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    8.2.2《一元线性回归模型参数的最小二乘估计》(第2课时)课件+分层练习(含答案解析)-人教版高中数学选修三
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    高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第八章 成对数据的统计分析8.2 一元线性回归模型及其应用完整版ppt课件

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第八章 成对数据的统计分析8.2 一元线性回归模型及其应用完整版ppt课件,文件包含822一元线性回归模型参数的最小二乘估计第2课时课件-人教版高中数学选修三pptx、822《一元线性回归模型参数的最小二乘估计》分层作业原卷版-人教版高中数学选修三docx、822《一元线性回归模型参数的最小二乘估计》分层作业解析版-人教版高中数学选修三docx等3份课件配套教学资源,其中PPT共33页, 欢迎下载使用。

    1.进一步掌握一元线性回归模型参数的统计意义,会用相关统计软件.2.了解非线性回归模型.3.会通过分析残差和利用R2判断回归模型的拟合效果.
    例 经验表明,一般树的胸径 (树的主干在地面以上1.3m处的直径)越大, 树就越高 . 由于测量树高比测量胸径困难,因此研究人员希望由胸径预测树高 . 在研究树高与胸径之间的关系时,某林场收集了某种树的一些数据如下表,试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程.
    例 根据下面数据建立树高关于胸径的经验回归方程.
    解: 以胸径为横坐标,树高为纵坐标作散点图如下:
    在右图中,散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近,表明两个变量线性相关,并且是正相关,因此可以用一元线性回归模型刻画树高与胸径之间的关系.
    用d表示胸径 , h表示树高 , 根据据最小二乘法 , 计算可得经验回归方程为
    相应的经验回归直线如图所示.
    根据经验回归方程,由胸径的数据可以计算出树高的预测值(精确到0.1)以及相应的残差,如下表所示.
    以胸径为横坐标, 残差为纵坐标, 作残差图, 得到下图.
    观察残差表和残差图,可以看到,残差的绝对值最大是0.8,所有残差分布在以横轴为对称轴、宽度小于2的带状区域内 . 可见经验回归方程较好地刻画了树高与胸径的关系,我们可以根据经验回归方程由胸径预测树高.
    问题 人们常将男子短跑100m的高水平运动员称为“百米飞人”. 下表给出了1968年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据. 试依据这些成对数据,建立男子短跑100m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程.
    2. 求经验回归方程:
    将经验回归方程叠加到散点图,如图(3)所示.
    由图形可知,第一点远离经验回归直线,并且前后两时间段中的散点都在经验回归直线的上方,中间时间段的散点都在经验回归直线的下方. 这说明散点并不是随机分布在经验回归直线的周围,而是围绕着经验回归直线有一定的变化规律,即成对样本数据呈现出明显的非线性相关的特征.
    对模型进行修改,以使其更好地反映散点的分布特征.
    用上述函数刻画数据变化的趋势,这是一个非线性经验回归函数,其中c1, c2 是待定参数. 现在问题转化为如何利用成对数据估计参数c1和c2.
    为了利用一元线性回归模型估计参数c1和c2,我们引进一个中间变量x,令x=ln(t-1895). 通过x=ln(t-1895),将年份变量数据进行变换,得到新的成对数据(精确到0.01),如下表所示.
    在上图中画出经验回归直线,如图所示.
    在同一坐标系中画出成对数据散点图、非线性经验回归方程②的图像(蓝色)以及经验回归方程①的图像(红色),如图所示.
    我们发现,散点图中各散点都非常靠近②的图像, 表明非线性经验回归方程②对于原始数据的拟合效果远远好于经验回归方程①.
    下面通过残差来比较这两个经验回归方程对数据刻画的好坏.
    用ti表示编号为i的年份数据,用yi表示编号为i的纪录数据,则经验回归方程①和②的残差计算公式分别为
    两个经验回归方程的残差(精确到0.001)如下表所示.
    观察各项残差的绝对值,发现经验回归方程②远远小于①,即经验回归方程②的拟合效果要远远好于①.
    在一般情况下,直接比较两个模型的残差比较困难,因为在某些散点上一个模型的残差的绝对值比另一个模型的小,而另一些散点的情况则相反. 可以通过比较残差的平方和来比较两个模型的效果. 由
    可知Q2小于Q1. 因此在残差平方和最小的标准下,非线性回归模型
    的拟合效果要优于一元线性回归模型的拟合效果.
    通过前面的讨论我们知道,当残差的平方和越小,经验回归模型的拟合效果就越好,故我们可以用决定系数R2来验证模型的拟合效果.决定系数R2的计算公式为
    决定系数是总偏差平方和中回归平方和所占的比重. 显然0≤R2≤1,R2越接近1,则线性回归刻画的效果越好.还可以证明,在一元线性回归模型中R2=r2,即决定系数R2等于响应变量与解释变量的样本相关系数r的平方.
    由上述残差表可算出经验回归方程①和②的决定系数R2分别为
    在使用经验回归方程进行预测时,需注意以下问题
    1.回归方程只适用于我们所研究的样本的总体;
    2.我们所建立的回归方程一般都有时间性;
    3.样本采集的范围会影响回归方程的适用范围;
    4.不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值. 事实上, 它是预报变量的可能取值的平均值.
    1. 在回归分析中,分析残差能够帮助我们解决哪些问题?
    解:分析残差可以帮助我们解决以下几个问题: (1) 寻找残差明显比其他残差大很多的异常点,如果有,检查相应的样本数据是否有错. (2) 分析残差图可以诊断选择的模型是否合适,如果不合适,可以参考残差图提出修改模型的思路.
    (1)作GDP和年份的散点图,根据该图猜想它们之间的关系可以用什么模型描述;
    2. 1997-2006 年我国的国内生产总值(GDP)的数据如下:
    解:(1) 画GDP与年份的散点图,如图所示,可以观察到随着年份的增加GDP也随之增加,GDP值与年份呈现近似线性关系,可以用一元线性回归模型刻画.
    (2) 建立年份为解释变量, GDP为响应变量的一元线性回归模型, 并计算残差;(3) 根据你得到的一元线性回归模型,预测2017年的GDP,看看你的预测值与实际的GDP的误差是多少;
    (3) 2017年的GDP预报值为359684亿元,2017年的实际的GDP为820754亿元,预测值比实际值少461070亿元.
    (4) 你认为这个模型能较好地刻画GDP和年份的关系吗? 请说明理由.
    解:(4)上面建立的回归方程的R2=0.9213,说明在1997-2006 年内,该模型年份能够解释92.13%的GDP值变化,因此所建立的模型较好地刻画了GDP和年份的关系. 但因为残差呈现一定的规律性,中间是负数,两边是正数,所以可以考虑用非线性回归模型拟合数据.
    (5)随着时间的发展,又收集到2007-2016年的GDP数据如下:
    建立年份(1997-2016)为解释变量,GDP为响应变量的经验回归方程,并预测2017年的GDP,与实际的GDP误差是多少? 你能发现什么?
    1.某班5名学生的数学和物理成绩如下表:(1)画出散点图;(2)求物理成绩y对数学成绩x的经验回归方程;(3)一名学生的数学成绩是96,试预测他的物理成绩.
    解 (1)散点图如图.
    2.为研究重量x(单位:克)对弹簧长度y(单位:厘米)的影响,对不同重量的6个物体进行测量,数据如下表所示:(1)作出散点图并求线性回归方程;(2)求出R2;(3)进行残差分析.
    解 (1)数据对应的散点图如右图所示:
    (3)由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大,需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误,如果有的话,需要纠正数据,重新建立回归模型;由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中,说明选用的线性回归模型的精度较高,由以上分析可知,弹簧长度与拉力成线性关系.
    3.判断模型拟合的效果: 残差分析
    R2越大,模型的拟合效果越好, R2越小,模型拟合效果越差.
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