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第02讲 等差数列及其前n项和 (练）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考）
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这是一份第02讲 等差数列及其前n项和 (练）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考），文件包含第02讲等差数列及其前n项和精练原卷版-高考数学一轮复习讲练测新教材新高考docx、第02讲等差数列及其前n项和精练解析版-高考数学一轮复习讲练测新教材新高考docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共18页， 欢迎下载使用。
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·四川省南充市白塔中学高一阶段练习（文））在等差数列中，已知，则数列的前6项之和为（ ）
A．12B．32C．36D．37
【答案】C
数列的前6项之和为.
故选：C.
2．（2022·天津天津·高二期末）某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们第1天只得到10元，之后采取了积极措施，从第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【答案】C
由题意可得，第一天募捐10元，第二天募捐20元，
募捐构成了一个以10元为首项，以10元为公差的等差数列，
根据题意，设共募捐了天，则，
解得或（舍去），所以，
故选：．
3．（2022·北京市第十二中学高二阶段练习）设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
依题意，数列是公差为d的等差数列，数列为递减数列，
所以，，.
故选：D
4．（2022·黑龙江双鸭山·高二期末）等差数列中，已知，，则的前项和的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
∵等差数列中，，
∴，即．又，
∴的前项和的最小值为．
故选：B
5．（2022·山东师范大学附中模拟预测）如图，在杨辉三角形中，斜线的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前项和为，则（ ）
A．361B．374C．385D．395
【答案】B
根据杨辉三角的特征可以将数列继续写出到第22项：
1，3，3，4，6，5，10，6，15，7，21，8，28，9，36，10，45，11，55，12，66，13，
所以
故选：B
6．（2022·湖北·安陆第一高中高二阶段练习）已知数列的前n项和，若，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
由，得也适合，
又由得，
又，
∴，
故选:A．
7．（2022·全国·模拟预测）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
设，，.则，，所以.
故选：B.
8．（2022·全国·高二专题练习）等差数列的首项为正数，其前n项和为.现有下列命题，其中是假命题的有（ ）
A．若有最大值，则数列的公差小于0
B．若，则使的最大的n为18
C．若，，则中最大
D．若，，则数列中的最小项是第9项
【答案】B
对于选项A，∵有最大值，∴ 等差数列一定有负数项，
∴等差数列为递减数列，故公差小于0，故选项A正确；
对于选项B，∵，且，
∴，，
∴，，
则使的最大的n为17，故选项B错误；
对于选项C，∵，，
∴，，
故中最大，故选项C正确；
对于选项D，∵，，
∴，，
故数列中的最小项是第9项，故选项D正确.
故选：B.
二、多选题
9．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二期中）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且，则（ ）
A．d＜0B．a10＝0C．S18＜0D．S8＜S9
【答案】BC
， ，所以B正确
又 , , ,所以A错误
，故C正确
,故D错误
故选：BC
10．（2022·浙江温州·高二期末）某“最强大脑”大赛吸引了全球10000人参加，赞助商提供了2009枚智慧币作为比赛奖金．比赛结束后根据名次（没有并列名次的选手）进行奖励，要求第k名比第名多2枚智慧币，每人得到的智慧币必须是正整数，且所有智慧币必须都分给参赛者，按此规则主办方可能给第一名分配（ ）智慧币．
A．300B．293C．93D．89
【答案】BD
设第一名分配m个智慧币，且总共有x名参赛选手获奖，
则智慧币分配如下：
，
即，
又，
∴，即，
∵x，m都为正整数，且，
∴，，
，，
，，
，，
∴第一名分配89或293个智慧币．
故选：BD
三、填空题
11．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列的前n项和为，且，则数列的公差为_______.
【答案】2
设数列的公差为，则由可得：
，
化简可得，解得，
故答案为：2．
12．（2022·江苏·高二）首项为正数的等差数列，前项和为，且，当________时，取到最大值.
【答案】5或6##6或5
由题意，设等差数列为且，公差为，
因为，
所以，即，
因为，所以，即，
所以为单调递减的等差数列，即
故当或时，最大.
故答案为：5或6.
四、解答题
13．（2022·山东·高二阶段练习）在等差数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)设为的前项和，若，求的值.
【答案】(1)(2)
(1)设等差数列的公差为，
由题意可得，解得.
故.
(2)由等差数列的前项和公式可得.
因为，所以，即，
解得（舍去）.
14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列的前项和为.
（1）求出的通项公式；
（2）求数列前n项和最小时n的取值
【答案】（1）；（2）当或时，数列前n项和取得最小值.
（1）因为，
所以当时，；
当时，；
显然是，也满足，
所以；
(2) 因为，
所以数列为等差数列，其前n项和
又，所以当或时，取得最小值.
B能力提升
一、单选题
1．（2022·四川省绵阳南山中学高一期中）设等差数列的公差为，其前项和为，且，，则使得的正整数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
由可得，又，可得，
由，可得，则，，，
故使得的正整数的最小值为19.
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知公差非零的等差数列 满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．当时，D．当时，
【答案】C
因公差非零的等差数列{an}满足，则有，有， 异号且均不为0，
对于A，，A不正确；
对于B，，而，此时，，B不正确；
对于C，由选项A知，，即，则，于是得，
数列是递增数列，即，，C正确；
对于D，由得，则，于是得，数列是递减数列，即，，D不正确.
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）等差数列的前n项和为，已知，，则的最小值为______．
【答案】
由，，得，
解得：，
则．故．
由于，故当或4时，.
故答案为：
4．（2022·辽宁辽阳·二模）“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题，已知问题中，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则在不超过4200的正整数中，所有满足条件的数的和为______.
【答案】82820
由题可知满足被3除余2，被5除余3.被7除余2的最小的数为23，
满足该条件的数从小到大构成以23为首项，为公差的等差数列，
其通项公式为，
令，解得，
则所有满足条件的数的和为.
故答案为：82820.
5．（2022·山西吕梁·二模（理））已知是等差数列的前项和，，则满足的正整数是________．
【答案】
由，得，由，得，由，得，
所以，，
所以满足的正整数是．
故答案为：.
6．（2022·湖南衡阳·三模）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，则__________．
【答案】1122
由于数列的各项均为正数，即，
当时，，即，∴，
当时，由，可得，
两式相减得，
又∵，∴，
∴为一个以2为首项，2为公差的等差数列，
∴.
故
故答案为：1122
C综合素养
1．（2022·山东济南·三模）如图1，洛书是一种关于天地空间变化脉络的图案，2014年正式入选国家级非物质文化遗产名录，其数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，形成图2中的九宫格，将自然数1，2，3，…，放置在n行n列的正方形图表中，使其每行、每列、每条对角线上的数字之和（简称“幻和”）均相等，具有这种性质的图表称为“n阶幻方”．洛书就是一个3阶幻方，其“幻和”为15．则7阶幻方的“幻和”为（ ）
图1 图2
A．91B．169C．175D．180
【答案】C
由题意，7阶幻方各行列和，即“幻和”为.
故选：C
2．（2022·新疆克拉玛依·三模（文））南宋数学家杨辉在《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23，则该数列的第31项为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
解：根据题意，设该数列为，数列的前7项为2，3，5，8，12，17，23，
则满足，，
则，
故选：D．
3．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）“中国剩余定理”是关于整除的问题.现有这样一个问题“将1~2030这2030个自然数中，能被3整除余1且能被4整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有（ ）
A．170项B．171项C．168项D．169项
【答案】A
能被3整除余1且能被4整除余1的数即被12整除余1的数，故，由题意，，故，故当时成立，共170项.
故选：A
4．（2022·浙江·模拟预测）毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为，总结规律并以此类推下去，第个图形对应的点数为________，若这些数构成一个数列，记为数列，则________．
【答案】
记第个图形的点数为，由题意知，，
，，…，，
累加得，
即，所以．又，
所以．
5．（2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测）“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题.已知问题中，一个数被除余，被除余，被除余，则在不超过的正整数中，所有满足条件的数的和为___________.
【答案】
由题意可知，一个数被除余，被除余，被除余，则这个正整数的最小值为，
因为、、的最小公倍数为，
由题意可知，满足条件的数形成以为首项，以为公差的等差数列，
设该数列为，则，
由，可得，所以，的最大值为，
所以，满足条件的这些整数之和为.
故答案为：.
A夯实基础
一、单选题
1．（2022·四川省南充市白塔中学高一阶段练习（文））在等差数列中，已知，则数列的前6项之和为（ ）
A．12B．32C．36D．37
【答案】C
数列的前6项之和为.
故选：C.
2．（2022·天津天津·高二期末）某中学的“希望工程”募捐小组暑假期间走上街头进行了一次募捐活动，共收到捐款1200元.他们第1天只得到10元，之后采取了积极措施，从第2天起，每一天收到的捐款都比前一天多10元.这次募捐活动一共进行的天数为（ ）
A．13B．14C．15D．16
【答案】C
由题意可得，第一天募捐10元，第二天募捐20元，
募捐构成了一个以10元为首项，以10元为公差的等差数列，
根据题意，设共募捐了天，则，
解得或（舍去），所以，
故选：．
3．（2022·北京市第十二中学高二阶段练习）设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
依题意，数列是公差为d的等差数列，数列为递减数列，
所以，，.
故选：D
4．（2022·黑龙江双鸭山·高二期末）等差数列中，已知，，则的前项和的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
∵等差数列中，，
∴，即．又，
∴的前项和的最小值为．
故选：B
5．（2022·山东师范大学附中模拟预测）如图，在杨辉三角形中，斜线的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前项和为，则（ ）
A．361B．374C．385D．395
【答案】B
根据杨辉三角的特征可以将数列继续写出到第22项：
1，3，3，4，6，5，10，6，15，7，21，8，28，9，36，10，45，11，55，12，66，13，
所以
故选：B
6．（2022·湖北·安陆第一高中高二阶段练习）已知数列的前n项和，若，则（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】A
由，得也适合，
又由得，
又，
∴，
故选:A．
7．（2022·全国·模拟预测）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，.若对于任意的正整数n都有，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
设，，.则，，所以.
故选：B.
8．（2022·全国·高二专题练习）等差数列的首项为正数，其前n项和为.现有下列命题，其中是假命题的有（ ）
A．若有最大值，则数列的公差小于0
B．若，则使的最大的n为18
C．若，，则中最大
D．若，，则数列中的最小项是第9项
【答案】B
对于选项A，∵有最大值，∴ 等差数列一定有负数项，
∴等差数列为递减数列，故公差小于0，故选项A正确；
对于选项B，∵，且，
∴，，
∴，，
则使的最大的n为17，故选项B错误；
对于选项C，∵，，
∴，，
故中最大，故选项C正确；
对于选项D，∵，，
∴，，
故数列中的最小项是第9项，故选项D正确.
故选：B.
二、多选题
9．（2022·黑龙江·鹤岗一中高二期中）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，且，则（ ）
A．d＜0B．a10＝0C．S18＜0D．S8＜S9
【答案】BC
， ，所以B正确
又 , , ,所以A错误
，故C正确
,故D错误
故选：BC
10．（2022·浙江温州·高二期末）某“最强大脑”大赛吸引了全球10000人参加，赞助商提供了2009枚智慧币作为比赛奖金．比赛结束后根据名次（没有并列名次的选手）进行奖励，要求第k名比第名多2枚智慧币，每人得到的智慧币必须是正整数，且所有智慧币必须都分给参赛者，按此规则主办方可能给第一名分配（ ）智慧币．
A．300B．293C．93D．89
【答案】BD
设第一名分配m个智慧币，且总共有x名参赛选手获奖，
则智慧币分配如下：
，
即，
又，
∴，即，
∵x，m都为正整数，且，
∴，，
，，
，，
，，
∴第一名分配89或293个智慧币．
故选：BD
三、填空题
11．（2022·全国·高二课时练习）已知等差数列的前n项和为，且，则数列的公差为_______.
【答案】2
设数列的公差为，则由可得：
，
化简可得，解得，
故答案为：2．
12．（2022·江苏·高二）首项为正数的等差数列，前项和为，且，当________时，取到最大值.
【答案】5或6##6或5
由题意，设等差数列为且，公差为，
因为，
所以，即，
因为，所以，即，
所以为单调递减的等差数列，即
故当或时，最大.
故答案为：5或6.
四、解答题
13．（2022·山东·高二阶段练习）在等差数列中，.
(1)求的通项公式；
(2)设为的前项和，若，求的值.
【答案】(1)(2)
(1)设等差数列的公差为，
由题意可得，解得.
故.
(2)由等差数列的前项和公式可得.
因为，所以，即，
解得（舍去）.
14．（2022·全国·高三专题练习（文））已知数列的前项和为.
（1）求出的通项公式；
（2）求数列前n项和最小时n的取值
【答案】（1）；（2）当或时，数列前n项和取得最小值.
（1）因为，
所以当时，；
当时，；
显然是，也满足，
所以；
(2) 因为，
所以数列为等差数列，其前n项和
又，所以当或时，取得最小值.
B能力提升
一、单选题
1．（2022·四川省绵阳南山中学高一期中）设等差数列的公差为，其前项和为，且，，则使得的正整数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
由可得，又，可得，
由，可得，则，，，
故使得的正整数的最小值为19.
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知公差非零的等差数列 满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．当时，D．当时，
【答案】C
因公差非零的等差数列{an}满足，则有，有， 异号且均不为0，
对于A，，A不正确；
对于B，，而，此时，，B不正确；
对于C，由选项A知，，即，则，于是得，
数列是递增数列，即，，C正确；
对于D，由得，则，于是得，数列是递减数列，即，，D不正确.
故选：C
3．（2022·全国·高三专题练习）等差数列的前n项和为，已知，，则的最小值为______．
【答案】
由，，得，
解得：，
则．故．
由于，故当或4时，.
故答案为：
4．（2022·辽宁辽阳·二模）“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题，已知问题中，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则在不超过4200的正整数中，所有满足条件的数的和为______.
【答案】82820
由题可知满足被3除余2，被5除余3.被7除余2的最小的数为23，
满足该条件的数从小到大构成以23为首项，为公差的等差数列，
其通项公式为，
令，解得，
则所有满足条件的数的和为.
故答案为：82820.
5．（2022·山西吕梁·二模（理））已知是等差数列的前项和，，则满足的正整数是________．
【答案】
由，得，由，得，由，得，
所以，，
所以满足的正整数是．
故答案为：.
6．（2022·湖南衡阳·三模）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，则__________．
【答案】1122
由于数列的各项均为正数，即，
当时，，即，∴，
当时，由，可得，
两式相减得，
又∵，∴，
∴为一个以2为首项，2为公差的等差数列，
∴.
故
故答案为：1122
C综合素养
1．（2022·山东济南·三模）如图1，洛书是一种关于天地空间变化脉络的图案，2014年正式入选国家级非物质文化遗产名录，其数字结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，形成图2中的九宫格，将自然数1，2，3，…，放置在n行n列的正方形图表中，使其每行、每列、每条对角线上的数字之和（简称“幻和”）均相等，具有这种性质的图表称为“n阶幻方”．洛书就是一个3阶幻方，其“幻和”为15．则7阶幻方的“幻和”为（ ）
图1 图2
A．91B．169C．175D．180
【答案】C
由题意，7阶幻方各行列和，即“幻和”为.
故选：C
2．（2022·新疆克拉玛依·三模（文））南宋数学家杨辉在《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列．如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，其前7项分别为2，3，5，8，12，17，23，则该数列的第31项为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
解：根据题意，设该数列为，数列的前7项为2，3，5，8，12，17，23，
则满足，，
则，
故选：D．
3．（2022·陕西·宝鸡中学模拟预测）“中国剩余定理”是关于整除的问题.现有这样一个问题“将1~2030这2030个自然数中，能被3整除余1且能被4整除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有（ ）
A．170项B．171项C．168项D．169项
【答案】A
能被3整除余1且能被4整除余1的数即被12整除余1的数，故，由题意，，故，故当时成立，共170项.
故选：A
4．（2022·浙江·模拟预测）毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为，总结规律并以此类推下去，第个图形对应的点数为________，若这些数构成一个数列，记为数列，则________．
【答案】
记第个图形的点数为，由题意知，，
，，…，，
累加得，
即，所以．又，
所以．
5．（2022·辽宁·东北育才双语学校模拟预测）“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二.问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术中给出的.大衍求一术（也称作“中国剩余定理”）是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一次同余式组问题.已知问题中，一个数被除余，被除余，被除余，则在不超过的正整数中，所有满足条件的数的和为___________.
【答案】
由题意可知，一个数被除余，被除余，被除余，则这个正整数的最小值为，
因为、、的最小公倍数为，
由题意可知，满足条件的数形成以为首项，以为公差的等差数列，
设该数列为，则，
由，可得，所以，的最大值为，
所以，满足条件的这些整数之和为.
故答案为：.
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