳定
【分析】（1）根据计算总人数人，根据计算优秀总人数，依次计算即可．
（2）计算乙组优秀人数的平均数，方差，比较判断即可．
【详解】（1）根据题意，得参赛总人数为：人，
∴第三次模拟竞赛成绩的优秀率为；
∵在第四次模拟竞赛中成绩优秀的人数为人，甲组有8人，
∴乙组在第四次模拟竞赛中成绩优秀的人数为：17-8=9（人）．
（2）∵乙组在模拟竞赛中成绩优秀的人数的平均数为，方差，
∴，
∴甲组绩优秀的人数较稳定．
【点睛】本题考查了样本容量的计算，平均数，方差，熟练掌握平均数，方差的计算，并灵活运用决策是解题的关键．
【变式16-2】（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）为了加强心理健康教育，某校组织七年级（1）（2）两班学生进行了心理健康常识测试（分数为整数，满分为分），已知两班学生人数相同，根据测试成绩绘制了如下所示的统计图．
(1)填好表格中所缺的数据：
(2)从表中选择合适的统计量，说明哪个班的成绩更均匀．
【答案】(1)8，8，9
(2)（1）班的成绩更均匀
【分析】（1）根据（1）班的表求出两班的总人数，再根据中位数定义、平均数定义、众数定义直接求解即可得到答案；
（2）根据比较两班的方差，根据方差越小越稳定即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意知，（1）班和（2）班人数相等，为：（人），
则（2）班学生中测试成绩为分的人数为：（人），
根据加权平均数公式可得，（2）班的平均数是：（分），
∵，
∴9分出现的最多，则（2）班的众数是9分，
∵，
∴（1）班第25、26个数在8分里，
∴（1）的中位数是（分），
故答案为：8，8，9；
（2）解：∵，
∴（1）班的成绩更均匀．
【点睛】本题考查求中位数、求平均数、求众数及根据方差选择方案，解题的关键是求出总人数及熟练掌握各个考点定义．
【变式16-3】（2022秋·河北唐山·九年级统考期中）小明、小兵参加某体育项目训练，教练对他们近期的8次测试成绩进行了统计，如折线图所示：
(1)根据折线图中提供的数据填写下表：
(2)教练性格沉稳，欲从两人中选出一人参加市中学生运动会，应选择哪个参加比赛，并说明理由．
【答案】(1)小明的中位数是，小兵的众数为
(2)选择小兵参加比赛，理由见解析
【分析】（1）根据折线统计图，以及中位数，众数的定义，即可求解；
（2）根据从中位数、众数，方差的意义判断即可求解．
【详解】（1）解：∵小明的成绩分别为：，
从小到大排列为，则中位数为，
小兵的成绩分别为：，出现次数最多，
∴众数为，
小明的中位数是，小兵的众数为，
（2）选择小兵参加比赛，
理由：从中位数、众数的角度分析，小兵的成绩更好；
从方差的角度分析，小兵的成绩更稳定．尺码/厘米
22
22.5
23
23.5
24
24.5
25
销售量/双
1
2
5
12
6
3
1
项目
学习
卫生
纪律
活动参与
所占比例
次数
2
3
4
5
人数
2
2
10
6
分数
70
80
90
100
人数
1
3
x
1
测验类别
平时
期中考试
期末考试
测验1
测验1
测验1
课题学习
成绩
88
70
96
86
85
学生
学业水平测试成绩
综合测试成绩
高考成绩
甲
85
89
81
乙
88
81
83
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
项目
甲
乙
演讲内容
95
m
语言表达
90
85
形象风度
85
m
现场效果
90
95
测试项目
测试成绩
王晓丽
李真
林飞扬
唱功
98
95
80
音乐常识
80
90
100
综合知识
80
90
100
本数
人数
年龄
19
20
21
22
24
26
人数
1
1
x
y
2
1
人数
平均数
中位数
方差
甲班
45
82
91
19.3
乙班
45
87
89
5.8
组别
成绩
人数
A
90≤x≤100
5
B
80≤x＜90
C
70≤x＜80
10
D
60≤x＜70
E
60分以下
5
年级
x＜60
60≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
八年级
0
5
a
1
九年级
1
3
4
b
年级
平均数
中位数
众数
八年级
78.3
77.5
n
九年级
79.6
m
78
组员
甲
乙
丙
丁
戊
平均成绩
众数
得分
81
76
■
80
83
80
■
成绩（分）
30
40
50
60
70
80
90
100
人数
2
3
5
x
6
y
3
4
型号（厘米）
38
39
40
41
42
43
数量（件）
25
30
36
50
28
8
平均数
众数
中位数
乐清雁荡山
8.2
9
b
江心屿
7.8
a
8
班级 选手
1号
2号
3号
4号
5号
八（1）
80
90
85
90
70
八（2）
95
70
90
85
85
平均数
中位数
众数
八（1）
83
②
90
八（2）
①
85
③
平均数
中位数
众数
八（1）
83
85
90
八（2）
85
85
85
树苗平均高度（单位：m）
标准差
甲苗圃
1.8
0.2
乙苗圃
1.8
0.6
丙苗圃
2.0
0.6
丁苗圃
2.0
0.2
选手
平均数
中位数
众数
方差
甲
7
a
6
乙
b
7
c
d
统计量
平均数
众数
中位数
方差
（1）班
8
8
（2）班
8
统计量
平均数
众数
中位数
方差
（1）班
8
8
8
（2）班
8
9
8
平均数（分）
众数（分）
中位数（分）
方差（分）
小明
13
10
小兵
13
13
平均数（分）
众数（分）
中位数（分）
方差（分）
小明
13
10
小兵
13
13