2024年中考数学一轮复习综合练习题：相似三角形

这是一份2024年中考数学一轮复习综合练习题：相似三角形，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．如图，若D、E分别为△ABC中AB、AC边上的点，且∠AED=∠B，AD=3，AC=6，DB=5，则AE的长度为（ ）
A．B．C．D．4
2．如图， ∥ ∥ ，直线 ， 与 ∥ ∥ 分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB∶BC＝2∶3，EF＝6，则DF的长是（ ）
A．8B．9C．4D．10
3．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD=2AD，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知，，，成比例线段，其中，，，则（ ）
A．8cmB．9.5cmC．4cmD．4.5cm
5．如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，若△ADE的面积为2，则四边形DECB的面积为（ ）
A．4B．6C．8D．12
6．如图，小李身高，在路灯O的照射下，影子不全落在地面上.小李离路灯的距离，落在地面上影长，留在墙上的影高，则路灯高为（ ）
A．5mB．6mC．7.5mD．8m
7．如图，，，，则的长为（ ）
A．3B．4C．6D．9
8．平面直角坐标中，已知点O（0，0），A（0，2），B（1，0），点P是反比例函数y=﹣图象上的一个动点，过点P作PQ⊥x轴，垂足为Q．若以点O、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似，则相应的点P共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，在△ABC中，∠B=∠C=36°，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点H，AC的垂直平分线交BC于点E，交AC于点G，连接AD，AE，则下列结论错误的是（ ）
A． = B．AD，AE将∠BAC三等分
C．△ABE≌△ACDD．S△ADH=S△CEG
10．如图，在△AOB中，OC平分∠AOB， ，反比例函数 图像经过点A、C两点，点B在x轴上，若△AOB的面积为7，则k的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．在 中， ，点P为 中点，经过点P的直线截 ，使截得的三角形与 相似，这样的直线共有 条.
12．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=5，P为CD边上的动点，当△ADP与△BCP相似时，DP= .
三、解答题
16．如图，已知△PMN是等边三角形，∠APB=120°．求证：AM•PB=PN•AP．
17．在古代的《九章算术》中有一道题：今有勾五步，股 步，问勾中容方几何？意思是：如图，在 中，短直角边 步，长直角边 步，正方形有两边在两直角边上，一个顶点在斜边上．这个正方形 的边长为多少？
18．某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）.已知小明的跟晴离地面1.6米，凉亭顶端离地面1.9米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高为1.7米.请根据以上数据求出城楼的高度.
19．如图，阳光下，小亮的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段BC所示，线段DE表示旗杆的高，线段FG表示一堵高墙．
（1）请你在图中画出旗杆在同一时刻阳光照射下形成的影子；
（2）如果小亮的身高AB=1.5m，他的影子BC=2.4m，旗杆的高DE=15m，旗杆与高墙的距离EG=16m，请求出旗杆的影子落在墙上的长度．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：∵∠A=∠A，∠AED=∠B，
∴△ADE∽△ACB，
∴ = ，
又∵AD=3，AC=6，DB=5，
∴AB=AD+DB=8，
∴AE=8×3÷6=4．
故答案为：D．
【分析】根据相似三角形的判定首先证出△ADE∽△ACB，然后根据相似三角形的性质得出 = ，从而求出AE的长度．
2．【答案】D
【解析】【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴ ，
又∵ ，EF=6，
∴ ，
解得：DE=4，
∴DF=DE+EF=10.
故答案为：D.
【分析】根据“平行线分线段成比例定理”列出比例式，结合已知条件进行解答即可.
3．【答案】B
【解析】【解答】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∵BD=2AD，
∴ ， ， ，
故答案为：B．
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得出 ，又BD=2AD，故 ， ， 。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵，，，成比例线段 ，
∴，
将 ，， 代入上式得：，解得；
故答案为：A.
【分析】根据比例线段的定义，若 ，，，成比例线段，则，代入数据求解即可.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点
∴DE是△ABC的中位线
∴，
∴
∴，即
四边形DECB的面积
故答案为：B.
【分析】易得DE是三角形的中位线，利用三角形的中位线定理可证得DE=BC，DE∥BC，根据平行于三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似，得△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质，可求出四边形DECB的面积.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过B作于E，过D作交于M，交于F，则四边形和为矩形，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
故答案为：B.
【分析】过B作BE⊥OP于E，过D作DF⊥OP交AB于M，交OP于F，则四边形ACDM和ABEP为矩形，MD=AC=0.9，BE=AP=6.6，EP=AB=1.6，AM=CD=1，则BM=0.6，由平行线的性质可得∠DBM=∠O，根据两角对应相等的两个三角形相似可得△BDM∽△OBE，由相似三角形的性质求出OE，然后根据OP=OE+EP进行计算.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴.
故答案为：C.
【分析】由平行线分线段成比例的性质可得，据此求解.
8．【答案】D
【解析】【解答】∵点P是反比例函数y=﹣图象上，
∴设点P（x，y)，
当△PQO∽△AOB时，则，
又PQ=y，OQ=﹣x，OA=2，OB=1，
即，即y=﹣2x，
∵xy=﹣1，即﹣2x2=﹣1，
∴x=±，
∴点P为（，﹣)或（﹣，)；
同理，当△PQO∽△BOA时，
求得P（﹣，)或（，﹣)；
故相应的点P共有4个．
故选D．
【分析】此题考查了相似三角形的性质与反比例函数的性质．注意数形结合思想与方程思想的应用是解此题的关键．
9．【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠B=∠C=36°，
∴AB=AC，∠BAC=108°，
∵DH垂直平分AB，EG垂直平分AC，
∴DB=DA，EA=EC，
∴∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°，
∴△BDA∽△BAC，
∴ ，
又∵∠ADC=∠B+∠BAD=72°，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=72°，
∴∠ADC=∠DAC，
∴CD=CA=BA，
∴BD=BC﹣CD=BC﹣AB，
则 = ，即 = ，故A错误；
∵∠BAC=108°，∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°，
∴∠DAE=∠BAC﹣∠DAB﹣∠CAE=36°，
即∠DAB=∠DAE=∠CAE=36°，
∴AD，AE将∠BAC三等分，故B正确；
∵∠BAE=∠BAD+∠DAE=72°，∠CAD=∠CAE+∠DAE=72°，
∴∠BAE=∠CAD，
在△BAE和△CAD中，
∵ ，
∴△BAE≌△CAD，故C正确；
由△BAE≌△CAD可得S△BAE=S△CAD，即S△BAD+S△ADE=S△CAE+S△ADE，
∴S△BAD=S△CAE，
又∵DH垂直平分AB，EG垂直平分AC，
∴S△ADH= S△ABD，S△CEG= S△CAE，
∴S△ADH=S△CEG，故D正确．
故选：A．
【分析】由题意知AB=AC、∠BAC=108°，根据中垂线性质得∠B=∠DAB=∠C=∠CAE=36°，从而知△BDA∽△BAC，得 ，由∠ADC=∠DAC=72°得CD=CA=BA，进而根据黄金分割定义知 ，可判断A；根据∠DAB=∠CAE=36°知∠DAE=36°可判断B；根据∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE=72°可得∠BAE=∠CAD，可证△BAE≌△CAD，即可判断C；由△BAE≌△CAD知S△BAD=S△CAE，根据DH垂直平分AB，EG垂直平分AC可得S△ADH=S△CEG，可判断D．
10．【答案】C
【解析】【解答】解：∵OC平分∠AOB，
∴C到OA和OB的距离相等，
设C到OA和OB的距离为h，故 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
过A、C两点作x轴垂线，垂足分别为H、G，如图：
∴ ，
∴
∵反比例函数 图像经过点A、C两点，故可设：设A点坐标为 ，C点坐标为 ，
设B点坐标为 ，
∵△AOB的面积为7，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得 ，
故答案为：C.
【分析】由OC平分∠AOB， ，可得出 ，即 ，过A、C两点作x轴垂线，垂足分别为H、G，则有 ，设A点坐标为 ，C点坐标为 ，B点坐标为（b，0），由△AOB的面积为7可求得 ，再由 ，列出关于 的方程即可求解.
11．【答案】3
【解析】【解答】解：
过点P作PE∥AB交AB于点E，△CPE∽△CAB.
过点P作PF∥BC交AB于点F，△APF∽△ACB.
过点P作PG⊥AB交AB于点G，△PGA∽△BCA.
故满足条件的直线有3条，
故答案为：3.
【分析】根据相似三角形的判定方法，过点P分别作PE∥AB，作PF∥BC，作PG⊥AB即得结论.
12．【答案】1或4或2.5
【解析】【解答】解：设DP=x，则CP=5-x，本题需要分两种情况情况进行讨论，
①、当△PAD∽△PBC时，=
∴，解得：x=2.5；
②、当△APD∽△PBC时，=，即=，
解得：x=1或x=4，
综上所述DP=1或4或2.5
故答案为：1或4或2.5.
【分析】由于∠D=∠C=90°， 当△ADP与△BCP相似时，所以分两种情况：①当△PAD∽△PBC时，②当△APD∽△PBC时，据此解答即可.
13．【答案】3
【解析】【解答】如图所示，过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，则∠G＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，AB＝CD＝2，
又∵∠BEF＝90°，
∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC，
∴∠FEG＝∠EBC，
又∵∠C＝∠G＝90°，
∴△BCE∽△EGF，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ，
∴FG＝ EC，GE＝2＝CD，
∴DG＝EC，
设EC＝x，则DG＝x，FG＝ x，
∵Rt△FDG中，FG2+DG2＝DF2，
∴（ x）2+x2＝（ ）2，
解得x2＝9，
即CE2＝9，
∴Rt△BCE中，BE＝ ＝ ＝3 ，
故答案为：3 ．
【分析】过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，易证△BCE∽△EGF，则有 ＝ ＝ ，即可求得GE=2，从而推出CE=DG，设EC＝x，在Rt△FDG中，根据勾股定理可得FG2+DG2＝DF2，求出x的值，再在直角△BCE中利用勾股定理求解.
14．【答案】134
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：134.
【分析】根据平行线的性质可得∠BAO=∠EDF，易证△ABO∽△DEF，然后根据相似三角形的对应边成比例就可求出BO的值.
15．【答案】
【解析】【解答解：如图，作FP⊥BC延长线于P，FQ⊥CD于Q，则四边形QCPF为矩形，
∵∠B=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠FEP=90°，
∴∠BAE=∠FEP，
∴△BAE∽△PEF，则 ，
设 ，
由CF为∠DCP的角平分线可知，∠FCP=45°，则 ，
又∵ 是边 的中点， ，
∴CE=2， ，
∴ ，解得： ，
∴ ，则四边形QCPF为正方形，
∴CQ=2，DQ=CD-CQ=2，
又∵△ADH∽△FQH，
∴ ，则 ，
∴CH=CD-DH= ，
则在Rt△CEH中，
，
故答案为： .
【分析】作FP⊥BC延长线于P，FQ⊥CD于Q，则四边形QCPF为矩形，利用余角的性质可得∠BAE=∠FEP，可推出△BAE∽△PEF，利用相似三角形的性质可得对应边成比例，设PF=x，利用角平分线的性质及∠FCP=45°，可得到CP=x，同时可得到CE=2，PE=2+x，由此可得到关于x的方程，解方程求出x的值；再证明四边形QCPF为正方形，可求CQ，DQ的长，易证△ADH∽△FQH，利用相似三角形的性质可求出DH的长，即可得到CH的长，然后利用勾股定理求出EH的长.
16．【答案】证明：∵△PMN是等边三角形， ∴∠PMN=∠PNM=60°=∠MPN． ∴∠A+∠APM=60°，∠AMP=∠PNB=120°． ∵∠APB=120°， ∴∠APM+∠NPB=60°． ∴∠A=∠NPB． ∴△PMA∽△BNP． ∴AM：PN=AP：PB ∴AM•PB=PN•AP．
【解析】【分析】根据等边三角形的性质得出 ∠PMN=∠PNM=60°=∠MPN ，根据三角形外角定理得出 ∠A+∠APM=60°，根据角的和差得出 ∠APM+∠NPB=60° ，故 ∠A=∠NPB ，根据邻补角的定义得出∠AMP=∠PNB=120° ，由有两个角对应相等的三角形相似得出 △PMA∽△BNP． 由相似三角形对应边成比例得出AM：PN=AP：PB 根据比例的性质得出AM•PB=PN•AP．
17．【答案】解：设正方形 边长为 步，
∵ ∽ ，
∴ ．
∴ ，
解得 ．
答：正方形 的边长为 ．
【解析】【分析】设正方形 边长为 步，利用 ∽ ，列比例式求出x值即可得到答案.
18．【答案】解：如图，过点A作于点M，交于点N，
则四边形和四边形都是矩形，
，
由题意得：米，米，米，米，米，
米，米，米，米，
，
，
，即，
解得（米），
则城楼的高度为（米），
答：城楼的高度为米.
【解析】【分析】 过点A作AM⊥EF于点M，交CD于点N， 易得 则四边形ABDN和四边形ABFM都是矩形，根据矩形的性质及已知可得AN、AM、DN、CN的长，进而根据平行三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△ACN∽△AEM，根据相似三角形对应边成比例建立方程求出EM的长，进而根据GF=EM+MF-EG即可算出答案.
19．【答案】解：（1）如图：线段MG和GE就表示旗杆在阳光下形成的影子．
（2）过M作MN⊥DE于N，
设旗杆的影子落在墙上的长度为x，由题意得：△DMN∽△ACB，
∴，
又∵AB=1.5m，BC=2.4m，
DN=DE﹣NE=15﹣x
MN=EG=16m，
∴，
解得：x=5，
答：旗杆的影子落在墙上的长度为5米．
【解析】【分析】（1）连接AC，过D点作AC的平行线即可；
（2）过M作MN⊥DE于N，利用相似三角形列出比例式求出旗杆的高度即可．
20．【答案】（1）解：四边形MCND′为菱形时，，
理由：∵ 将沿射线EC方向平移，得到 ，
∴CD∥C′D′，DE∥D′E′，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACC′=180°-60°=120°，
∵CN平分∠ACC′，
∴∠D′E′C′=∠ACC′=60°，
∴∠D′E′C′=∠NCC′，
∴D′E′∥CN，
∴四边形MCND′是平行四边形，
∵∠ME′C′=∠MCE′=60°，∠NCC′=∠NC′C=60°，
∴△MCE′和△NCC′是等边三角形，
∴MC=CE′，NC=CC′，
∵四边形MCND′是菱形，
∴CN=CM，
∴.
（2）解：①，
理由：当α≠180°时，
∵ 将绕点旋转角，得到，
∴∠ACD′=∠BCE′，
由（1）可知，AC=CB，CD′=C′E′，
∴△ACD≌△BCE′（SAS）
∴AD′=BE′，
当α=180°时，AD′=AC+CD′，BE′=BC+CE′
∴AD′=BE′；
②连接CP，
在△ACP中，
AP＜AC+CP，
∴当点P，A，C三点共线时，AP最大，
如图，在△D′CE′中，
∵点P是D′E的中点，
∴AP⊥D′E′，PD′=
∴CP=3，
∴AP=6+3=9，
在Rt△APD′中，
【解析】【分析】（1）利用平移的性质可知CD∥C′D′，DE∥D′E′，利用等边三角形的性质可证得∠B=∠ACB=60°，由此可求出∠ACC′的度数；再利用角平分线的定义可推出∠D′E′C′=∠NCC′，即可证得∠D′E′C′=∠NCC′，利用平行线的判定定理可证得四边形MCND′是平行四边形，利用平行四边形的性质去证明△MCE′和△NCC′是等边三角形，可得到MC=CE′，NC=CC′；然后利用菱形的性质可证得CN=CM，可得到CC′的长.
（2）①分情况讨论：当α≠180°时，利用旋转的性质可证得∠ACD′=∠BCE′，由（1）可知AC=CB，CD′=C′E′，利用SAS证明△ACD≌△BCE′，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论；当α=180°时，AD′=AC+CD′，BE′=BC+CE′，即可得到AD′与BE′的数量关系；②连接CP，利用三角形的三边关系定理，可知当点P，A，C三点共线时，AP最大，在△D′CE′中，可求出CP及AP的长；在Rt△APD′中，利用勾股定理求出AD′的长.