第02讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 (讲）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：基本事实的应用
题型二：空间两条直线的位置关系
题型三：立体几何中的截线(截面)问题
角度1：立体几何中的截线
角度2：立体几何中的截面
题型四：异面直线所成角
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：与平面有关的基本事实及推论
1、与平面有关的三个基本事实
（1）基本事实1：过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面
数学语言：,,三点不共线有且只有一个平面,使,,.
（2）基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内
数学语言：,,且,
（3）基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
数学语言：,且 ,且
2、基本事实1的三个推论
推论1:经过一条直线与这条直线外一点,有且只有一个平面;
推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;
推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.
知识点二：空间点、直线、平面之间的位置关系
知识点三：平行公理和等角定理
1、基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行
数学符号语言；若直线,则
2、等角定理
①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补
②图形语言：
③符号语言：,或
④作用：判断或证明两个角相等或互补
知识点四：异面直线所成角
（1）异面直线的概念
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线
（2）异面直线的画法
画异面直线时,为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托
（3）异面直线的判定
①定义法 ②两直线既不平行也不相交
（4）异面直线所成角取值范围：
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高一课时练习）从圆柱的一个底面上任取一点（该点不在底面圆周上），过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( )
A．相交 B．平行 C．异面 D．相交或平行
【答案】B
由母线的定义可知：该垂线与母线是平行的
故选：B
2．（2022·全国·高一课时练习）在三棱锥中，与是异面直线的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
根据异面直线的定义可知：在三棱锥中，与是异面直线的是
故选：C
3．（2022·全国·高一课时练习）已知，，若，则等于( )
A． B．或 C． D．以上结论都不对
【答案】B
由题可知：，，且
根据空间等角定理可知：为或
故选：B
4．（2022·全国·高一课时练习）如图，空间四边形中，E，F，G，H分别是，，，的中点，则四边形是( )
A．梯形 B．平行四边形 C．菱形 D．矩形
【答案】B
根据中位线定理可知：//且，可知四边形为平行四边形
故选：B
5．（2022·全国·高一课时练习）若直线l在平面外，则l与平面的公共点个数为( )
A．0 B．0或1 C．1 D．2
【答案】B
直线l在平面外，则直线l与平面相交或者平行，当直线l与平面相交时，公共点的个数是1个，当直线l与平面平行时，公共点的个数是0个，
故选：B
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：基本事实的应用
典型例题
例题1．（2022·北京市第十二中学高一期末）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面B．两个平面可以只有一个公共点
C．三条平行直线一定共面D．三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面
【答案】D
对于A，因为不共线的三点确定一个平面，故A错误；
对于B，若两个平面有一个公共点，那么就有一条经过该点的公共直线，即交线，该交线上有无数个公共点，故B错误；
对于C，三条平行直线可能共面，也可能有一条在另外两条确定的平面外，故C错误；
对于D，当三条直线两两相交，三个交点不重合时，三条直线共面，
当三条直线两两相交于一个点时，这三条直线可能在同一个平面内，也可能不共面，
此时其中任意两条直线都可确定一个平面，即可确定3个平面，故D正确，
故选：D
例题2．（2022·江苏·高一课时练习）下列判断中：①三点确定一个平面；②一条直线和一点确定一个平面；③两条直线确定一个平面；④三角形和梯形一定是平面图形；⑤四边形一定是平面图形；⑥六边形一定是平面图形；⑦两两相交的三条直线确定一个平面.其中正确的是___________.
【答案】④
解①根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故①不对；
②根据一条直线和直线外的一点确定一个平面知，故②不对；
③由异面直线的定义知，两条直线不一定确定一个平面，故③不对；
④因梯形的一组对边平行，所以由“两条平行确定一个平面”知，梯形是一个平面图形，
又因三角形的三个顶点不共线，故④对；
⑤比如空间四边形则不是平面图形，故⑤不对；
⑥比如空间六边形则不是平面图形，故⑥不对；
⑦两两相交于同一点的三条直线，如三棱锥的三个侧面，它们确定了三个平面，故⑦不对．
故答案为：④．
题型归类练
1．（2022·北京·101中学高一期末）空间四点共面而不共线，那么这四点中（ ）
A．必有三点共线B．至多有三点共线
C．至少有三点共线D．不可能有三点共线
【答案】B
如下图所示，A，C，D均不正确，只有B正确.
故选：B.
2．（2022·湖北·高一阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个平面
B．一条直线和该直线外一个点确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．两条直线确定一个平面
【答案】B
不共线的三点确定一个平面，A错误；
易知B正确；
空间四边形无法确定一个平面，C错误；
两条相交直线或平行直线确定一个平面，D错误.
故选：B.
3．（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的个数是（ ）
两两相交的三条直线可确定一个平面
两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面一定平行
过平面外一点的直线与这个平面只能相交或平行
和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线
A．B．C．D．
【答案】D
对于，两两相交的三条直线可确定一个平面或三个平面，故错误；
对于，两个平面与第三个平面所成的角都相等，则这两个平面平行或相交，故错误；
对于，过平面外一点的直线一定在平面外，且直线与这个平面相交或平行，故正确；
对于，和两条异面直线都相交的两条直线是异面直线或相交直线，故错误．
正确的命题只有一个．
故选：D
4．（2022·山西·平遥县第二中学校高一期中）在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与GH能相交于点P，那么（ ）
A．点P不在直线AC上B．点P必在直线BD上
C．点P必在平面ABC内D．点P必在平面ABC外
【答案】C
CD中，点E、F分别在边AB、BC上，有平面，平面，则直线平面，
同理，直线平面，因EF、GH能相交于点P，即，
因此平面，平面，而平面平面，于是有，A不正确，C正确，D不正确；
又直线AC与BD没有公共点，即点P不在直线BD上，B不正确.
故选：C
题型二：空间两条直线的位置关系
典型例题
例题1．（2022·四川成都·高一期末（理））如图，两个正方形，不在同一个平面内，点，分别为线段，的中点，则直线与的关系是（ ）
A．相交B．平行C．异面D．不确定
【答案】C
取的中点，连接，则，
又，
∴，则确定平面，
又平面，平面，，平面，
∴直线FQ与PB是异面直线.
故选：C.
例题2．（2022·辽宁·营口市第二高级中学高一阶段练习）在空间内，如果两条直线和没有公共点，那么与的位置关系是______．
【答案】异面或平行
如果两条直线和没有公共点，那么与的位置关系是异面或平行.
故答案为：异面或平行.
例题3．（2022·上海虹口·高二期末）在空间，如果两个不同平面有一个公共点，那么它们的位置关系为________．
【答案】相交
在空间，如果两个不同平面有一个公共点，则这两个平面相交.
故答案为：相交.
题型归类练
1．（2022·山西忻州·高一期末）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（ ）
直线与直线异面B．直线与直线共面
C．直线与直线异面D．直线与直线共面
【答案】B
如图，点与点重合，故A错误；
∵，且，∴四边形是平行四边形，∴，∴与是共面直线，故B正确；
∵，∴与相交，故C错误；
∵，不在一个平面内，且与既不平行也不相交，∴，是异面直线，故D错误.
故选：B.
2．（2022·全国·高一）正方体中，点，，，是其所在棱的中点，则与是异面直线的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
对于A，在正方体中，连接，，则，如图，
因为点，，，是其所在棱的中点，则有，，因此，则直线与共面，A错误；
对于B，在正方体中，连接，，，如图，
因为点，，，是其所在棱的中点，有且，则四边形为平行四边形，即有，
又，因此，直线与共面，B错误；
对于C，在正方体中，如图，
因为点，，，是其所在棱的中点，有，而平面，平面，
则平面，平面，则直线与无公共点，又直线与直线相交，
于是得直线与不平行，则直线与是异面直线，C正确；
对于，在正方体中，连接，，，，如图，
因为且，则四边形为平行四边形，有，
因为点，，，是其所在棱的中点，有，，则，直线与共面，D错误.
故选：C
3．（2022·全国·高二课时练习）已知a和l是异面直线，b和l也是异面直线，则直线a和b的位置关系是______．
【答案】平行或相交或异面
长方体中，如上图示：
当时，直线a，b异面；
当时，直线a，b平行；
当时，直线a，b相交；
故答案为：平行或相交或异面
题型三：立体几何中的截线(截面)问题
角度1：立体几何中的截线，截面
典型例题
例题1．（2022·山东青岛·高一期末）在正方体中，，分别为，的中点，则平面截正方体所得的截面多边形的形状为（ ）
A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形
【答案】B
解：如图，把截面补形为四边形，
连接，，
因为，分别为，的中点，则，
又在正方体中，
所以，则四点共面.
则平面截正方体所得的截面多边形的形状为四边形.
故选：B.
例题2．（2022·广东·北京师范大学珠海分校附属外国语学校高一阶段练习）棱长为1的正方体中，点为棱的中点，则过，，三点的平面截正方体的截面周长为________．
【答案】
如图，取的中点为，连接，取的中点为，连接，
在正方形中，因为、分别为所在棱的中点，故，
而，，故，，
故四边形为平行四边形，故
在正方形中，因为、分别为所在棱的中点，故，
故四边形为平行四边形，故
故，故四边形为平行四边形，
故四点共面，故过，，三点的平面截正方体的截面为平行四边形.
又，故截面的周长为，
故答案为：.
例题3．（2022·广西钦州·高一期末）如图，沿正方体相邻的三个侧面的对角线截得一个体积为的三棱锥，则该正方体的棱长为________．
【答案】2
设该正方体的棱长为，则，解得
故答案为：2
例题4．（2022·广东韶关·高一期末）在棱长为2的正方体中，是棱的中点，则过、、三点的平面截正方体所得的截面图形的面积为（ ）
A．5B．C．D．
【答案】C
设平面交棱AD于F，
由正方体性质及平面与平面平行的性质定理得，，
由勾股定理可得四边形所有边长的长度为，
所以是菱形，且为的中点，
取的中点，连接，则
，
故．
故选：C．
题型归类练
1．（2021·安徽·安庆九一六学校高二阶段练习（理））在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下一个三条侧棱两两垂直的三棱锥，如果用，，表示三个侧面面积，表示截面面积，那么类比得到的结论是
A．B．
C．D．
【答案】B
建立从平面图形到空间图形的类比，与可得类比得到，故选B．
2．（多选）（2022·浙江温州·高一期末）用一个平面去截一个几何体， 所得截面的形状是正方形， 则原来的几何体可能是（ ）
A．长方体B．圆台C．四棱台D．正四面体
【答案】ACD
解：对于A：若长方体的底面为正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截面的形状是正方形，故A正确；
对于B：圆台的截面均不可能是正方形，故B错误；
对于C：若四棱台的底面是正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截面的形状是正方形，故C正确；
对于D：如图所示正四面体，将其放到正方体中，
取的中点，的中点，取的中点，的中点，
依次连接、、、，由正方体的性质可知截面为正方形，故D正确；
故选：ACD
3．（2022·江苏盐城·高二期末）如图，在直三棱柱中，，点P在棱BC上运动，则过点P且与垂直的平面截该三棱柱所得的截面周长的最大值为_________．
【答案】
取中点为,连接交于,连接,所以,,所以,
,,所以,,故,又因为平面平面,其交线为,且,因此平面,故,因此平面,故平面平面，因为点P在棱BC上运动，故当点P运动到点时，此时截面最大，进而周长最大，此时周长为
故答案为：
4．（2022·浙江·杭十四中高一期末）“牟合方盖”是我国古代数学家构造的一个几何模型．如图1，正方体的棱长为2，用一个底面直径为2的圆柱去截该正方体，沿着正方体的前后方向和左右方向各截一次，截得的公共部分即是一个牟合方盖（如图2）．已知这个牟合方盖与正方体内切球的体积之比为，则正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为__________．
【答案】
正方体的体积为，正方体的内切球体积为.所以牟合方盖的体积为，正方体除去牟合方盖后剩余部分的体积为
故答案为：
5．（2021·全国·高二课时练习）如图所示是一个三棱锥，欲过点P作一个截面，使得截面与底面平行，该怎样在侧面上画出截线？
【答案】见解析
在面SAB内过点P作，交SB于点E，
在面SAC内过点P作，交SC于点F，连接EF.
则面面ABC，面PEF为所作截面.
证明：∵，平面，平面，平面，
同理可证平面，，∴平面平面ABC.
题型四：异面直线所成角
典型例题
例题1．（2022·重庆南开中学高一期末）正四面体中，是中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
解：取的中点，连接，
因为D是PA中点，
所以且，
所以即为异面直线CD与PB所成角的平面角，
设，则，
则，
即异面直线CD与PB所成角的余弦值是.
故选：B.
例题2．（2022·江苏·高一课时练习）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，且，为的中点，则异面直线与夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
取的中点，连接、，如下图所示：
因为、分别为、的中点，则且，
所以，异面直线与的夹角为或其补角，
因为平面，平面，，则，
，同理可得，，
所以，，则.
故选：C.
例题3．（2022·天津·耀华中学高一期末）如图，已知空间四边形的四条边以及对角线的长均为2，､分别是与的中点，则异面直线和所成角的余弦值为___________.
【答案】
如图：连接，设为的中点，连接，
则且，
所以为异面直线和所成的角（或补角），
由题意可得，
所以，
，
在中由余弦定理可得：
，
故答案为：
题型归类练
1．（2022·四川南充·高二期末（文））将边长为1的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
作出过点的圆柱的母线，连接，如图，
则有，而，即有，为正三角形，
，因此，，是异面直线与所成的角，
由平面得，而，从而有，，
所以异面直线与所成的角的余弦值为.
故选：C
2．（2022·四川内江·高二期末（理））如图，在直三棱柱中，面，，则直线与直线夹角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
连接交于，若是的中点，连接，
由为直棱柱，各侧面四边形为矩形，易知：是的中点，
所以，故直线与直线夹角，即为与的夹角或补角，
若，则，，
面，面，则，
而，又，面，故面，
又面，所以.
所以，，
在△中.
故选：C
3．（2022·湖北恩施·高一期末）在正方体中，E，F分别为棱BC，的中点，则异面直线EF与所成角的余弦值为______．
【答案】
如图，在正方体中，取的中点G，连结FG,GE,可知，则异面直线EF与所成的角为∠EFG或其补角．
设正方体的棱长为2，则，，，．
故答案为：
4．（2022·湖北武汉·高一期末）已知四棱锥的底面是矩形，其中，侧棱底面，且直线与所成角的余弦值为，则四棱锥的外接球体积为___________.
【答案】
如图，因为，故或其补角为异面直线与所成的角，
因为平面，平面，故，
故为锐角，故，故，故.
将该四棱锥补成如图所示的长方体：
则该长方体的外接球即为四棱锥的外接球，其直径为，
故外接球的体积为.
故答案为：.
5．（2022·湖南·高一期末）在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为________.
【答案】
如图所示，连接，在正方体中，，则为异面直线与所成的角或其补角，不妨设该正方体的棱长为2，
由正方体的性质可得平面，平面可得，
在中，.
故答案为：
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题（理））在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
如图，连接，因为∥，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长为2，则，
，所以.
故选：D
2．（2022·河南安阳·模拟预测（文））在四边形ABCD中，，，P为空间中的动点，，E为PD的中点，则动点E的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
解：如图，作的中点，连接，．因为，，
所以．因为，，所以，
故四边形为平行四边形，则有，且，则有点的轨迹长度与点的轨迹长度相同，
过点作于，则点的轨迹是以为圆心长为半径的圆，且，
故点的轨迹长度为．
故选：D．
3．（2022·全国·模拟预测）已知正方体中，E，G分别为，的中点，则直线，CE所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
如图所示：
取AB的中点F，连接EF，CF，易知，则∠ECF（或其补角）为直线与CE所成角．不妨设，则，，，由余弦定理得，即直线与CE所成角的余弦值为．
故选：C．
4．(多选）（2022·全国·高考真题）已知正方体，则（ ）
A．直线与所成的角为B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为D．直线与平面ABCD所成的角为
【答案】ABD
如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，
因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；
连接，因为平面，平面，则，
因为，，所以平面，
又平面，所以，故B正确；
连接，设，连接，
因为平面，平面，则，
因为，，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
设正方体棱长为，则，，，
所以，直线与平面所成的角为，故C错误；
因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确.
故选：ABD
5．（多选）（2022·湖北·模拟预测）棱长为1的正方体中，P、Q分别在棱BC、上，，，，且，过A、P、Q三点的平面截正方体得到截面多边形，则（ ）
A．时，截面一定为等腰梯形B．时，截面一定为矩形且面积最大值为
C．存在x，y使截面为六边形D．存在x，y使与截面平行
【答案】BD
对A，时，截面为矩形，故A错；
对B，当时，点与点重合，设过A、P、Q三点的平面交于，则因为平面平面，故，且，此时截面为矩形，当点与点重合时面积最大，此时截面积，B正确；
对C，截面只能为四边形、五边形，故C错；
对D，当，时，延长交延长线于，画出截面如图所示.此时因为，，故，则.由面面平行的截面性质可得，，故，此时，故且，故平行四边形，故，根据线面平行的判定可知与截面平行，故D正确．
故选：BD直线与直线
直线与平面
平面与平面
平行关系
图形语言
符号语言

相交关系
图形语言
图形语言
独有关系
图形语言
图形语言
与是异面直线