人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.2 直线的方程一等奖作业ppt课件

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02直线的一般式方程的应用
03一般式下直线的平行与垂直的问题
1.了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化3.能运用直线的一般式方程解决有关问题
思考 上述四种直线方程都是一个怎样的方程？能否写成统一的形式？
不含与x, y轴垂直的直线
不含过原点和与x, y轴垂直的直线
都是关于x, y的二元一次方程
思考 (1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x, y的二元一次方程表示吗? (2)任意一个关于x, y的二元一次方程都表示一条直线吗?
因此, 在平面直角坐标系中, 对于任何一条直线, 其方程都可以表示成形如Ax+By+C=0的的二元一次方程.
先看问题(1), 在平面直角坐标系中, 每一条直线都有倾斜角.
即 kx-y+b=0.
这是关于x,y二元一次方程, 若设A=k, B =-1, C=b, 则方程形式可写成
当α≠90°时, 直线方程可写成 y=kx+b,
当α=90°时, 直线方程可写成 x=x1, 即x-x1=0.
这也是关于x,y二元一次方程, 若设A=1, B =0, C=-x1, 则方程形式也可写成
由上可知, 关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0都表示一条直线.
对于问题(2), 任意一个二元一次方程Ax+By+C=0 (A, B不同时为0), 如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示条直线.
当B ≠ 0时, 方程Ax+By+C=0可变形为
当B=0时, A≠0, 方程Ax+By+C=0可变形为
我们把关于x, y的二元一次方程Ax+By+C=0 (其中A, B不同时为0)叫做直线的一般式方程, 简称一般式.
我们把关于x, y二元一次方程 Ax+By +C=0 (其中A, B不同时为0)叫做直线方程的一般式方程, 简称一般式.
综上可知, 在平面直角坐标系中, 任何关于x, y的二元一次方程Ax+By +C=0都表示一条直线.
探究 在方程Ax+By +C=0中, A,B,C为何值时, 方程表示的直线： ①平行于x轴；②平行于y轴；③与x轴重合；④与y轴重合.
根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(2)经过点A(－1,5)，B(2，－1)两点；
(3)在x轴，y轴上的截距分别为－3，－1；
(4)经过点B(4,2)，且平行于x轴.
求直线一般式方程的策略在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式.
(1)根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式.
③经过点P1(3，－2)，P2(5，－4)的直线方程为____________.
(2)直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点A按逆时针方向旋转90°所得的直线方程是A.x－2y＋4＝0 B.x＋2y－4＝0C.x－2y－4＝0 D.x＋2y＋4＝0
解析　直线2x－y－2＝0与y轴的交点为A(0，－2)，
把直线l的一般式方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形．
设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.(1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值；
解　由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，
(2)已知直线l的斜率为1，求m的值.
由直线l化为斜截式方程
得m＝－2或m＝－1(舍去).∴m＝－2.
延伸探究对于本例中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值.
解　∵直线l与y轴平行，
含参直线方程的研究策略(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0.(2)令x＝0可得在y轴上的截距.令y＝0可得在x轴上的截距.若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式.(3)解分式方程要注意验根.
(1)若直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a＝____.
解析　由题意知a≠0，当x＝0时，y＝2；
(2)已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标.
解　整理直线l的方程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0.无论k取何值，该式恒成立，
所以直线l经过定点M(1，－1).
已知直线l1：3x＋(m＋1)y－6＝0，l2：mx＋2y－(m＋2)＝0，分别求满足下列条件的m的值.(1)l1⊥l2；
解　∵l1⊥l2，∴3×m＋(m＋1)×2＝0，
解　∵l1∥l2，∴3×2＝m×(m＋1)，∴m＝－3或m＝2，当m＝－3时，l1∥l2；当m＝2时，l1与l2重合，不符合题意，舍去.∴m＝－3.
(1)一般式下，两直线平行与垂直的判定如下：设直线l1与l2的方程分别为A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，
(2)对于这类题目既要借助图形，更要选择运算方法，通过计算，确定结果，所以突出考查直观想象与数学运算的数学核心素养.
(1) x+2y－4=0;
(3) x+y－1=0;
(4) 2x－y－3=0.
3. 已知直线l的方程是Ax+By+C=0. (1)当B≠0时, 直线l的斜率是多少? 当B=0时呢? (2)系数A, B, C取什么值时, 方程Ax+By+C=0表示经过原点的直线?
4.教材167页习题2.2A组第8题) (1) 求经过点A(3,2), 且与直线4x＋y－2＝0平行的直线方程； (2) 经过点C(2,－3), 且平行于过M(1, 2)和N(－1,－5)两点的直线; (3) 求经过点B(3,0), 且与直线2x＋y－5＝0垂直的直线方程.
解：(1) 4x＋y－14＝0；
(3) x－2y－3＝0.
(2) 7x－2y－20＝0；
2.两直线ax-by-1=0(ab≠0)与bx-ay-1=0(ab≠0)的图象可能是图中的哪一个(　　)
设直线l的倾斜角为α(0≤α<π), 则有
故求直线 l 的方程为
7.过点P(1,4)作直线与两坐标轴正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线的方程.
8.已知直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直, 求a的值.
解：由(3a+2)(5a-2)+(1-4a)(a+4)=1，解得
∴当a=0或a=1时，直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直.
9.已知直线x+2ay-1=0与(3a-1)x-ay-1=0平行, 求a的值.
解：由(-a)-2a(3a-1)=0，解得
当a=0时，直线方程分别为x=1与x=-1平行，满足题意.
10.(1) 求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程; (2) 求经过点A(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程.
1. 判定两直线平行的方法： 法1：若两直线斜率都存在, 化成斜截式后, 由 k1＝k2, 且b1≠b2可判定两直线平行; 若两直线斜率都不存在且不重合时两直线平行． 法2：设两直线的方程为l1: A1x＋B1y＋C1＝0, l2: A2x＋B2y＋C2＝0. l1∥l2 ⇔ A1B2－A2B1＝0, 且B1C2－B2C1 ≠ 0.2. 判定两直线垂直的方法： 法1：若一个斜率为零, 另一个斜率不存在, 则两直线垂直． 若两个斜率都存在, 化成斜截式后, 由k1k2＝－1可判定两直线垂直. 法2：设两直线方程为l1: A1x＋B1y＋C1＝0, l2: A2x＋B2y＋C2＝0. l1⊥l2 ⇔ A1A2＋B1B2＝0.