第02讲 两条直线的位置关系 (精讲）-备战2024年高考数学一轮复习精讲精练高效测（新教材新高考）

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第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：两条直线的位置关系
角度1：判断两直线的位置关系
角度2：由两直线的位置关系求参数
角度3：由两直线的位置关系求直线方程
题型二：与距离有关的问题
题型三：对称问题
角度1：点关于直线对称
角度2：直线关于直线对称
题型四：直线系方程的应用
角度1：平行、垂直直线系方程
角度2：过两直线交点的直线系方程
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：两条直线平行与垂直的判断
1、两条直线平行
对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有.
对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点
(1)成立的前提条件是：
①两条直线的斜率都存在；
②与不重合．
(2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则.
(3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是：
或，斜率都不存在.
2、两条直线垂直
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即.
对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点
(1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且.
(2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．
(3)判定两条直线垂直的一般结论为：
或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
知识点二：直线的交点与直线的方程组成的方程组的解的关系
直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应.
与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
与平行方程组无解；
与重合方程组有无数个解.
知识点三：距离公式
1、两点之间的距离公式：
平面上任意两点，间的距离公式为
特别地，原点与任一点的距离.
2、点到直线的距离公式
平面上任意一点到直线：的距离.
3、两条平行线间的距离
一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离.
知识点四：对称问题
1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式)
求点关于点的对称点
由：
2、点关于直线对称问题（联立两个方程）
求点关于直线：的对称点
①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中；
②
整理得：
3、直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则）
方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解；
方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数.
方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上.
4、直线关于直线对称问题
4.1直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线
①求出与的交点
②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点
③根据，两点求出直线
4.2直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线
①
②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线.
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·广东汕头·高二期末）是直线和平行的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2022·河北保定·高一阶段练习）“”是“直线：与直线：互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．（2022·陕西咸阳·高一期末）已知直线（）与直线互相平行，且它们之间的距离是，则______.
4．（2022·安徽省舒城中学高二期中）若直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A．1B．C．3D．4
5．（2022·全国·高三专题练习）若点，关于直线l对称，则l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：两条直线的位置关系
角度1：判断两直线的位置关系
典型例题
例题1．（2022·湖南湘潭·高二期末）已知直线，则与（ ）
A．垂直B．平行C．重合D．相交但不垂直
例题2．（2022·全国·高二课时练习）直线和直线平行，则直线和直线的位置关系是（ ）
A．重合B．平行C．平行或重合D．相交
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二课时练习）设a、b、c分别为中、、所对边的边长，则与的位置关系是（ ）
A．相交但不垂直B．垂直
C．平行D．重合
2．（2022·全国·高二课时练习）中，a、b、c是内角A、B、C的对边，且、、成等差数列，则直线与的位置关系是（ ）．
A．重合B．相交不垂直C．垂直D．平行
角度2：由两直线的位置关系求参数
典型例题
例题1．（2022·四川自贡·高一期末（文））若直线与直线平行，则（ ）
A．或0B．C．1或0D．1
例题2．（2022·贵州·遵义市第五中学高二期中（理））直线 与直线互相垂直，且两直线交点位于第三象限，则实数的值为（ ）
A．1B．3C．－1D．－3
例题3．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）已知、，直线，，且，则的最小值为（ ）
A．B．
C．D．
例题4．（2022·山西省长治市第二中学校高二期末）设直线，直线，若，则_______.
同类题型归类练
1．（2022·湖北孝感·高二期末）“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
2．（2022·全国·高三专题练习）已知，，则满足的的值是（ ）
A．B．0C．或0D．或0
3．（2022·江苏·高二）已知直线，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·山东德州·高二期末）函数在点（0，f（0））处的切线与直线平行，则a=______．
5．（2022·全国·高二课时练习）“”是“直线与直线相互垂直”的______条件．
6．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知直线和互相垂直，且，则的最小值为____________.
角度3：由两直线的位置关系求直线方程
典型例题
例题1．（2022·重庆南开中学高一期末）已知直线，.
(1)若直线与直线垂直，求实数的值
(2)若直线在轴上的截距是在轴上截距的2倍，求直线的方程.
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知直线，，分别求实数的值，使得：
(1)；(2)．
例题3．（2022·全国·高二课时练习）求过与的交点且与直线平行的直线方程．
例题4．（2022·全国·高二课时练习）求经过两条直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程．
同类题型归类练
1．（2022·陕西·铜川阳光中学高一期末）已知直线经过点．
(1)若点在直线上，求直线的方程；
(2)若直线与直线平行，求直线的方程．
2．（2022·内蒙古·赤峰二中高二期末（文））已知直线：和：．
(1)若，求实数m的值；
(2)若，求实数m的值．
3．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线和直线.
(1)当m为何值时，直线和平行？
(2)当m为何值时，直线和重合？
题型二：与距离有关的问题
典型例题
例题1．（2022·重庆长寿·高二期末）在第一象限的点到直线的距离为3，则的值为__________．
例题2．（2022·江苏·高二专题练习）点为直线上任意一个动点，则到点的距离的最小值为___________.
例题3．（2022·全国·高二专题练习）两条平行线分别过点，它们分别绕旋转，但始终保持平行，则之间距离的取值范围是____．
例题4．（2022·江苏·高二专题练习）（1）已知实数对满足，求的最小值；
（2）求的最小值．（提示：联想两点间的距离公式）
例题6．（2022·山东聊城·二模）实数，，，满足：，，则的最小值为（ ）
A．0B．C．D．8
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二专题练习）到直线的距离为且与此直线平行的直线方程是____．
2．（2022·江苏·高二）两条平行线与之间的距离是___________.
3．（2022·全国·高二课时练习）直线l过点且到点和点的距离相等，求直线l的方程．
4．（2022·陕西渭南·高一期末）已知直线l经过点，.
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且它们间的距离为4，求直线m的方程.
5．（2022·海南·琼海市嘉积第二中学高二期末）若实数满足，则的最小值为___________.
6．（2022·全国·高二专题练习）设的最小值为_______.
题型三：对称问题
角度1：点关于直线对称
典型例题
例题1．（2022·江苏·高二）点关于直线对称的点的坐标是______．
例题2．（2022·广东·高二阶段练习）在平面直角坐标系内，一束光线从点出发，被直线反射后到达点，则这束光线从到所经过的距离为（ ）
A．B．C．4D．5
例题3．（2022·全国·高二课时练习）将一张坐标纸折叠一次，使点与点重合，则折痕所在直线的一般式方程为___________.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高二专题练习）原点关于的对称点的坐标为_____．
2．（2022·全国·高二单元测试）点关于直线的对称点的坐标为______．
角度2：直线关于直线对称
典型例题
例题1．（2022·安徽省六安中学高二期末（理））直线关于直线对称的直线方程为（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2022·全国·高二课时练习）已知直线：与直线关于直线：对称，直线与直线：垂直，则的值为（ ）
A．B．C．3D．
例题3：（2022·江苏·高二）已知点，直线，直线.
(1)求点关于直线的对称点的坐标；
(2)求直线关于直线的对称直线方程.
同类题型归类练
1．（2022·陕西·长安一中高一期末）直线关于直线的对称直线方程为__________．
2．（2022·江苏·高二课时练习）已知直线，求：
(1)直线l关于点对称的直线的方程；
(2)直线关于直线l对称的直线的方程．
3．（2022·安徽省亳州市第一中学高二阶段练习）已知直线l：和直线：.
(1)求直线l关于点对称的直线的方程；
(2)求直线l关于直线对称的直线的方程.
题型四：直线系方程的应用
角度1：平行、垂直直线系方程
典型例题
例题1求过直线：和：的交点，且与直线：垂直的直线方程．
例题2：求过点且与直线平行的直线方程．
同类题型归类练
1、求与直线平行且过点的直线的方程。
角度2：过两直线交点的直线系方程
典型例题
例题1： 求过直线：与直线：的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程.
同类题型归类练
1、求过直线2x＋7y－4＝0与7x－21y－1＝0的交点，且和A(－3,1)，B(5,7)等距离的直线方程．