人教A版 (2019)8.2 一元线性回归模型及其应用优秀ppt课件

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1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义，会用相关统计软件.2.了解非线性回归模型.3.会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果.
2.一元线性回归模型与函数模型的区别
Y称为因变量或响应变量，
x称为自变量或解释变量，
e是Y与bx+a之间的随机误差．
在实际问题中，有时两个变量之间的关系并不是线性关系，这就需要运用散点图选择适当的函数模型来拟合观测数据，然后通过适当的变量代换，把非线性问题转化为线性问题，从而确定未知参数，建立相应的线性回归方程．
提示　不一定；越小越好．
在一元线性回归模型中，表达式Y=bx+a+e刻画的是变量Y与变量x之间的线性相关关系，其中参数a和b未知，需要根据成对样本数据进行估计. 由模型的建立过程可知，参数a和b刻画了变量Y与变量x的线性关系，因此通过成对样本数据估计这两个参数，相当于寻找一条适当的直线，使表示成对样本数据的这些散点在整体上与这条直线最接近.
探究 利用散点图找出一条直线，使各散点在整体上与此直线尽可能接近.
方法一：采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置. 然后测量出此时的斜率和截距，就可得到一 条直线，如图(1)所示.
方法二： 在图中选择这样的两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同，把这条直线作为所求直线，如图(2)所示.
方法三：在散点图中多取几对点，确定出几条直线的方程，再分别求出这些直线的斜率、截距的平均数，将这两个平均数作为所求直线的斜率和截距，如图(3)所示.
上面这些方法虽然有一定的道理，但比较难操作，我们需要另辟蹊径.先进一步明确我们面临的任务: 从成对样本数据出发，用数学的方法刻画“从整体上看，各散点与直线最接近”.通常，我们会想到利用点到直线y=bx+a的“距离”来刻画散点与该直线的接近程度，然后用所有“距离”之和刻画所有样本观测数据与该直线的接近程度.
设满足一元线性回归模型的两个变量的n对样本数据为(x1, y1), (x2, y2), ‧‧‧, (xn, yn), 由yi=bxi+a+ei (i=1, 2, ‧‧‧, n)，得
显然|ei|越小，表示点(xi , yi)与点(xi , bxi+a)的“距离”越小，即样本数据点离直线y=bx+a的竖直距离越小，如右图所示. 特别地，当ei = 0时，表示点(xi , yi)在这条直线上.
在实际应用中，因为绝对值使得计算不方便，所以人们通常用各散点到直线的竖直距离的平方之和
来刻画“整体接近程度”.
所以我们可以取使Q达到最小的a和b的值作为截距和斜率的估计值.
∴要使Q取得最小值，当且仅当b的取值为
综上，当a, b的取值为
经验回归方程与最小二乘估计：
例1 某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表:
(1) 画出销售额和利润额的散点图；(2) 计算利润额y对销售额x的经验回归直线方程.
解：(1) 散点图如下:
求经验回归方程的步骤：
显然不一定，因为还有其他影响儿子身高的因素，父亲身高不能完全决定儿子身高. 不过，我们可以作出推测，当父亲身高为176cm时，儿子身高一般在177cm左右.实际上，如果把这所学校父亲身高为176cm的所有儿子身高作为一个子总体，那么177cm是这个子总体的均值的估计值.
对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的)称为预测值，观测值减去预测值称为残差. 残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.
类似地，我们还可以得到其他的残差，如下表所示.
为了使数据更加直观，用父亲身高作为横坐标，残差作为纵坐标，可以画出残差图，如图下所示.
观判断模型是否满足一元线性回归模型的假设. 一般地，建立经验回归方程后，通常需要对模型刻画数据的效果进行分析.借助残差分析还可以对模型进行改进，使我们能根据改进模型作出更符合实际的预测与决策.
观察残差的散点图可以发现，残差比较均匀地分布在横轴的两边. 说明残差比较符合一元线性回归模型的假定，是均值为0、方差为σ2的随机变量的观测值. 可见，通过观察残差图可以直
思考2 观察下列四幅残差图，你认为哪一个残差满足一元线性回归模型中对随机误差的假定?
通过观察发现，图(4)的残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内. 所以在四幅残差图中，只有图(4)满足一元线性回归模型对随机误差的假设.
例2在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y(μm)与腐蚀时间x(s)之间的一组观察值如表.
(1) 画出散点图；(2) 求y关于x的经验回归方程；(3) 利用经验回归方程预测时间为100 s时腐蚀深度为多少．
解：(1) 散点图如图所示，
∴y关于x的经验回归方程为
1. 对一元线性回归模型参数a和b的估计中，有人认为:“估计方法不止一种，根据不同的样本观测数据到直线‘ 整体接近程度’的定义，可以得到参数a和b不同的估计，只要‘整体接近程度’定义合理即可.”你觉得这个说法对吗?
∴估计女儿的身高为168 cm左右.
解：先画人体的脂肪含量与年龄的散点图，如图(1)所示. 由散点图可以发现人体的脂肪含量与年龄呈现近似线性关系，可以用一元线性回归模型刻画.
3. 根据下表数据，建立人体的脂肪含量关于年龄的经验回归方程，画出残差图，描述残差图的特点.
画残差图，如图(2)所示，通过残差图可以看到，残差比较均匀地分布在横轴的两边. 说明残差比较符合一元线性回归模型对随机误差的假设.
经计算可知残差的总和为0.027. 但是
4. 计算表8.2-2中的所有残差之和，你能发现什么规律?
即理论上残差的总和应等于0，这个误差是由于计算过程中四舍五入的原因导致.
则Q是关于b的二次函数. 要使Q小值，当且仅当b的取值为
1．下列两个变量之间的关系不是函数关系的是(　　)A．角度和它的余弦值B．正方形的边长和面积C．正n边形的边数和内角度数和D．人的年龄和身高解析　函数关系就是变量之间的一种确定性关系．A，B，C三项中的两个变量之间都是函数关系，可以写出相应的函数表达式，分别为f(θ)＝cs θ，g(a)＝a2，h(n)＝(n－2)π.D选项中的两个变量之间不是函数关系，对于年龄确定的人群，仍可以有不同的身高，故选D.答案　D
2．(多选题)关于残差图的描述正确的是(　　)A．残差图的横坐标可以是样本编号B．残差图的横坐标也可以是解释变量或预报变量C．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小D．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小
解析　残差点分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，则残差平方和越小，此时，R2的值越大，故描述错误的是C.答案　ABD
3．某产品在某零售摊位的零售价x(单位：元)与每天的销售量y(单位：个)的统计资料如下表所示：
4．在研究硝酸钠的溶解度时，观察它在不同温度(x)的水中溶解度(y)的结果如下表：
由此得到回归直线的斜率是__________．
5．在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表：
根据散点图可知y与x近似地呈反比例函数关系，
由散点图可以看出y与t呈近似的线性相关关系，列表如下：